“數(shù)直線”在小學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域教學(xué)中的思考與實(shí)踐

劉瑋瑋 齊 晨

（北京市海淀區(qū)五一小學(xué) 北京 100039）

2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、運(yùn)算能力和模型思想等。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)中，教師可以借助直觀模型讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)、表示數(shù)、比較數(shù)的大小并對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，提高課堂實(shí)效性。學(xué)生在借助直觀模型解決問(wèn)題的過(guò)程中，獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)感及運(yùn)算能力。因此，本文以“數(shù)直線”這一直觀模型為例，試圖梳理了數(shù)直線模型在小學(xué)教學(xué)中的編排情況及實(shí)踐應(yīng)用。

1 對(duì)數(shù)直線模型的認(rèn)識(shí)

所謂直觀模型，王長(zhǎng)沛教授有過(guò)這樣的論述：“結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料”。也就是，在認(rèn)識(shí)數(shù)、對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的過(guò)程中，在滿足學(xué)生需求的條件下，具備數(shù)的組成結(jié)構(gòu)十進(jìn)制特征的學(xué)習(xí)材料。在小學(xué)數(shù)學(xué)階段，教材呈現(xiàn)了大量的直觀模型幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，提升運(yùn)算能力，例如：小棒、計(jì)數(shù)器、人民幣、數(shù)直線模型等。

在這些直觀模型中，數(shù)直線模型較為特殊。數(shù)直線模型是“數(shù)軸”的雛形，它作為一種形象化的工具，將“數(shù)”與“形”完美結(jié)合，建立起“數(shù)”與“點(diǎn)”的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。學(xué)生借助數(shù)直線可以直觀的認(rèn)識(shí)數(shù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系。同時(shí)，學(xué)生可以感受數(shù)直線所具備的連續(xù)性，逐漸體會(huì)數(shù)域的形成及擴(kuò)展過(guò)程。

因其自身特點(diǎn)，數(shù)直線在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域?qū)W習(xí)中有著較為廣泛地應(yīng)用，很好地支撐了學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算的理解。雖然數(shù)直線能夠清晰直觀的表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，但從某種程度上講，數(shù)直線的抽象對(duì)于小學(xué)生而言是相對(duì)困難的地方。因此，在使用數(shù)直線模型的過(guò)程中，我們需要考慮到直觀模型的優(yōu)勢(shì)，可以引用數(shù)直線把抽象的“數(shù)”以“形”的形式體現(xiàn)。同時(shí)，需要考慮小學(xué)生的知識(shí)及年齡特點(diǎn)，進(jìn)行有效篩選、編排，找到適合的教學(xué)內(nèi)容，再采取數(shù)直線模型來(lái)輔助教學(xué)，逐步促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展。

2 數(shù)直線在教材中的編排情況

由于數(shù)直線模型本身具有一定抽象性，為了符合學(xué)生的成長(zhǎng)邏輯。思維層面，在教材的編排上，學(xué)生經(jīng)歷從“實(shí)物圖”到“數(shù)尺”再到“數(shù)直線”抽象的過(guò)程，逐漸感悟數(shù)直線的應(yīng)用價(jià)值，抽象數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想。知識(shí)層面，無(wú)論是認(rèn)識(shí)數(shù)還是運(yùn)算數(shù)的過(guò)程，都積極引導(dǎo)學(xué)生在線上找到數(shù)，適時(shí)將“數(shù)”與“形”進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。在認(rèn)識(shí)數(shù)本身和比較數(shù)大小的過(guò)程中，教材也注意引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)直線從自然數(shù)逐漸擴(kuò)充到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)和比較。學(xué)生能夠直觀的感受數(shù)域擴(kuò)充的過(guò)程，深化認(rèn)知。

2.1 數(shù)認(rèn)識(shí)領(lǐng)域

2.1.1 認(rèn)識(shí)數(shù)本身

在小學(xué)階段，在認(rèn)識(shí)數(shù)的過(guò)程中，無(wú)論是自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)還是正負(fù)數(shù)，都會(huì)借助數(shù)直線模型來(lái)呈現(xiàn)。通過(guò)對(duì)北師版教材的梳理，我們發(fā)現(xiàn)教材的編排意圖不僅僅停留在認(rèn)識(shí)數(shù)直線，而充分將“數(shù)”與“形”結(jié)合，借助數(shù)直線來(lái)直觀的認(rèn)識(shí)數(shù)，觀察數(shù)的特征，從而關(guān)注到數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

尤其是在分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了將單位“1”平均分的過(guò)程，找到相應(yīng)份數(shù)，從而用分?jǐn)?shù)表示。本單元的教學(xué)中難點(diǎn)在于學(xué)生容易忽略了分?jǐn)?shù)本身就是一個(gè)數(shù)，教材此時(shí)讓學(xué)生在數(shù)直線上標(biāo)出分?jǐn)?shù)，使其“數(shù)”的身份直觀地得以外顯。

2.1.2 比較數(shù)大小

學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)之后，將會(huì)對(duì)數(shù)進(jìn)行比較大小。由于數(shù)直線自身的特點(diǎn)，它能夠直觀、清晰地體現(xiàn)出“數(shù)”與“點(diǎn)”在“線”上一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。同時(shí)，數(shù)直線一般規(guī)定向右為正方向，也就是在直線上的數(shù)越往右數(shù)就越大。便于學(xué)生觀察數(shù)的大小，對(duì)數(shù)進(jìn)行比較，逐步發(fā)展數(shù)感。

2.1.3 極限思想

在小數(shù)部分教學(xué)中，學(xué)生理解0.1與0.2之間有無(wú)限個(gè)小數(shù)是教學(xué)難點(diǎn)，這其中蘊(yùn)含了極限思想。那么對(duì)于這樣抽象的問(wèn)題，學(xué)生理解是必然有難度的。這就需要教師采用直觀的方法來(lái)將此問(wèn)題進(jìn)行外顯，此時(shí)數(shù)直線就可以清晰地表示這個(gè)過(guò)程。學(xué)生可以在數(shù)直線上無(wú)限地進(jìn)行平均分，平均分得越精細(xì)，得到的小數(shù)單位就越小，最終借助數(shù)直線將極限思想外顯。

在數(shù)比較的過(guò)程中不僅有大有小，還有相等的可能，那數(shù)直線中可以表示相等的數(shù)嗎？答案是肯定的。數(shù)直線可以清晰的表示等值分?jǐn)?shù)，學(xué)生能夠快速地找到四分之一、八分之二、十二分之三等，然后清晰地發(fā)現(xiàn)他們?cè)跀?shù)直線上的“點(diǎn)”是一致的，也就直觀地感受到了這三個(gè)分?jǐn)?shù)是等值的。小數(shù)部分也同樣如此，學(xué)生能夠一目了然地看到0.1、0.10、0.100在數(shù)直線上的位置，發(fā)現(xiàn)無(wú)論后邊添多少個(gè)0，數(shù)值都是一樣大的。

2.2 數(shù)運(yùn)算領(lǐng)域

2.2.1 外顯運(yùn)算本質(zhì)

數(shù)直線在四則運(yùn)算中也發(fā)揮著不可替代的作用。四則運(yùn)算的意義是較為抽象的，而對(duì)于小學(xué)階段的學(xué)生而言，這樣的抽象對(duì)于他們本身就是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)還要面對(duì)遇到問(wèn)題選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算法則，這就需要對(duì)四則運(yùn)算的意義極為理解。那么面對(duì)抽象的意義學(xué)習(xí)就需要用數(shù)直線這樣的直觀模型來(lái)刻畫。在梳理教材中對(duì)于四則運(yùn)算意義的編排可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)直線作為直觀模型來(lái)輔助數(shù)的運(yùn)算，它將運(yùn)算的過(guò)程直觀呈現(xiàn)，讓運(yùn)算的本質(zhì)外顯。

2.2.2 勾連運(yùn)算關(guān)系

在小學(xué)生的運(yùn)算中，加減乘除四種運(yùn)算各自有各自的意義，但是它們不是孤立存在著，它們的運(yùn)算意義之間具有密切的內(nèi)在聯(lián)系。而這種內(nèi)在聯(lián)系，小學(xué)生理解起來(lái)并不像我們想象的那樣容易，此時(shí)我們不妨把它放在數(shù)直線上，讓學(xué)生逐步感受，引發(fā)他們產(chǎn)生對(duì)四種運(yùn)算內(nèi)在關(guān)聯(lián)的思考。

如上圖，在數(shù)直線上，加法就是向正方向不斷累加的過(guò)程，當(dāng)在數(shù)直線上逐漸向正方向按相同距離累加時(shí)就延伸出了乘法的意義；如果將數(shù)向相反的方向減少（距離可等可不等），就產(chǎn)生了減法，而除法就可以理解為這樣的反方向、等距離減少。因此，數(shù)直線可以直觀地使學(xué)生觀察到每種運(yùn)算的過(guò)程，很好地外顯出四則運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系，有效發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。

3 數(shù)直線在實(shí)踐中的應(yīng)用

3.1 在課堂學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

3.1.1 低年級(jí)加減法問(wèn)題中的應(yīng)用

在北師大版二年級(jí)下冊(cè)加與減單元中，教材編排了三位數(shù)加與減的方法教學(xué)。在直觀模型的使用中，教材著重滲透了數(shù)直線的使用。例如“453+129=”，首先引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)直線上的起點(diǎn)標(biāo)為453，再將129拆分成100、20和9，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)直線上注意100、20和9的距離長(zhǎng)短，最終依次累加找到答案。在這個(gè)過(guò)程中，不僅關(guān)注到了數(shù)直線的使用，還關(guān)注到了將“數(shù)”用“形”的形式外顯，最終解決問(wèn)題。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在累加的過(guò)程中注意距離的長(zhǎng)短，發(fā)展運(yùn)算能力的同時(shí)，借助直觀來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

3.1.2 近似數(shù)的學(xué)習(xí)

（1）四舍五入。在小學(xué)階段，“四舍五入”求取近似數(shù)是學(xué)生心中的一種規(guī)則。到底為什么會(huì)有這樣的規(guī)則？為什么要求取近似值時(shí)要“四舍五入”？其實(shí)，學(xué)生是不能理解的。而“四舍五入”的背后是有道理的，我們應(yīng)該讓孩子們?nèi)ジ惺堋⑷ンw會(huì)，從而理解“四舍五入”的本質(zhì)。因此，我們嘗試用數(shù)直線幫助學(xué)生理解求近似數(shù)時(shí)“四舍五入”的方法。以下是教學(xué)中的一個(gè)活動(dòng)，這個(gè)活動(dòng)內(nèi)容在于讓學(xué)生借助數(shù)直線理解“大約40人”的含義：

教師：咱們年級(jí)有一個(gè)班大約40人，你覺(jué)得他們班可能有多少人？請(qǐng)你認(rèn)真思考，試著在黑板上的數(shù)直線中標(biāo)一標(biāo)，并說(shuō)說(shuō)你的想法。

預(yù)設(shè)①：我標(biāo)了39，因?yàn)?9離40比較近。

預(yù)設(shè)②：我標(biāo)了38，因?yàn)?8離40只差兩人。

……

預(yù)設(shè)③：我標(biāo)了34，我覺(jué)得34也有可能。

教師追問(wèn)：34真的可以嗎？

預(yù)設(shè)：我覺(jué)得不可以，因?yàn)槲覀儚臄?shù)直線上觀察到34離30更近一些。

教師追問(wèn)：還有其他想要補(bǔ)充的嗎？

預(yù)設(shè)④：那35到底是近似成30還是40呢？我從數(shù)直線中看到，35離30或者40的距離是一樣的。這該怎么辦呢？

教師：那我們?yōu)榱朔奖?，我們定一個(gè)規(guī)則進(jìn)行統(tǒng)一，我們把35近似成40。

預(yù)設(shè)⑤：我明白了！45雖然離40和50的距離是一樣的，但按照剛才的規(guī)則，我們把45近似成50。

預(yù)設(shè)⑥：所以能夠近似成40的數(shù)分別是44、43、42、41、39、38、37、36、35。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)通過(guò)學(xué)生間的合作學(xué)習(xí)討論，讓學(xué)生感受到“四舍五入”方法的來(lái)源，加深本身對(duì)近似數(shù)的認(rèn)識(shí)，在這個(gè)過(guò)程中借助數(shù)直線模型讓學(xué)生初步感知數(shù)域。

在教學(xué)中，我們借助數(shù)直線直觀從接受規(guī)則到自主生發(fā)，“四舍五入”水到渠成，最終理解“近似數(shù)”的實(shí)質(zhì)。同時(shí)，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生從能夠主動(dòng)產(chǎn)生“四舍五入”的需求。這個(gè)過(guò)程，已經(jīng)悄無(wú)聲息地讓學(xué)生心中的“規(guī)則”轉(zhuǎn)變成了“需求”。

（2）截取近似數(shù)難點(diǎn)（最大值、最小值）。在近似數(shù)部分的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于尋找一個(gè)具體數(shù)的最大、最小近似數(shù)是難點(diǎn)。學(xué)生經(jīng)常在“忽略‘四舍’、找不到真正的極值”等問(wèn)題出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，我們借助數(shù)直線直觀地將“數(shù)”與“形”結(jié)合，嘗試突破難點(diǎn)。教學(xué)前，學(xué)生在潛意識(shí)里認(rèn)為，數(shù)直線上標(biāo)出2萬(wàn)的近似數(shù)是點(diǎn)狀的，而在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中他們逐步認(rèn)識(shí)到，其實(shí)這些點(diǎn)是連續(xù)的，是密集存在的，是可以從區(qū)間（區(qū)域）的角度去思考以及認(rèn)識(shí)的。這是一個(gè)新的視角，一次新的成長(zhǎng)！因此我認(rèn)為，近似數(shù)的學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的一次飛躍——從“點(diǎn)狀分布”認(rèn)識(shí)飛躍到“區(qū)間線狀分布”認(rèn)識(shí)。以下是教師在具體課堂教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中的主要環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)以及師生的交流情況：（見(jiàn)表1）。

表1

學(xué)生首先在數(shù)直線直觀找到20000左右的兩個(gè)數(shù)可能是近似數(shù)。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生逐漸直觀發(fā)現(xiàn)20000的近似數(shù)有無(wú)限多個(gè)，同時(shí)還能在數(shù)直線上找到一一對(duì)應(yīng)。學(xué)生在這個(gè)從點(diǎn)狀分布逐漸探究到線狀分布的過(guò)程中，借助數(shù)直線模型發(fā)展學(xué)生的極限思維。一條數(shù)直線讓學(xué)生從有限個(gè)數(shù)發(fā)展到無(wú)限個(gè)數(shù)，思維上從“點(diǎn)”勾連到“線”，從“線”上升到“范圍”。

3.1.3 正負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)

（1）認(rèn)識(shí)意義。對(duì)于小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”部分的知識(shí)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)與之前其他數(shù)的認(rèn)識(shí)不同。它會(huì)讓學(xué)生看到之前學(xué)習(xí)的所有數(shù)都可以找到與之意義相反的數(shù)。對(duì)于負(fù)數(shù)認(rèn)識(shí)本身而言，學(xué)生的正確認(rèn)識(shí)以及充分理解會(huì)直接作用于他們對(duì)正數(shù)的理解，并進(jìn)一步豐富、加深對(duì)前面所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)。在認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，教師既要從生活中引入負(fù)數(shù)，還要讓學(xué)生直觀地看到負(fù)數(shù)的所在位置。因此，數(shù)直線作為一條直線，它可以向反方向無(wú)限延長(zhǎng)，這一特點(diǎn)能夠幫助學(xué)生直接在線上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)來(lái)表示負(fù)數(shù)。學(xué)生經(jīng)歷在數(shù)直線上找負(fù)數(shù)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)后，將會(huì)對(duì)正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義理解得更深刻。

（2）三個(gè)“蘊(yùn)伏”?；谪?fù)數(shù)本身的特點(diǎn)，它與正數(shù)是不可分割的，需要捆綁在一起進(jìn)行研究。然而對(duì)于正負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)主要處在初中階段，那么對(duì)于小學(xué)階段學(xué)生能否主動(dòng)產(chǎn)生對(duì)正負(fù)數(shù)的感知呢？答案是一定的。在小學(xué)階段，負(fù)數(shù)教學(xué)中數(shù)直線模型蘊(yùn)伏著相反數(shù)、絕對(duì)值和正負(fù)數(shù)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)。

負(fù)數(shù)自身具有豐富的內(nèi)涵，在小學(xué)學(xué)習(xí)中可以借助數(shù)直線予以適當(dāng)蘊(yùn)伏，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生將一些正負(fù)數(shù)標(biāo)在數(shù)直線上時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察（如圖1）：它們到0的距離誰(shuí)更遠(yuǎn)？誰(shuí)更近？適時(shí)蘊(yùn)伏絕對(duì)值；教學(xué)中，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生將相反數(shù)一對(duì)一對(duì)地標(biāo)在數(shù)直線上（如圖2），使學(xué)生直觀看到其與原點(diǎn)“0”的距離相同，蘊(yùn)伏相反數(shù)；在充分觀察交流正負(fù)數(shù)的過(guò)程中，蘊(yùn)伏正負(fù)數(shù)運(yùn)算（如圖3）。

3.2 在學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

數(shù)直線的使用不僅存在于課堂教學(xué)中，在評(píng)價(jià)中也能看到數(shù)直線模型的身影。然而數(shù)直線不是應(yīng)用于評(píng)價(jià)中，而是在應(yīng)用中借助它來(lái)考查學(xué)生對(duì)于數(shù)本身、數(shù)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)。例如在從教材的編排以及海淀區(qū)七年級(jí)監(jiān)測(cè)的試卷中均有涉及。

以海淀區(qū)七年級(jí)監(jiān)測(cè)為例進(jìn)行說(shuō)明：本題考察了學(xué)生對(duì)小數(shù)、分?jǐn)?shù)數(shù)值大小的判斷及四則運(yùn)算意義的理解。如果不借助數(shù)直線模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，可能會(huì)出現(xiàn)填比較符號(hào)判斷數(shù)值大小，將所給數(shù)進(jìn)行排隊(duì)等題型。當(dāng)把這些“數(shù)”放在數(shù)直線上，讓這個(gè)“數(shù)”的大小通過(guò)它體現(xiàn)出來(lái)。“m、n”在0和1之間，那它們一定是大于0小于1的小數(shù)或者真分?jǐn)?shù)。同時(shí)，借助數(shù)直線進(jìn)行評(píng)價(jià)，“m、n、t”本身沒(méi)有具體數(shù)字，學(xué)生需要根據(jù)圖意進(jìn)行設(shè)數(shù)或者真正結(jié)合四則運(yùn)算意義出發(fā)判斷數(shù)值大小。這種抽象的考察方式，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)、四則運(yùn)算意義的真正理解。這些都是學(xué)生在數(shù)直線中提取到的數(shù)學(xué)信息。而提取這些信息的過(guò)程，就是學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)。

而學(xué)生們這些認(rèn)識(shí)就是源自于平時(shí)練習(xí)中把“數(shù)”放在數(shù)直線上，將“數(shù)”與“形”結(jié)合角度理解數(shù)和運(yùn)算。因此，評(píng)價(jià)是一種教學(xué)導(dǎo)向，測(cè)查學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一種方式。作為教師，隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，我們也需要借助數(shù)直線模型幫助學(xué)生更深入理解數(shù)、理解運(yùn)算意義，最終提升運(yùn)算能力和數(shù)感。

4 寫在最后

數(shù)直線這一直觀模型很好地支撐了學(xué)生對(duì)數(shù)意義以及數(shù)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)與理解，可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)有機(jī)會(huì)向縱深處不斷邁進(jìn)。數(shù)直線是數(shù)軸的雛形，而數(shù)軸在學(xué)生的后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的價(jià)值。小學(xué)階段數(shù)直線的理解與運(yùn)用會(huì)為學(xué)生積累寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，因此我們?cè)诮虒W(xué)中要給予應(yīng)有的重視，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)直線表達(dá)思考，深入探究。與此同時(shí)還要注意不要將數(shù)直線過(guò)早地抽象到數(shù)軸的高度，在應(yīng)用數(shù)直線的過(guò)程中，也不要過(guò)早地讓數(shù)直線模式化。我們可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行有效創(chuàng)造，使他們能夠更豐富、更深入地理解、認(rèn)識(shí)以及解決問(wèn)題。

通過(guò)對(duì)數(shù)直線的思考與課堂實(shí)踐，我發(fā)現(xiàn)：一條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的數(shù)直線，架起了抽象與直觀之間的橋梁，數(shù)與數(shù)之間的橋梁，知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)之間的橋梁，能力與思維的橋梁，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)揮了積極而重要的作用。作為教師的我，也在數(shù)直線的研究中與孩子們一起真切地體驗(yàn)著，真實(shí)地收獲著，不斷地成長(zhǎng)著……