淺析高階行列式的幾種計(jì)算方法

姜小霞 王海揚(yáng) 田應(yīng)信 譚楊

摘? 要：行列式是線性代數(shù)中非常重要的內(nèi)容，也廣泛應(yīng)用于許多實(shí)際問(wèn)題的解決，它為求解線性方程組問(wèn)題提供了工具。然而高階行列式的計(jì)算卻是這部分的難點(diǎn)，需要根據(jù)所求高階行列式的形式，分析其所具有的特點(diǎn)，采用適當(dāng)?shù)姆椒▽⒏唠A行列式的計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化。該文將主要針對(duì)3種特殊形式的高階行列式進(jìn)行分析，從而給出相應(yīng)的計(jì)算方法。

關(guān)鍵詞：行列式? 遞歸法 三對(duì)角型? 爪型

中圖分類號(hào)：G642?? ??????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ???????????? 文章編號(hào)：1672-3791（2021）01（a）-0225-03

Analysis of Several Calculation Methods of High-order Determinant

JIANG Xiaoxia? WANG Haiyang? TIAN Yingxin? TAN Yang

（Tongren Polytechnic College，Tongren，Guizhou Province，554300 China）

Abstract： Determinant is a very important content in linear algebra， it is widely used to solve many practical problems. It provides a tool for solving linear equations. However， It is difficult to calculate high-order determinant. We need to analyze its characteristics according to the form of higher-order determinant. In this paper， three special forms of high-order determinant are analyzed and the corresponding calculation methods are given.

Key Words： Determinant; Recursive method; Tridiagonal type; Claw type

《線性代數(shù)》是理工科專業(yè)一門(mén)必修的基礎(chǔ)課程，而行列式理論雖然是該課程中的基礎(chǔ)部分，卻也是該課程中非常重要的部分，為求解線性方程組問(wèn)題提供了工具，在實(shí)際生活中許多問(wèn)題的研究中，都有著廣泛的應(yīng)用。在行列式的應(yīng)用過(guò)程中，必不可少地涉及行列式的計(jì)算。但行列式的計(jì)算，特別是高階的計(jì)算是一個(gè)很復(fù)雜和麻煩的問(wèn)題，一直以來(lái)也是很多學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。該文將針對(duì)3種特殊形式的高階行列式，給出相應(yīng)的計(jì)算方法。

1? 高階行列式的計(jì)算

在n階行列式的定義中，給出了行列式的值是由所有取自不同行不同列的n個(gè)元素所構(gòu)成的乘積的代數(shù)和，這為n階行列式提供了直接計(jì)算行列式值的方法。但是在實(shí)際計(jì)算中，發(fā)現(xiàn)n階行列式的值是由n！項(xiàng)組成的代數(shù)和，且每一項(xiàng)是n個(gè)數(shù)的乘積，這使得計(jì)算并不簡(jiǎn)單。這時(shí)，可以利用行列式的性質(zhì)，將高階行列式變形，轉(zhuǎn)換稱為一些比較容易求出結(jié)果的行列式的形式，比如，將行列式轉(zhuǎn)換稱為含有較多0元素的行列式，甚至有些行列式可以轉(zhuǎn)換稱為具有特殊形式的行列式，進(jìn)而可以快速得出行列式的結(jié)果。但是，n階行列式的形式比較多，很多時(shí)候很難快速的將行列式轉(zhuǎn)化成為像上三角形或是下三角形這樣的特殊形式。為此，在計(jì)算n階行列式時(shí)，需要不斷觀察n階行列式的特點(diǎn)，然后針對(duì)不同類型的行列式的特點(diǎn)，選擇合適的方法來(lái)計(jì)算n階行列式的值。

1.1 遞歸法

遞歸法計(jì)算行列式，是指在計(jì)算n階行列式Dn時(shí)，若根據(jù)所求行列式的特點(diǎn)，可以找到Dn、Dn-1或者是Dn與Dn-1、Dn-2之間的聯(lián)系，從而可以構(gòu)建他們之間的遞歸關(guān)系，最后利用D1和D1低階行列式的值，得到Dn的結(jié)果。

例1 計(jì)算n階行列式。

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，此行列式中，只有3條線（主對(duì)角線和兩條次對(duì)角線）上的元素是非0元素，而其余各元素均為0，像這樣形式的行列式，稱其為三對(duì)角線型行列式。對(duì)于這樣的n階行列式的計(jì)算，可以快速找到Dn與Dn-1、Dn-2之間的關(guān)系，從而得出n階行列式的結(jié)果。

解：將行列式Dn按第一列展開(kāi)可得：

整理可得，由此遞推關(guān)系可得：

（1）

又因?yàn)?，于是得到?/p>

（2）

當(dāng)α≠β時(shí)，由于α和β的對(duì)稱性，同理可得：

（3）

由（2）和（3）式可解得：

（4）

當(dāng)α=β時(shí)，由可以推出，將代入即可得出。

因此

1.2 可化為爪型行列式的計(jì)算

爪型行列式是指形如：

主對(duì)角線以及位于第1行和第1列這3條線上的元素非0，而其余元素均為0的行列式。針對(duì)這種類型的行列式的計(jì)算問(wèn)題，可以將第2列至第n列分別乘以加到第1列，轉(zhuǎn)化為上三角形行列式，或者可將第2行至第n行分別乘以加到第1行，轉(zhuǎn)化為下三角形行列式，均可以得出所求行列式的結(jié)果。

例2 計(jì)算n階行列式。

解：此行列式出來(lái)主對(duì)角線上的元素外，其余元素均為1，于是從第二行開(kāi)始，每一行減去第1行，可得爪型行列式。

從第2列開(kāi)始直至第n列分別乘以加到第1列，可轉(zhuǎn)化為上三角形行列式。

于是便容易得出：

例3 計(jì)算n階行列式。

解：此題形式上與例2有區(qū)別，其中除了主對(duì)角線和第1行第1列上的元素外，其余元素均為β，實(shí)質(zhì)上仍然可以利用行列式的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為爪型行列式進(jìn)行計(jì)算。首先將第1行的倍分別加到第2，3，…，n行，再?gòu)牡?列開(kāi)始直至第n列分別乘以加到第1列，即：

1.3 綜合應(yīng)用

在n階行列式計(jì)算中，很多時(shí)候行列式比較復(fù)雜，很難直接運(yùn)用一種方式就得出結(jié)果，可能需要綜合采用幾種方法才能計(jì)算出結(jié)果。

例4 計(jì)算n階行列式。

解：此行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線上的元素為x，主對(duì)角線下的元素為z，主對(duì)角線以上的元素全為y，若將該行列式直接轉(zhuǎn)化為上（下）三角形比較難，可利用行列式的性質(zhì)，將該行列式拆成2個(gè)行列式之和。

將上式右端中第1個(gè)行列式按第n行展開(kāi)，第2個(gè)行列式從1行至第n-1行分別依次減去其后一行，然后再按照第n列展開(kāi)，可得

（4）

由于在此行列式中，y和z處在對(duì)稱位置，同理可得：

（5）

聯(lián)立（4）和（5）式，消去Dn-1，可以得出：

在上式行列式中，若y=z，則可以采用與例2類似的方法求解，這里不再重復(fù)。

2? 結(jié)語(yǔ)

總之，在n階行列式的計(jì)算中，由于行列式的變化形式比較多，計(jì)算行列式的方法也有很多。該文只是針對(duì)這3種特殊的形式給出了相應(yīng)的計(jì)算方法。實(shí)際上，有很多的方法可以用來(lái)計(jì)算行列式，只是每一種方法可能只適用于具有某些特點(diǎn)的行列式的計(jì)算，并不適用于求解所有的行列式。因此，對(duì)于不同形式的行列式，先要觀察行列式所具有的特點(diǎn)，具體情況具體分析，也可以和以往碰到的一些情況進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，然后再采用適當(dāng)?shù)姆椒?，將求解過(guò)程簡(jiǎn)化，從而能較快地求出行列式的值。

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