解題教學(xué)，也要找準(zhǔn)認(rèn)知起點(diǎn)

王鈺滎

[摘 要]通常認(rèn)為，解題正確率越高，學(xué)生對解題技巧掌握得越深刻，但是，解題正確率不是評價教學(xué)效果的唯一指標(biāo)，如果學(xué)生思辨能力得不到有效鍛煉，就不足以應(yīng)對各種變式，故此，找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)，訓(xùn)練思維能力才是長久之計。

[關(guān)鍵詞]比例;方程;單位;份數(shù);解題;思維

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）08-0024-02

偶然讀到一篇數(shù)學(xué)教研論文，題為《最基本的，是最有效的》，全文對一道數(shù)學(xué)題的解答進(jìn)行深度剖析，原題為：兩條紅絲巾的長度比為5∶4，各自剪短28 cm后，兩條紅絲巾余下的長度比為3∶2，兩條紅絲巾原長分別是幾厘米？文中記述的解法為（5[x]-28）∶（4[x]-28）=3∶2，然后力證其有效性，并提供高達(dá)96%的正確率為佐證。筆者曾嘗試如此教學(xué)，但效果極差，該解法的有效性不得不令人懷疑。

疑惑一：用方程解此類問題，畢業(yè)班學(xué)生能作出這么完美的解答嗎？

疑惑二：如果換作筆者教學(xué)，該如何講授？

【調(diào)查】

筆者曾對42位畢業(yè)班的數(shù)學(xué)教師進(jìn)行視頻訪談，設(shè)計了三大問題：

1.如此類方程：（4[x]-28）×3=（5[x]-28）×2，評講起來是否有困阻？

A.有? ? ? ? ? ? ?B.沒有

2.學(xué)生解方程的正確率應(yīng)該落在哪個比例范圍？

A.大于80%? ? ?B.50%至80%? ? ?C.小于50%

3.學(xué)生解方程的正確率可能超過95%嗎？

A.有可能? ? ?B.不可能

調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：

小學(xué)課本解方程部分內(nèi)容以等式的基本性質(zhì)為理論依據(jù)，適當(dāng)插敘利用運(yùn)算性質(zhì)來解方程的方法。分析上表可知，對于等式兩邊都有未知數(shù)的方程，多數(shù)教師還是無法講清它的解法，可想而知，學(xué)生的正確率高不到哪里去。同時，受訪教師一致認(rèn)為學(xué)生解方程的正確率高于95%是天方夜譚。

為了獲取可靠情報，筆者在蹲點(diǎn)的學(xué)校七年級進(jìn)行調(diào)查，這所區(qū)重點(diǎn)中學(xué)七年級共有25個班級，14名專職數(shù)學(xué)教師，對數(shù)學(xué)教師的調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：

初一的學(xué)生有“等式的性質(zhì)”和“有理數(shù)的四則運(yùn)算”等知識打底，受訪教師普遍認(rèn)為講清這類方程解法不是難事，學(xué)生解答正確率直線上升，但是仍有部分教師對正確率達(dá)到95%信心不足。

綜上所述，此類題若采用列方程解答，列方程容易，解起來卻困難重重，就算教師示范解答，學(xué)生也只能機(jī)械模仿，無法心領(lǐng)神會，正確率自然要打折扣。這樣的題型在課外教輔中屢見不鮮，如果換筆者進(jìn)行教學(xué)，又該如何處理？學(xué)生解答這類題的認(rèn)知起點(diǎn)在哪里？教師如何在追求正確率的同時，鍛煉學(xué)生的思維呢？帶著這些問題，筆者大膽進(jìn)行專題教研。

一、揭示單位份數(shù)差異

片段一：教學(xué)基礎(chǔ)題

[基礎(chǔ)題1]班級慶祝端午節(jié)，買回10千克粽子，2千克發(fā)糕，5千克南瓜餅，粽子與發(fā)糕的質(zhì)量比是（? ? ）;粽子與南瓜餅的質(zhì)量比是（? ? ）。

（學(xué)生口答）

師：同樣是10千克粽子，為何在第一個比中占據(jù)5份，到第二個比中卻變成2份呢？（將板書中的數(shù)字5和2標(biāo)紅）

生：第一個比中一份粽子的質(zhì)量是2千克，第二個比中一份粽子的質(zhì)量則是5千克。

師：同一數(shù)量，分成的最小的計量單位不同，包含的份數(shù)也不同。（板書：計量單位不同）

[設(shè)計意圖：讓學(xué)生從形象的物質(zhì)配比中，深切認(rèn)識到，同一數(shù)量，計量單位不同，包含的份數(shù)也不同，而這正是學(xué)生做后續(xù)拔高題的認(rèn)知起點(diǎn)，如此教學(xué)為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下根基。]

[基礎(chǔ)題2]張志強(qiáng)與李水生的腰圍比是5∶3，李水生與馬愛國的腰圍比是2∶3，你能判斷張志強(qiáng)與馬愛國誰的腰圍誰更大嗎？為什么？

生1：張志強(qiáng)的腰圍大，因為張志強(qiáng)的腰圍是5份，而馬愛國的腰圍是3份。

生2：反對，兩個比的最小計量份數(shù)不一樣，無法直接比較。

師：大家認(rèn)為呢？現(xiàn)在無法比較，什么時候才能比較？

（生交流，認(rèn)為應(yīng)先將兩個比中的最小計量份數(shù)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)）

師：如何將兩個最小計量份數(shù)統(tǒng)一？

生3：李水生的腰圍在前一個比中占據(jù)3份，到后一個比中變?yōu)?份，根據(jù)比的基本性質(zhì)，將3份和2份統(tǒng)一切分化成6小份。

師：為什么偏偏選中6？

生4：因為6是2和3的最小公倍數(shù)。（板書：最小公倍數(shù)）

師：誰來詳述轉(zhuǎn)化過程？

（生說，師板書。張志強(qiáng)∶李水生=5∶③=10∶6，李水生∶馬愛國=②∶3=6∶9）

師：原來兩個比的最小計量份數(shù)有差別，可以借助比的基本性質(zhì)，將李水生在兩個比中占據(jù)的份數(shù)化成6份（在黑板上圈定6），如此一來，兩個比的最小計量份數(shù)就統(tǒng)一了（板書：比例的基本性質(zhì)，最小計量份數(shù)統(tǒng)一），就具有可比性。（此時，張志強(qiáng)和馬愛國的腰圍大小一目了然）

[設(shè)計意圖：從對比腰圍的生活情境中，讓學(xué)生意識到單位份數(shù)不一樣的兩個比中的項無法直接比較大小，同時粗略領(lǐng)悟到借助比的基本性質(zhì)，選擇兩個項的最小公倍數(shù)作為紐帶，將最小計量份數(shù)統(tǒng)一。教師在黑板上圈定擴(kuò)充后的項、演示“擴(kuò)比”的操作步驟，教授學(xué)生必備技能。]

二、一個量不變下的解比例

片段二：教學(xué)拔高題“一個量不變”

[拔高題]甲乙兩條紅絲巾原長之比為7∶3，如果甲截短20米，兩條紅絲巾的現(xiàn)存長度比為3∶2，兩條紅絲巾的原長各有多少米？

師（啟發(fā)）：可否這樣思考，甲原有7份，減去剩下的3份等于截短的4份，于是20米就對應(yīng)著4份呢？

生1：不行，最小計量份數(shù)不同，不可以直接相減。

師：你怎么知道最小計量份數(shù)前后不一致？

生2：因為乙絲巾的長度自始至終沒有發(fā)生改變，但是它的比值卻由3份變?yōu)?份，有力證明了最小計量份數(shù)不相同。

師：能不能設(shè)法將前后的最小計量份數(shù)統(tǒng)一？請同學(xué)們演算一下。

（生獨(dú)立作業(yè)，投影儀投影。課件出示：

原長構(gòu)成的比例：甲∶乙=7∶③=14∶6

現(xiàn)長構(gòu)成的比例：甲∶乙=3∶②=9∶6）

師：當(dāng)乙占比6份的時候，甲的原長則隨即調(diào)整為14份，現(xiàn)存長度則隨即調(diào)整為9份。你能推定此時的最小計量份數(shù)是幾嗎？

（生嘗試列式：20÷（14-9）=4（米））

師：你可以進(jìn)一步求出兩條紅絲巾的原長嗎？

（生嘗試解答）

[嘗試題]糕點(diǎn)房里粽子與發(fā)糕的質(zhì)量比是5∶4，售出60千克粽子后，現(xiàn)有粽子與發(fā)糕的質(zhì)量比是1∶2，糕點(diǎn)房里原有粽子多少千克？

（生獨(dú)自嘗試解題，然后集體評析）

（師課件出示解答過程：

原有粽子∶發(fā)糕=5∶④

現(xiàn)存粽子∶發(fā)糕=1∶②=2∶4

60÷（5-2）=20（千克）;20×5=100（千克）

答：原來有粽子100千克）

師：比較上面兩道題，你能找出解法的相同點(diǎn)嗎？

最后，師生探討并歸納“一個量不變”的比的問題的解法：先鎖定前后兩個比中恒定的數(shù)量;借助比的基本性質(zhì)，將恒定的數(shù)量對應(yīng)的最小計量份數(shù)統(tǒng)一;根據(jù)數(shù)值的變量和份額的變量的一一對應(yīng)關(guān)系，算出最小計量份數(shù)的具體數(shù)量;利用份數(shù)對應(yīng)的具體數(shù)量和份數(shù)求出結(jié)果。

[設(shè)計意圖：在學(xué)生對例題的解法有了初步認(rèn)知后，設(shè)計同類題，讓學(xué)生進(jìn)行模仿訓(xùn)練，將務(wù)虛的認(rèn)知內(nèi)化為實用的技能，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，學(xué)練結(jié)合，有利于增強(qiáng)學(xué)生的執(zhí)行力。同時在對比中，歸納出解決類似問題的一般流程，編寫解題程序，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。]

三、正確率與教學(xué)效果的辯證統(tǒng)一

因為正確率達(dá)到了96%以上，就認(rèn)為方法奏效，這是盲目樂觀，須知“正確率高”與“方法有效”不能等量齊觀。研究學(xué)生是否掌握解法，解題正確率充其量只能算一個末流的考量指標(biāo)，解題時學(xué)生思維受訓(xùn)程度，能力提升層次等諸多因素同樣重要。

教師進(jìn)行解題教學(xué)務(wù)必要把準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知原點(diǎn)，從原點(diǎn)出發(fā)，設(shè)計有難度梯級的題目，循序漸進(jìn)環(huán)環(huán)相扣，這樣才能鍛煉學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的執(zhí)行力，這樣解題才能維持穩(wěn)定的正確率而不是僥幸得手。當(dāng)然，上述題型的解法并不唯一，比如用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中慣用的技法——假設(shè)恒等量為單位“1”，然后按照分?jǐn)?shù)性質(zhì)來解，也能行得通，但是這種解法學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)不一樣，教師又需要重新定位。

原文作者嘗試了“擴(kuò)比法”后，由于效果欠佳，所以改弦易轍，換用方程法。殊不知，這樣的方程屬于七年級課程，超前教學(xué)無異于揠苗助長，沒有訓(xùn)練學(xué)生的思維，即使學(xué)生勉力解出方程，提高的也是解方程的能力而不是解比的問題的能力。對于這樣的題型，算術(shù)方法是重分析輕計算;方程法是重計算輕分析。

（責(zé)編 吳美玲）