基于行列式計(jì)算的幾種特殊計(jì)算方法解析

王俊花

(大同大學(xué) 渾源師范分校, 山西 渾源 037400)

1 行列式計(jì)算方法簡介及基本說明

行列式多用于線性方程組的求解，是一種速記的表達(dá)式，現(xiàn)在已成為線性代數(shù)中一種十分有用的工具。行列式計(jì)算有一定法則，對(duì)于線性方程組而言，應(yīng)用行列式計(jì)算，它可以將線性方程組的不同解表示成一個(gè)公式，即行列式也可以表示為一個(gè)數(shù)，因此行列式是解線性方程組的重要工具[1]。隨著線性代數(shù)研究的深入完善，行列式計(jì)算已逐漸獨(dú)立在線性方程組之外，并發(fā)展成為一門獨(dú)立學(xué)科理論，其中最經(jīng)典的著作是英國著名數(shù)學(xué)家卡羅爾的《行列式———計(jì)算數(shù)值的簡易方法》，因此，行列式不僅僅是一種計(jì)算方法，更是一種知識(shí)理論體系，因此，對(duì)于行列式計(jì)算方法研究很有必要。

行列式的計(jì)算方法類型多樣，有較強(qiáng)的技巧。當(dāng)然，任何一個(gè)n階行列式都可以根據(jù)行列式的定義去計(jì)算數(shù)值，但是，由定義可知，n階行列式展開后有n！項(xiàng)，計(jì)算量大，通常情況下不用該方法，除非行列式中有多個(gè)零元素。對(duì)于行列式的計(jì)算方法，通常用到的是化三角形法與按行、列展開法，其主要依據(jù)行列式性質(zhì)應(yīng)用。由于行列式計(jì)算化三角法特殊性的特點(diǎn)，行列式計(jì)算必然沒有那么簡單，不易掌握。為了有效解決實(shí)際問題中行列式計(jì)算相關(guān)方面問題，使其在工程領(lǐng)域計(jì)算中變得簡單，本文運(yùn)用相關(guān)理論知識(shí)[2]給出幾種計(jì)算行列式的方法，并希望可以其有效推廣，使教學(xué)環(huán)節(jié)變得容易，開拓學(xué)生視野，使課堂教學(xué)應(yīng)用更為簡便。

2 行列式幾種特殊計(jì)算方法解析

2.1 運(yùn)用變向化三角形法計(jì)算行列式

化三角形法是將行列式化為下(或上)三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法，同時(shí)，這也是行列式計(jì)算基本方法。一般情況下，每個(gè)行列式都可以運(yùn)用行列式性質(zhì)化成三角形行列式計(jì)算。但是，對(duì)于某些階數(shù)較高的行列式，計(jì)算十分繁瑣，所以，有些情況下，先是根據(jù)行列式性質(zhì)將其變形，然后再對(duì)其化簡成三角行列式，減少計(jì)算量。例如：

例1 計(jì)算行列式

解析：很顯然，如果將該行列式直接去化三角形行列式，計(jì)算繁瑣，無規(guī)律可言，這里本文重點(diǎn)運(yùn)用行列式性質(zhì)。注意到，該行列式從第一列開始，每一列與該列中n-1個(gè)數(shù)字相差1，根據(jù)行列式性質(zhì)，首先從n-1列開始每個(gè)數(shù)均乘以-1加到第n列，第n-2列乘以-1加到第n-1列，以此類推，直到第1列乘以-1加到第2列[3]。其次，將第一行乘以-1加到每行上去，這樣再將行列式化為三角形行列式，計(jì)算簡化。

其中:ci—行列式第i列;

ri—行列式第i行。

問題推廣：該例中，明顯1,2,…,n-1,n,這n個(gè)數(shù)字在循環(huán)，如果n個(gè)無規(guī)律的數(shù)字在循環(huán)，這樣的行列式又該如何計(jì)算呢？將這樣的行列式稱為“循環(huán)行列式”，因此，這樣的行列式可以推廣到一般情形[4]。例如：

的值

在這里un=1，用到u=un+1，其中f(u)=a0u+a1u2+…+an-1un。

因此，1,w,w2,…，wn-1互異且都是單位根，記：

由上述可知：Awj=f(wj)·wj，所以

Aw=(Aw0,Aw1,…,Awn-1)

=(f(w0)·w0,f(w1)·w1,…,f(wn-1)·wn-1)

顯然w=

因?yàn)閨w|≠0,因此|Aw|=|w|·f(1)·f(w)·…·f(wn-1)=|A||w|，所以，

|A|=f(1)·f(w)·…·f(wn-1)

從而有：

由此可見，該結(jié)論與例1答案吻合，該問題可以推廣到一般情形。

2.2 運(yùn)用降階法計(jì)算行列式

一般情形下，行列式按行(或列)展開并不能減小計(jì)算量，只有當(dāng)該行列式中某一列(或某一行)元素零多時(shí)，才可以真正發(fā)揮作用。因此，行列式應(yīng)用按行(或列)展開時(shí)，首先根據(jù)性質(zhì)將某一列(或行)化為較多零元素，再開始展開[5]。例如：

例3 計(jì)算行列式

解析：該式中沒有一個(gè)零元素，如果直接展開逐步降階直到化為2階行列式計(jì)算，需要20！×20-1次乘法加法運(yùn)算，根本無法完成。若果運(yùn)用行列式性質(zhì)將其化成有多個(gè)零元素，則可以很快計(jì)算出結(jié)果。值得注意的是，該式中相鄰兩行(或列)對(duì)應(yīng)元素僅相差1，可按如下方法進(jìn)行計(jì)算。

解：

2.3 運(yùn)用加邊法計(jì)算行列式

有些行列式，為計(jì)算簡便需要在原基礎(chǔ)上加上一列一行，這種方法稱為加邊法。需注意，加邊后行列式值不變，得到高階行列式計(jì)算容易，根據(jù)行列式特點(diǎn)選取所加行和列，首要是觀察每一行或每列是否有相同的因子[6-7]。例如：

例4 計(jì)算行列式

解析：該行列式若主對(duì)角線元素都減去1，可以明顯看出第一行元素x1與x1,x2,…,xn相乘，第二行為x2與x1,x2,…,xn相乘，……,第n行為xn與x1,x2,…,xn相乘，這樣就可以知道行列式中每行都含有相同因子x1,x2,…,xn，所以可以運(yùn)用加邊法進(jìn)行計(jì)算。

說明：加邊法最大的特點(diǎn)是需要找出行列式中每行(或列)中相同的因子，這樣，在升階后即可根據(jù)行列式性質(zhì)把大部分元素化為零，再化三角形行列式，達(dá)到簡化計(jì)算的目的。

2.4 運(yùn)用乘法定理計(jì)算行列式

對(duì)行列式計(jì)算時(shí)，某些情況可以應(yīng)用乘法定理，即可以將行列式表示成兩個(gè)便于計(jì)算或者已有結(jié)論的行列式的乘積，這樣可以較快計(jì)算出所給行列式的值。也有些情況，可以不用直接計(jì)算，恰當(dāng)選取一個(gè)與已知行列式同階數(shù)的行列式，并計(jì)算兩行列式乘積，這樣也可以計(jì)算出所給行列式值，使計(jì)算簡化。例如：

例5 計(jì)算行列式

解：由題目可知：該行列式可以表示為如下兩行列式乘積，記為A。

由此可見：當(dāng)n>2時(shí)，A=0;當(dāng)n=2時(shí)，A2=(a2-a1)(b2-b1);

當(dāng)n=1時(shí)，A1=1+a1b1。

3 結(jié) 論

行列式計(jì)算是線性代數(shù)中一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，且行列式計(jì)算在實(shí)際問題解決中應(yīng)用廣泛，因此，目前對(duì)于行列式計(jì)算方法研究，越來越受到關(guān)注，是一個(gè)值得研究的課題。對(duì)于行列計(jì)算，還有許多特殊且很實(shí)用的計(jì)算方法，如極限法、導(dǎo)數(shù)法、差分法、換元法、積分法等，但這些方法用處不多，所以不加以介紹。對(duì)于常見的最基本方法，如定義法等，本文也未涉及，本文結(jié)合所學(xué)知識(shí)主要從四個(gè)不同角度分別給出四種不同的計(jì)算方法，有一定局限性，對(duì)于相同類實(shí)際問題可以有效解決，但對(duì)于某些問題，可能起不到好的作用，希望在后續(xù)研究中繼續(xù)挖掘，繼續(xù)探討。