Banach 3-Lie代數(shù)上兩類映射的穩(wěn)定性

秦宇帆，林 潔，姜敬敬

(1.中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300；2.中國民航大學(xué)中歐航空工程師學(xué)院，天津 300300)

0 引言

1985年，F(xiàn)ilippov[1]引進(jìn)了n-Lie代數(shù)(或Filippov代數(shù))的概念.n元Lie積是n-線性、反對(duì)稱的，且滿足廣義的Jacobi恒等式.當(dāng)n=3時(shí)，3元Lie積是Nambu括號(hào)的特殊情形，Nambu括號(hào)是由Nambu[2]在1973年引進(jìn)的，并且在物理上廣為人知.3-Lie代數(shù)被應(yīng)用于多重M2-膜的相關(guān)研究中，且其與數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理的許多重要領(lǐng)域有緊密聯(lián)系[3-4].因此，許多研究者對(duì)3-Lie代數(shù)感興趣.[5-12]

函數(shù)方程的穩(wěn)定性在1940年首次被Ulam[6]提出，他提出下列問題：在什么情況下存在一個(gè)可加映射逼近一個(gè)近似可加映射？設(shè)A和B是兩個(gè)Banach空間，Hyers證明了若ε>0，f：A→B滿足

‖f(x+y)-f(x)-f(y)‖≤ε，?x，y∈A，

則存在唯一的可加映射T：A→B使得

‖f(x)-T(x)‖≤ε，?x，y∈A.

近年來，不斷有這方面的成果涌現(xiàn)出來.文獻(xiàn)[7]給出了n階阿貝爾群G中函數(shù)方程

的廣義穩(wěn)定性結(jié)論和應(yīng)用(p是一固定的正整數(shù))[7]；文獻(xiàn)[8]建立了關(guān)于函數(shù)方程

的3-Lie乘子的穩(wěn)定性和超穩(wěn)定性.

本文中，記C是復(fù)數(shù)域，N是自然數(shù)集.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[1]設(shè)A是一個(gè)向量空間，[-，-，-]：A×A×A→A是A上的一個(gè)3-線性反對(duì)稱運(yùn)算.若?x，y，a，b，c∈A有[x，y[a，b，c]]=[[x，y，a]，b，c]+[a，[x，y，b]，c]+[a，b，[x，y，c]]，則稱(A，[-，-，-])為一個(gè)3-Lie代數(shù).

定義1.2設(shè)A是一個(gè)3-Lie代數(shù).若在A上存在一個(gè)范數(shù)‖·‖使得

‖[x，y，z]‖≤‖x‖‖y‖‖z‖，?x，y，z∈A，

則稱A為一個(gè)賦范3-Lie代數(shù).若(A，‖·‖)是一個(gè)Banach空間，則稱賦范3-Lie代數(shù)A為一個(gè)Banach 3-Lie代數(shù).

定義1.3[9]設(shè)A是一個(gè)3-Lie代數(shù)，H，D，ɡ：A→A為線性映射.如果?x，y，z∈A，有H([x，y，z])=[H(x)，H(y)，H(z)]，則稱H是A上的一個(gè)同態(tài)；若?x，y，z∈A，有D([x，y，z])=[D(x)，y，z]+[x，D(y)，z]+[x，y，D(z)]，則稱D是A上的一個(gè)導(dǎo)子；若存在線性映射ɡ1，ɡ2，ɡ3：A→A，使得

[ɡ(x)，y，z]+[x，ɡ1(y)，z]+[x，y，ɡ2(z)]=ɡ3([x，y，z])，?x，y，z∈A，

則稱ɡ是A上的一個(gè)廣義導(dǎo)子.

2 Banach 3-Lie代數(shù)上同態(tài)的穩(wěn)定性

引理2.1[10]設(shè)V和W是兩個(gè)C-向量空間.f：V→W是一個(gè)可加映射，滿足f(μx)=μf(x)，?x∈V，μ∈T1∶={λ∈C||λ|=1}，則f是C-線性的.

引理2.2設(shè)p是一個(gè)正整數(shù)，f：A→A是一個(gè)映射，滿足

(1)

則f是C-線性的.

證明在(1)式中，取x=y=z=0，μ=1，則f(0)=0.再令(1)式中x=y=0，得pf(μz)=pμf(z)，?z∈A，μ∈T1.故f(μz)=μf(z)，?z∈A，μ∈T1.

下證f是可加的.用pz代替(1)式中的x，y，且令μ=-1，有

pf(z)=f(pz)，?z∈A.

進(jìn)而有

pf(x+y)=f(px+py)，?x，y∈A.

再用px，py分別代替(1)式中的x和y，且取z=0，得

pf(x+y)=f(px+py)，?x，y∈A.

顯然有

f(px+py)=f(px)+f(py)，?x，y∈A.

定理2.1設(shè)A是C上的一個(gè)Banach 3-Lie代數(shù)，φ，ψ1：A×A×A→[0，+∞)是映射且滿足：

(2)

(3)

(4)

?x，y，z∈A.假設(shè)f：A→A是一個(gè)映射使得f(0)=0，且：

(5)

‖f([x，y，z])-[f(x)，f(y)，f(z)]‖≤ψ1(x，y，z)，

(6)

(7)

(8)

?x∈A，n∈N.用x/pm代替(8)式中的x，且不等式兩邊同乘pm得

?x，y，z∈A.故H是一個(gè)同態(tài).

則

所以H′(x)=H(x)，?x∈A.

推論2.1設(shè)A是一個(gè)Banach 3-Lie代數(shù)，ε，p1，p2，p3，p4，p5，p6，p7，p8，q1，q2，q3是實(shí)數(shù)且滿足ε>0，p1，p2，p4，p6>1(或p1，p2，p4，p6<1)，q1，q2，q3>1(或q1，q2，q3<1)，f：A→A是一個(gè)映射使得f(0)=0且對(duì)?x，y，z∈A，

‖f([x，y，z])-[f(x)，f(y)，f(z)]‖≤
ε(‖x‖p1+‖x‖p2‖y‖p3+‖x‖p4‖z‖p5+‖x‖p6‖y‖p7‖z‖p8).

3 Banach 3-Lie代數(shù)上的導(dǎo)子的穩(wěn)定性

定理3.1設(shè)A是C上的Banach 3-Lie代數(shù)，φ，ψ1：A×A×A→[0，+∞)是映射且滿足：

?x，y，z∈A.假設(shè)f：A→A是一個(gè)映射使得f(0)=0，且對(duì)?x，y，z∈A，μ∈T1，以下不等式成立：

‖f([x，y，z])-[f(x)，y，z]-[x，f(y)，z]-[x，y，f(z)]‖≤ψ1(x，y，z)，

則存在唯一導(dǎo)子D：A→A使得

證明類似于定理2.1的證明，此處略去.

推論3.1在與推論2.1相同的條件下，f：A→A是一個(gè)映射，滿足f(0)=0，且

‖f([x，y，z])-[f(x)，y，z]-[x，f(y)，z]-[x，y，f(z)]‖≤
ε(‖x‖p1+‖x‖p2‖y‖p3+‖x‖p4‖z‖p5+‖x‖p6‖y‖p7‖z‖p8)，

?x，y，z∈A.則存在唯一導(dǎo)子D：A→A滿足

4 Banach 3-Lie代數(shù)上的廣義導(dǎo)子的穩(wěn)定性

定理4.1設(shè)A是C上的一個(gè)Banach 3-Lie代數(shù)，φ，ψ1：A×A×A→[0，+∞)是映射，滿足：

?x，y，z∈A.假設(shè)f，f1，f2，f3：A→A是映射使得f(0)=0，f1(0)=0，f2(0)=0，f3(0)=0，且：

‖[f(x)，y，z]+[x，f1(y)，z]+[x，y，f2(z)]-f3([x，y，z])‖≤ψ1(x，y，z)，

證明類似于定理2.1的證明，此處略去.

推論4.1在與推論2.1相同的條件下，f，f1，f2，f3：A→A是映射，f(0)=0，f1(0)=0，f2(0)=0，f3(0)=0，且滿足：

‖[f(x)，y，z]+[x，f1(y)，z]+[x，y，f2(z)]-f3([x，y，z])‖≤
ε(‖x‖p1+‖x‖p2‖y‖p3+‖x‖p4‖z‖p5+‖x‖p6‖y‖p7‖z‖p8)，