一個(gè)“奇怪”解法引發(fā)的探究

江蘇省天一中學(xué) 查曉東

無錫市第六高級(jí)中學(xué) 張 鋼

前段時(shí)間，筆者在期末復(fù)習(xí)課上選擇了一道經(jīng)典模擬題作為典型例題，旨在引導(dǎo)同學(xué)們?cè)谔幚斫馕鰩缀螁栴}時(shí)，關(guān)注參數(shù)選擇的合理性.而所謂的“合理”也往往是仁者見仁智者見智的，恰恰就有一位同學(xué)給出了一種“奇怪”的解法.細(xì)細(xì)琢磨發(fā)現(xiàn)，其解法從理論上看切實(shí)可行，只是莫名其妙的產(chǎn)生了“增解”.筆者通過一番探究，解釋了“增解”產(chǎn)生的原因，并由此得到了一個(gè)不錯(cuò)的結(jié)論，現(xiàn)與同學(xué)們分享.

一、探究起源

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，且

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知a=2，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，AB∥DC.

記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值.

圖1

1.常規(guī)視角

解析：（1）

（視角1：“設(shè)點(diǎn)”）設(shè)C（x0，y0），則CD代入橢圓方程整理得

2x2-2（x0+2y0）x+（x0+2y0）2-4=0，又x20+4y20=4，可得x2-（x0+2y0）x+2x0y0=0，

（視角2：“設(shè)線”）設(shè)CD將代入橢圓方程整理得

x2-2mx+2m2-2=0?x1+x2=2m，x1x2=2m2-2.

將x1=2m-x2代入得到（定值）.

【評(píng)注】視角1巧妙地利用點(diǎn)在橢圓上，將x20+4y20=4作為整體，視角2則巧妙地利用x1與x2的關(guān)系進(jìn)行替換，根據(jù)分母的結(jié)構(gòu)進(jìn)行配湊，應(yīng)該說這兩種方法是參數(shù)的“合理”選擇.然而，一個(gè)學(xué)生給出了如下解法：

2.“奇怪”視角

解析：（2）假設(shè)直線AD，BC的方程分別為y=k1（x-2），y=k2x+1，D（x1，y1），C（x2，y2），

將AD方程代入橢圓方程得x2+4k21（x-2）2=4?（1+4k21）x2-16k21x+16k21-4=0，解得

將BC方程代入橢圓方程得x2+4（k2x+1）2=4?（1+4k22）x2+8k2x=0，解得

所以32k21k22+16k1k2（k1-k2）+4k2-4k1-2=0?（4k1k2-1）[4k1k2+2（k1-k2）+1]=0，

所以4k1k2-1=0或4k1k2+2（k1-k2）+1=0.

【評(píng)注】上述解法看似十分“暴力”，其實(shí)根據(jù)“設(shè)而且求”的思想將C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別用k1，k2來表示，最后利用來找到k1，k2的關(guān)系，也應(yīng)該算是一種“合理”的解法.只是為何產(chǎn)生4k1k2+2（k1-k2）+1=0這個(gè)“增解”，著實(shí)費(fèi)了一番功夫.

經(jīng)過思考，筆者發(fā)現(xiàn)-32k21k22-32k21k2-8k21+8k22-8k2+2=-2[4k1k2+2（k1-k2）+1]·[4k1k2+2（k1+k2）-1]，這樣就不難解釋為什么4k1k2+2（k1-k2）+1≠0了，換言之，上述解法進(jìn)行了不等價(jià)變形.至此，學(xué)生提出的疑惑得以解決.然而，筆者卻意猶未盡，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)當(dāng)4k1k2+2（k1-k2）+1=0時(shí)，C，D兩點(diǎn)重合，相信這絕非偶然，因此筆者給出了如下結(jié)論.

二、探究結(jié)果

考慮到：橢圓上任意一點(diǎn)P與橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)A，B（點(diǎn)P異于A，B）有kAP·kBP為定值，當(dāng)A，B為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，結(jié)論也成立.我們可以聯(lián)想，當(dāng)A與B，一個(gè)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，另一個(gè)為短軸端點(diǎn)時(shí)，是否會(huì)有類似的結(jié)論呢？

結(jié)論：如圖2，A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，P為橢圓上任意異于A，B的一點(diǎn)，設(shè)直線AP，BP的斜率分別為k1，k2，則

證明：設(shè)P（x0，y0），則

將a2y20=a2b2-b2x20代入，

圖2

【評(píng)注】類似地，我們還可以得到：①當(dāng)A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)與下頂點(diǎn)時(shí)，有相同的結(jié)論；②當(dāng)A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)與下頂點(diǎn)（或者A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)）時(shí)，有

雙曲線中是否存在類似的結(jié)論呢？有興趣的同學(xué)可以嘗試探究.

三、結(jié)語(yǔ)

古云“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，同學(xué)們要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.在筆者看來，同學(xué)們解題不僅需要“仰視”，也需要“俯視”.

1.解題視角替代不了解題經(jīng)驗(yàn)

本文中談及的例題恰恰是站在“參數(shù)的合理選擇”的視角來總結(jié)處理解析幾何問題的方法.然而，要真正駕馭這些方法，同學(xué)們除了對(duì)方法有深層次的理解，還需要有大量的解題經(jīng)驗(yàn)，以及各種解題視角下的不斷嘗試、失敗、再嘗試.正所謂“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識(shí)器”，講的就是“仰視”的道理.

2.解題反思豐富解題經(jīng)驗(yàn)

本文“奇怪”視角中談及的“增解”產(chǎn)生的原因說明：在解題過程中，同學(xué)們需要時(shí)刻關(guān)注代數(shù)式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換的等價(jià)性.必要的解題回顧與反思也就是“俯視”，不僅能加深同學(xué)們對(duì)問題的本質(zhì)及其解法的進(jìn)一步理解，同時(shí)也能夠培養(yǎng)同學(xué)們解題的科學(xué)與嚴(yán)謹(jǐn).