巧用“數(shù)學(xué)步道”理念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型思想

胡世娟

[摘 要]幾何圖形的公式教學(xué)一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。在幾何圖形的公式教學(xué)中，運(yùn)用“數(shù)學(xué)步道”原理中的點(diǎn)數(shù)、目測(cè)、估算、分解組合等方法引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)公式，可以把抽象的公式教學(xué)變得直觀化、形象化，不僅放緩了教學(xué)坡度，而且降低了學(xué)生理解的門(mén)檻，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想和探究創(chuàng)新意識(shí)，為小學(xué)數(shù)學(xué)幾何公式教學(xué)開(kāi)拓了新思路和新模式。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)步道;模型思想;圓的面積;案例;反思

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）08-0058-02

“數(shù)學(xué)步道”是指依托校園中的人行道、跑道、花壇等實(shí)物，運(yùn)用步量、目測(cè)、測(cè)量、估算等一系列數(shù)學(xué)體驗(yàn)與活動(dòng)，計(jì)算實(shí)物的長(zhǎng)度、周長(zhǎng)與面積的方法。運(yùn)用“數(shù)學(xué)步道”原理推導(dǎo)幾何圖形的相關(guān)計(jì)算公式，可以化難為易、變抽象為直觀，不僅可以鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力，提升學(xué)生的推理與歸納能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想和探究創(chuàng)新意識(shí)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展打下良好的知識(shí)與技能基礎(chǔ)。

[教學(xué)案例]

一、情境導(dǎo)入，啟動(dòng)思維

師：學(xué)校計(jì)劃在新大樓前面建一個(gè)圓形花圃，如果讓你設(shè)計(jì)花圃，該怎么做？

生1：需要先求花圃的面積，再根據(jù)面積算出需要多少花苗。

師：我們今天要探究的問(wèn)題是圓的面積。

師：上節(jié)課，我們認(rèn)識(shí)了圓并推導(dǎo)出圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)這個(gè)公式？

生2：圓的周長(zhǎng)=π×直徑=π×半徑×2。

師：猜猜看，圓的面積會(huì)與周長(zhǎng)公式中的哪些因素有關(guān)？

生3：與周長(zhǎng)有關(guān)，周長(zhǎng)越長(zhǎng)圓的面積越大。

生4：與半徑有關(guān)，半徑越大圓的面積越大。

師：上節(jié)課我們已經(jīng)證明了圓的周長(zhǎng)與半徑有關(guān)，因此，這幾個(gè)同學(xué)的猜測(cè)可以歸結(jié)為一種：圓的面積與半徑的長(zhǎng)短有關(guān)。下面我們一起做一個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行求證。

【設(shè)計(jì)意圖：花壇是學(xué)生非常熟悉的事物，以學(xué)校建造新花壇為情境導(dǎo)入新課，可以激發(fā)學(xué)生的探究興趣。讓學(xué)生回顧圓的周長(zhǎng)公式，一方面為探究新知做好知識(shí)鋪墊，另一方面引出了實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)?！?/p>

二、實(shí)驗(yàn)探究，驗(yàn)證猜想

1.教師演示

師（在黑板上畫(huà)圖，邊演示邊講解）：我先畫(huà)一個(gè)正方形，再以這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)一個(gè)圓（如圖1）;如果用數(shù)方格的方法，怎樣算出這個(gè)圓的面積？（正方形中每個(gè)小格為1平方厘米）

生1：先數(shù)出1/4圓的面積，再乘以4，就得到這個(gè)圓的面積。

生2：先數(shù)整格的個(gè)數(shù);接近整格的也算整格;其余不滿(mǎn)整格的可以湊成整格。

（師生一起數(shù)方格，得出正方形的面積=16平方厘米;1/4圓的面積≈13平方厘米;圓的面積≈52平方厘米）

師：圓的面積大約是正方形面積的幾倍？

生3（用計(jì)算器計(jì)算）：大約是正方形面積的3倍多一點(diǎn)。

師：圓的半徑與正方形的邊長(zhǎng)有什么關(guān)系？

生4：圓的半徑=正方形的邊長(zhǎng)。

師：正方形的面積=半徑×半徑。那么圓的面積呢？

生5：圓的面積=半徑×半徑×3=半徑?×3。

師：從這個(gè)等式可以看出，圓的面積與半徑的大小有關(guān)。

【設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)方格的方法計(jì)算圓的面積是運(yùn)用了“數(shù)學(xué)步道”理念中點(diǎn)數(shù)、目測(cè)的方法（如用數(shù)磚塊個(gè)數(shù)的方法計(jì)算人行道的面積）;接下來(lái)又用推理、數(shù)據(jù)分析等方法引導(dǎo)學(xué)生在圓的面積與半徑之間建立關(guān)系。這樣把直觀教學(xué)和推理論證相結(jié)合，既拉近了學(xué)生與“真相”的距離，又為下一步學(xué)生的操作驗(yàn)證做好認(rèn)知鋪墊?！?/p>

2.學(xué)生操作

（1）學(xué)生畫(huà)圖

師：只用一個(gè)圓不足以驗(yàn)證猜想，下面每人拿出一張白紙，分別畫(huà)兩個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米和5厘米的正方形，再分別以?xún)蓚€(gè)正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓。

（2）數(shù)方格計(jì)算面積

師：用老師發(fā)給你們的透明方格紙分別數(shù)出兩個(gè)正方形的面積，填在表格里。

（3）完成表格

師：用計(jì)算器算出兩個(gè)圓的面積，以及圓的面積是正方形的幾倍，填在表格里。

（4）分析總結(jié)

師：從上面的表格中，你能發(fā)現(xiàn)圓的面積和它的半徑有什么關(guān)系嗎？

生1：圓的面積是它的半徑平方的三倍多。

生2：圓的面積可能是π乘以半徑的平方，因?yàn)棣小?.14，與3.1、3.2相近。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己動(dòng)手操作驗(yàn)證猜想，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和探究精神，而且也為下一步推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式埋下伏筆?！?/p>

三、推導(dǎo)公式，建構(gòu)模型

師：有同學(xué)提出“圓的面積=π×半徑?”，到底是不是這樣呢？我們?nèi)孕枰ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。（教師演示把圓平均分成8份，并拼成新的圖形，如圖2）

師：把圓平均分成八份后拼成的圖形像什么？

生1：像平行四邊形。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出學(xué)具（事先畫(huà)好的平均分成16份的圓），按老師剛才的方法，先把圓平均分成16份，再拼成一個(gè)新圖形。

師：看看拼成的圖形（如圖3）像什么？

生2：像長(zhǎng)方形。

師：如果把圓平均分成32份、64份、128份……用剛才的方法拼一拼，那么拼出的會(huì)是什么圖形？

生3：會(huì)越來(lái)越接近長(zhǎng)方形。

師：老師有一個(gè)妙招能讓你們看到一直把圓平均分下去再拼出的圖形。（動(dòng)畫(huà)演示）

師：拼成的長(zhǎng)方形與原來(lái)的圓有什么關(guān)系？

生4：拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半，寬是圓的半徑。

生5：長(zhǎng)方形的面積=圓的面積。

師：如果圓的周長(zhǎng)是C、半徑是r，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬應(yīng)怎樣表示？面積怎樣計(jì)算？

師（總結(jié)）：圓的面積公式該怎么寫(xiě)？

生7：圓的面積=長(zhǎng)方形面積=πr?。

【設(shè)計(jì)意圖：推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，這里運(yùn)用“數(shù)學(xué)步道”原理中的分解、組合、目測(cè)、猜想等理念，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作、聯(lián)想推理，全程參與公式的推導(dǎo)過(guò)程，親自見(jiàn)證公式的“誕生”，驗(yàn)證了猜想的正確性，從而把圓的面積公式這一極為抽象的概念變得直觀形象、具體可感。】

四、遷移運(yùn)用，深化理解

師：如果花圃的半徑是5米，它的面積怎樣計(jì)算？

生1：S=πr?=3.14×5?。

師：計(jì)算圓的周長(zhǎng)或面積時(shí)，有時(shí)因?yàn)橛?jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，也可以用含有π的式子表示計(jì)算結(jié)果，例如S=πr?=π×25=25π。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生使用面積公式計(jì)算出花圃的面積，說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)把公式內(nèi)化吸收，并能運(yùn)用公式解決實(shí)際問(wèn)題，標(biāo)志著學(xué)生已經(jīng)圓滿(mǎn)完成了對(duì)圓的面積公式這一概念的建構(gòu)過(guò)程?！?/p>

[教學(xué)反思]

運(yùn)用“數(shù)學(xué)步道”引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算實(shí)物的長(zhǎng)度、周長(zhǎng)與面積，是一種非?！敖拥貧狻钡臄?shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)。把“數(shù)學(xué)步道”理念應(yīng)用于幾何圖形教學(xué)中，能夠大大加快學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展進(jìn)程。

1.化抽象為直觀

公式教學(xué)一直是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的難點(diǎn)，運(yùn)用“數(shù)學(xué)步道”原理中的點(diǎn)數(shù)、目測(cè)、估算、分解組合等方法，把公式的原理拆解成學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓抽象的數(shù)學(xué)公式變得“接地氣”，既是將抽象概念直觀化的有效教學(xué)策略，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的重要途徑。

2.化繁為簡(jiǎn)、化難為易

應(yīng)用“數(shù)學(xué)步道”理念進(jìn)行公式推導(dǎo)，需要把探究過(guò)程分解成幾步來(lái)完成，每一步通過(guò)實(shí)驗(yàn)、思考、推理、歸納等合作探究活動(dòng)，完成一個(gè)層次，并提出下個(gè)層次的猜想，引出下一步的實(shí)驗(yàn)與探究。這樣層層推進(jìn)、步步深入，不僅放緩了教學(xué)坡度，而且降低了學(xué)生理解的門(mén)檻，讓學(xué)生通過(guò)一步步實(shí)驗(yàn)操作驗(yàn)證猜想、推理論證，最終推導(dǎo)出計(jì)算公式，完成對(duì)公式模型的建構(gòu)。

3.培養(yǎng)模型思想與探究精神

學(xué)生在公式推導(dǎo)過(guò)程中，必須眼、耳、手、腦并用，既要想象猜測(cè)又要操作驗(yàn)證;既要目測(cè)估算又要類(lèi)比推理;既要分析數(shù)據(jù)又要?dú)w納總結(jié);既要合作探究又要交流討論……這樣，不僅鍛煉了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作能力，而且提升了學(xué)生的推理與歸納能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想和探究創(chuàng)新意識(shí)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展打下良好的知識(shí)與技能基礎(chǔ)。

（責(zé)編 羅 艷）