案例教學(xué)在自回歸模型教學(xué)中的應(yīng)用

凌 云

（成都文理學(xué)院 四川·成都 610401）

0 前言

時間序列分析是統(tǒng)計學(xué)專業(yè)學(xué)生必修課程之一，在諸多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。自回歸模型是時間序列分析的經(jīng)典模型之一，強調(diào)其在實際中的應(yīng)用，并將應(yīng)用案例引入到日常教學(xué)中，將比較枯燥的數(shù)學(xué)模型與實踐緊密結(jié)合，不但能加強學(xué)生對自回歸模型的理解，豐富教學(xué)內(nèi)容，擴大課堂信息量，而且能激發(fā)學(xué)生探索與學(xué)習(xí)的興趣，提升學(xué)生的專業(yè)能力。本文通過自回歸模型在人口預(yù)測中的應(yīng)用，對案例教學(xué)在時間序列分析中的應(yīng)用進行了粗略的探討。

1 重要概念

構(gòu)建AR(p)模型的步驟：

步驟1：對序列作平穩(wěn)性檢驗，若經(jīng)檢驗判定為非平穩(wěn)，用平穩(wěn)化方法將序列作平穩(wěn)化處理；

步驟2：對平穩(wěn)的序列作白噪聲檢驗，若經(jīng)檢驗判定序列為白噪聲，建模結(jié)束；否則，轉(zhuǎn)步驟3；

步驟3：對模型進行識別，估計其參數(shù)，轉(zhuǎn)步驟4；

步驟4：檢驗?zāi)Ｐ偷膶嵱眯?，若估計的參?shù)通過檢驗，殘差為白噪聲，則得到擬合模型并可以對序列作預(yù)測；否則轉(zhuǎn)步驟3。

在步驟1中，判斷一個時間序列是否平穩(wěn)的最簡單也是最直觀的方法就是時序圖法。將一個時間序列按時間順序繪成連線圖，若其始終在一個常數(shù)值上下隨機波動，波動強度隨時間變化不大，沒有明顯的趨勢性和周期性，則認為該序列是平穩(wěn)的。若序列不平穩(wěn)，常用的平穩(wěn)化方法有差分、趨勢擬合、移動平均和指數(shù)平滑。

在步驟3中，通過自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性與拖尾性作為模型識別的依據(jù)。若自相關(guān)系數(shù)拖尾，偏自相關(guān)系數(shù)p階截尾，則可建立AR(p)模型。需要注意的是，如果識別出的不只一個模型，則需要根據(jù)AIC等準(zhǔn)則來進行比較并選出最合適的模型。

在步驟4中，殘差為白噪聲是判斷模型有效性的標(biāo)準(zhǔn)之一。時間序列分析的目的之一就是要將序列中的相關(guān)信息充分提取出來，一旦被充分提取，那么剩余的殘差序列就應(yīng)該是白噪聲序列。

筆者在進行自回歸模型的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，僅從理論的角度進行講解，并不能引起學(xué)生的興趣，同時使得學(xué)生難以用于實際問題中，不利于培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)能力。針對這個問題，結(jié)合自回歸模型的廣泛應(yīng)用案例，在理論概念講解之后，將其運用于實際問題——人口預(yù)測中，引導(dǎo)學(xué)生探索問題—收集數(shù)據(jù)—建立模型—預(yù)測，同時通過Eviews軟件上機操作，加深學(xué)生對這部分知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)技能，提高教學(xué)效果。

2 案例分析

人口問題依然是目前世界普遍關(guān)心的重大問題之一。中國總?cè)丝跀?shù)是指中國在某一時間點上的人口總數(shù)，人口眾多、人均資源少依然是我國的基本國情，人口與經(jīng)濟、社會、資源和環(huán)境等各方面的不夠協(xié)調(diào)仍是我國目前發(fā)展面臨的重要問題之一。因而，利用數(shù)據(jù)探究我國人口總數(shù)的變化趨勢、預(yù)測人口總量的變化，對與民生政策、經(jīng)濟政策、人與自然的和諧發(fā)展具有重要意義。本文根據(jù)上述理論，對1952-2018年中國總?cè)丝跀?shù)序列進行分析。

2.1 中國總?cè)丝跀?shù)序列的平穩(wěn)性分析

對給定的時間序列，在建模時，序列應(yīng)滿足平穩(wěn)性，故對1952-2018年中國總?cè)丝跀?shù)序列作時序圖進行觀察，以此獲得序列值的趨勢和走向以及不同時刻序列值之間的相關(guān)關(guān)系。其時序圖如下圖1：

圖1：1952-2018年中國總?cè)丝跀?shù)時序圖

由時序圖可以得出，1952-2018年中國總?cè)丝跀?shù)序列是非平穩(wěn)的。于是，我們需要對該序列作平穩(wěn)化處理。

1952-2018年中國總?cè)丝跀?shù)序列有明顯的線性增長趨勢。因此可以考慮對該序列作一階差分：

圖2：1952-2018年中國總?cè)丝跀?shù)一階差分后的序列時序圖

由時序圖，該序列沒有明顯的趨勢與周期，可以認為該序列是平穩(wěn)的。

2.2 中國總?cè)丝跀?shù)一階差分后的序列的純隨機性檢驗

對給定的時間序列，在建模時，序列除了滿足平穩(wěn)性，還需要滿足非白噪聲。故對中國總?cè)丝跀?shù)一階差分后的序列作純隨機性檢驗，見圖3。

圖3：一階差分后的序列的純隨機性檢驗結(jié)果

由圖3可知，在任意滯后階數(shù)下，該序列的Q統(tǒng)計量檢驗的伴隨概率均顯著為0，因此拒絕其是純隨機序列的假設(shè)，可以認為該序列不是隨機序列，滿足序列是非白噪聲的要求?？梢詫υ撔蛄薪r間序列模型。

2.3 構(gòu)建模型

通過觀察圖3中的自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)，可以得出該序列的自相關(guān)系數(shù)拖尾，偏自相關(guān)系數(shù)1階截尾，因此可以建立AR(1)模型。

圖 4：AR（1）擬合相關(guān)參數(shù)圖

構(gòu)建的模型結(jié)果如下：

結(jié)果顯示，AR(1)的p值小于0.05，通過了顯著性檢驗。

通過殘差序列進一步對模型的有效性作檢驗：

圖5：AR（1）擬合殘差的純隨機性檢驗結(jié)果

由圖5可得，殘差序列全部在二倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍中，顯示出良好的擬合效果。最后建立AR（1）模型如下：

根據(jù)（3.1）與（3.2）建立我國1952-2018年總?cè)丝跀?shù)的組合模型：

該組合模型的擬合效果是比較好的，見圖6。

圖6：組合模型的真實值x與擬合值DF的擬合效果

2.4 基于構(gòu)建模型的人口預(yù)測

根據(jù)（3.3）式對2019年我國人口總數(shù)進行預(yù)測，預(yù)測值為140961.986萬人。2019年我國人口總數(shù)的真實值為139772萬人，真實值與預(yù)測值的相對誤差為0.85%。該模型的預(yù)測效果是比較好的。

3 總結(jié)

自回歸模型是時間序列分析的重要教學(xué)內(nèi)容之一，其概念、性質(zhì)和建模流程相對比較枯燥，教師僅從理論部分進行講解，學(xué)生會難以與實際問題相聯(lián)系。引入人口預(yù)測案例，通過Eviews軟件上機實踐，用完整的實際問題建模，能夠幫助學(xué)生理解自回歸模型的概念、應(yīng)用及軟件實現(xiàn)，更好的達到學(xué)以致用的目的。當(dāng)然，自回歸模型在實際中的的應(yīng)用非常廣泛，可引用的教學(xué)案例較多。例如，旅游人數(shù)預(yù)測問題、國內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)測問題、氣溫預(yù)測問題等等。教師在教學(xué)過程中，可以選擇更貼近學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，更能引起學(xué)生的興趣的案例。同時，教師在將自回歸模型用于人口預(yù)測中，可引導(dǎo)學(xué)生自主建模，完成探索問題—收集數(shù)據(jù)—建立模型—預(yù)測以及利用Eviews軟件實現(xiàn)建模的過程，培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)能力。