綜合評價結果穩(wěn)健性的偏序集分析

岳立柱，施光磊，陸 暢

（1. 遼寧工程技術大學 工商管理學院，遼寧 葫蘆島 125105；2. 遼寧工程技術大學 管理科學與工程研究院，遼寧 葫蘆島 125105）

0 引言

有效評價是任何學科取得成功的關鍵因素，尤其是在需要處理大量信息以及知識作為構建的領域[1].在綜合評價的過程中，決策者往往面臨著大量的不確定性.因為決策者經(jīng)常面臨復雜的問題，解決這些問題往往涉及多學科知識，包括技術、經(jīng)濟、環(huán)境和社會，以及政治和法規(guī)方面[2].在這樣的環(huán)境中做出決策往往是一項艱巨并且充滿風險的工作，因此充分考慮評價各環(huán)節(jié)的各種不確定性，提升模型的穩(wěn)健性是評價領域不可缺少的任務.

評價的穩(wěn)健性源于評價過程中的不確定性.從系統(tǒng)視角可將不確性劃分為內(nèi)部不確定性和外部不確定性[3].內(nèi)部不確定性與決策問題的構建和分析有關，來源于對決策問題、模型設定和輸入數(shù)據(jù)的不完全理解.外部不確定性與決策環(huán)境的性質有關，即某一特定行為的后果，超出了決策人員的掌控范圍.在產(chǎn)生來源上又可以劃分為模糊不確定性和隨機不確定性[4]，關于這兩方面的研究不僅廣泛而且較為深入，是不確定性研究的典型代表.

模糊不確定性的處理方式不僅研究較早，而且廣泛深入.模糊數(shù)和語言變量這兩個概念為模糊多準則分析奠定了基礎.決策者使用一組語言變量（例如不重要的、重要的、非常重要的、極其重要的）來描述評價準則之間的相對重要性程度[5].應用語言變量的重要性在于它天然具有表達和處理不精確或模糊陳述的能力.例如，WANG Y J[6]提出模糊SAW 模型，求解具有語言等級和不完全偏好信息的多準則決策問題；CHEN T[7]提出區(qū)間二型模糊集的SAW方法；CHEN S M[8]等及HONG D H[9]等基于Vague 集研究了綜合評價方法，該模型能夠反映正面和反面的信息，比模糊集提供更多、更全面的信息.因此，DUBOIS D[10]認為模糊集理論為決策分析中的數(shù)值方法和定性方法提供了一個橋梁.不過，ZHü K[11]指出在復雜和不確定的環(huán)境中，具有清晰數(shù)字的層次分析法比模糊判斷更有效.模糊數(shù)學處理不確定性廣泛應用，盡管其受到了批評，但根據(jù)KUBLER S[12]等對模糊層次分析法的文獻調(diào)查（回顧了2004年至2016 年間發(fā)表的190 篇學術期刊文章）可以看出，采用模糊數(shù)學應對不確定性的做法將持續(xù)增長.

為提升模型的穩(wěn)健性，學者們對指標數(shù)據(jù)的隨機性進行深入研究.概率分布或隨機多準則決策分析方法顯式地將不確定性概念合并到?jīng)Q策規(guī)則中，即使用概率分布而不是單個數(shù)字來描述每一個備選方案的總體表現(xiàn).多屬性效用理論[13]（MAUT），是專門為處理不確定信息而開發(fā)的.然而，MAUT 在實踐中難以使用[14]，因其通過不為人所知概率分布來指定不確定的結果[15]，需要過多的時間和較高的認知負擔才能得出個體的效用函數(shù)[16].隨機多屬性可接受性分析[17-18]（SMAA）已在多標準決策分析中流行，用于處理指標數(shù)據(jù)和權重不確定性.它考慮了整個可能的權重空間，將方案間占優(yōu)概率轉換為對于空間“大小”的比值，同時還能兼顧指標取值的不確定變化.SMAA 最近被引入到綜合指標領域，例如，DOUMPOS M[19]等使用這種方法創(chuàng)建一個綜合指數(shù)，評估1 200 家跨國銀行在不同加權情景下的整體財務實力.GRECO S[20]等建議用SMAA 來處理綜合指標中的加權問題，因為它考慮到不同決策者偏好.

在過去的幾十年中，有關處理不確定性信息的綜合評價方法迅速增長，為實踐決策提供了輔助支撐.當前不確定性的研究大多集中于系統(tǒng)輸入的不確定性，例如，學者們提出了模糊綜合評價、隨機綜合評價、直覺模糊綜合評價、二元語義綜合評價，從系統(tǒng)論的視角來看，均側重話語系統(tǒng)輸入的不確定性研究.由于一個系統(tǒng)的輸出是另一個系統(tǒng)的輸入，因此開放系統(tǒng)的輸出同樣具有不確定性.所以，單純的輸入控制顯得不足，需要從輸出端對不確定性進行控制.偏序方法不假定數(shù)據(jù)間是否具有線性關系，也不假定數(shù)據(jù)分布特征[21]，適用于基數(shù)、序數(shù)、語義等多種數(shù)據(jù)，具有魯棒性佳的優(yōu)點.由于偏序Hasse 圖中的確定性比較結果不受輸入端不確定信息的影響，因此，用其可以評判傳統(tǒng)評價結果的穩(wěn)健程度.將傳統(tǒng)評價升級為偏序評價，應用Hasse 圖表達評價輸出，通過其確定性比較關系便能對傳統(tǒng)綜合評價結果的穩(wěn)健性予以分析.

1 綜合評價模型

綜合評價（Comprehensive Evaluation，CE）也稱多指標綜合評價.廣義的綜合評價是指對多指標進行綜合的一系列有效方法的總稱，此時的綜合評價與多準則決策（MCDM）含義等同；狹義的綜合評價指集結函數(shù)為線性或者擬線性的綜合評價，是廣義綜合評價中最基礎和最核心的部分.本文選擇狹義綜合評價，一是狹義綜合評價是廣義綜合評價的基礎；二是該方法應用廣泛，在專家系統(tǒng)文獻中得到了廣泛的應用，但其決策規(guī)則透明度高，意味著他們的工作很容易被非專家、以及來自決策領域之外的個人所掌握.

（3）數(shù)據(jù)預處理.評價準則除了指標單位不同之外，指標值也有不同的意義，數(shù)值愈大愈好，稱為效益指標；數(shù)值愈小愈好，則稱為成本指標.為進行n個指標的綜合比較，須對指標方向及單位進行歸一化處理；

（5）方案排序.根據(jù)綜合值f(x) 大小進行排序，一般采用值愈大表示方案愈佳.

綜合評價屬于多準則決策領域中最基礎的研究部分，也是現(xiàn)實生活中應用最為廣泛的模型.但從測量學的角度看，多指標代表著“多次”或多維測量，而綜合指標意味著“單次”測量，因此綜合指標具有天然的不穩(wěn)健性.綜合指標發(fā)展的歷史表明，將復雜、動態(tài)、多層面和充滿歧義的現(xiàn)象所相關的信息轉化為一維指標是項復雜的系統(tǒng)工程.當評價過程充滿著隨機和模糊等不確定性時，評估結果的可靠性將耗費大量的認知資源，嚴重干擾當前決策判斷、誘發(fā)決策風險.

2 綜合評價模型的偏序集表示

2.1 線性模型的偏序表示原理

偏序集詳細內(nèi)容見文獻[22]～文獻[25]，僅將核心思想和必要結論作重述.

定義1設R是集合A上的一個二元關系，若R滿足：

（1）自反性 對任意x∈A，有xRx；

（2）反對稱性（即反對稱關系） 對任意x,y∈A，若xRy且yRx，則x=y；

（3）傳遞性 對任意x,y,z∈A，若xRy且yRz，則xRz.則稱R為A上的偏序關系[22].

鑒于傳統(tǒng)偏序方法無法處理偏好問題.根據(jù)決策者對指標重要性排序獲得權重空間，通過對評價矩陣進行累加變換，將權重空間嵌入評價模型，成功表達了決策者偏好問題[23-24].

定理1給定評價集，設準則權重，若

根據(jù)式（1）構造能夠反映權重差異的偏序關系，即

若偏序關系為特殊的全序關系，則矩陣R為可達矩陣.偏序關系矩陣存在信息冗余，需要將其簡化為Hasse 矩陣HR文獻[25]給出了二者的轉換公式

式中，I為單位矩陣；運算符號?為布爾乘法.

根據(jù)Hasse 矩陣繪制Hasse 圖.有關偏序決策的研究起始于Hasse圖性質研究.著名Dilworth定理[26]，即最大反鏈的大小等于覆蓋所有元素的最小鏈數(shù)，該定理描述了Hasse 圖的基礎性質.最大層級的大小通常稱為Hasse 圖的“高度”，最大層級的長短通常稱為Hasse 圖的“寬度”，該定理的擴展被用于正式組織的研究[27].

應用偏序Hasse 圖表達評價系統(tǒng)輸出是建立穩(wěn)健機制的核心和關鍵.偏序Hasse 圖與傳統(tǒng)表達輸出存在本質差異.偏序Hasse 圖表達二維信息，綜合指標本質仍為單維信息.而單維信息經(jīng)?！芭で倍嗑S序關系，通過偏序Hasse 圖能夠有效表達多維序關系，揭示二者在表達多維序信息上的根本差異.

2.2 非線性函數(shù)偏序表示的判定定理

當前偏序表示的評價函數(shù)為線性函數(shù)，實踐中可以轉換為非線性函數(shù)的評價函數(shù)也是常見的多指標集結方式.需要給出具有一般意義上綜合評價函數(shù)的偏序表示方法.

定理2令n元實函數(shù)若存在函數(shù)使得

式中，g為單調(diào)增函數(shù)，ih為n元實函數(shù).當時，對有

證明令根據(jù)式（6）可知

又g為單調(diào)增函數(shù)，故

由式（7）和式（8）可知式（6）成立.證畢.

根據(jù)定理2 應用偏序集能表達集結算子.例如，式（5）中若g(t)=t，i hi(x)=x，則f(x)為簡單線性加權算子（WAA）；若g(t)=t，hi(x) =yi，其中yi表示向量x= (x1,x2,…,xn)第i大分量，則f(x)為有序加權算子（OWA）.

3 基于Hasse 圖的穩(wěn)健性評價指標

3.1 設計基礎

用Hasse 圖表達綜合評價的輸出結果具有良好的穩(wěn)健性.穩(wěn)健機理在于偏序Hasse 圖能夠表達確定性和不確定性信息，即確定性比較關系對不確定性“免疫”，不確定性比較關系對確定性“敏感”.從Hasse 圖中提取穩(wěn)健和非穩(wěn)健的評價信息，為解讀評價結果提供增值服務.

在計算機科學中，找到偏序集的線性擴展鏈的算法叫做拓撲排序.將偏序集的所有線性擴展鏈集合稱之為線性擴展集.偏序集評價方法在線性擴展集上構造了方案排序方法.根據(jù)圖1 可知，滿足偏序關系的全排序共有3 種

根據(jù)線性擴展進行方案比較的思路，見圖2.

圖1 Hasse 圖Fig.1 Hasse

圖2 線性擴展鏈Fig.2 Linear extension chain

當前對線性擴展的研究均假定每條擴展鏈出現(xiàn)的概率是相等的.本例中有3 條擴展鏈，每條出現(xiàn)的概率為1/3.方案全排序由秩均值來實現(xiàn).例如本例中方案D在第3 層出現(xiàn)了一次、在第2 層出現(xiàn)了1次， 第 1 層 出 現(xiàn) 了 一 次， 秩 均 值同 理，可 得.根據(jù)秩均值的線性關系，排出的方案優(yōu)劣順序為

與常規(guī)排序方法不同的是，根據(jù)線性擴展鏈能夠給出方案比較的概率.對于不可比方案的比較概率值小于1，例如C大于D的概率

3.2 方案和層級的不確定性指標構建

由于存在|U(x)|=0，將式（13）進行變換，即

當式（12）參數(shù)未知時，可采用式（13）近似計算.令BA，則集合B的不確定指數(shù)為

當式（14）計算困難時，采用如下近似公式

綜上，給出應用偏序集表示和進行Hasse 圖分析的操作步驟

第一步評價函數(shù)的線性化處理，使其滿足線性表達條件.

第二步通過累加變換，提取權重偏好信息.

第三步獲得偏序關系矩陣，計算Hasse 矩陣.

第四步根據(jù)Hasse 矩陣，繪制Hasse 圖.

第五步由式（12）和式（14）或（式（13）和式（15））進行穩(wěn)健性分析.

4 實例分析

4.1 指標數(shù)據(jù)

文獻[30]探討砂輪磨料問題，砂輪是由結合劑將磨料固結成一定形狀，具有一定強度的固結磨具.選擇砂輪磨料有8 個方案，分別為碳化鈦（A1）、碳化鎢（A2）、立方氮化硼（A3）、氧化鋁（A4）、合成多晶金剛石（A5）、碳化硅（A6）、碳化硼（A7）和釔穩(wěn)定氧化鋯（A8）.砂輪磨料選擇準則有諾普硬度C1（單位為KHN）、彈性模量C2（單位為GPa）、抗壓強度C3（單位為MPa）、抗剪強度C4（單位為MPa）、導電率C5（單位為W/mk）、斷裂韌性C6（單位為MPa·m1/2）、材料成本C7（單位為USD/kg）.所有這些標準除了砂輪磨料成本外，都是效益型的.砂輪磨料選擇問題的原始數(shù)據(jù)見表1.

表1 砂輪磨料選擇材料Tab.1 grinding wheel abrasive selection materials

按文獻[30]w3≥w1≥w4≥w2≥w7≥w5≥w6的權重順序排列，數(shù)據(jù)標準化得到表2.

表2 依權重順序整理后的指標Tab.2 indexes sorted by weight order

4.2 評價結果的偏序集表示

根據(jù)式（2）對方案進行兩兩比較得到偏序關系矩陣.根據(jù)式（4）由偏序比較關系矩陣得到Hasse矩陣，進而繪制Hasse 圖，見圖3.

圖3 8 種方案Hasse 圖Fig.3 Hasse diagram of eight schemes

由圖3 可以看出有4 對方案不可比，即（A3，A5）、（A4，A6）、（A4，A1）和（A7，A8）.不可比方案表明，在給定的權重空間內(nèi)，二者的排序一定可以“翻轉”.可比方案表明在給定的權重空間內(nèi)，二者的排序關系穩(wěn)健不變.

4.3 仿真模擬

為檢驗和揭示Hasse 圖排序的穩(wěn)健性，應用Python3.6 語言編寫仿真程序.程序包括：① 按照權重秩次關系，隨機生成了10 000 個7 維的權重向量，或者說在給定權重空間內(nèi)，抽取了10 000 個權重樣本；② 權重向量乘以方案向量，即10 000 個權重向量乘以8 種砂輪磨料數(shù)據(jù)，共得到10 000 行8 列的評價數(shù)據(jù)（第i行第j列，表示第i個權重向量與第j個方案向量的乘積）；③ 對模擬評價數(shù)據(jù)進行兩兩列比較，最終模擬結果整理為表3.

表3 權重隨機變動下的砂輪磨料比較結果Tab.3 comparison results of grinding wheel and abrasive under random weight variation

表3 數(shù)字有力反映出模擬結果與理論完全符合！Hasse 圖性質表明，對于可比方案，給定權重秩次約束條件下，無論權重如何變動，二者比較關系不變.例如，在Hasse 圖中A3 優(yōu)于A2，該性質表明無論模擬的次數(shù)有多少，前者優(yōu)于后者的概率一定為1.仿真結果表明方案A3 優(yōu)于方案A2 發(fā)生次數(shù)為10 000 次，前者優(yōu)于后者的概率為100 %，這與理論預期完全一致.

對不可比方案的仿真結果，不僅凸顯了Hasse 圖性質分析的獨特性，同時揭示了仿真模擬的不足.圖3中有4 對方案不可比，這些方案的模擬比較結果，理想取值應大于零且小于1.例如，在10 000 次模擬中方案A1 的綜合值大于A4 發(fā)生了7 926 次，即估計前者大于后者的概率為79.26%，A7 評價值大于A8 共發(fā)生了9 929 次，頻率為99.29%.

盡管A5 大于A3 共發(fā)生了10 000 次，模擬概率為100%，但圖3 表明二者不可比.如果在權重空間內(nèi)取指標3 的權重為1，其它指標權重為0，則A3 優(yōu)于A5.結果表明，隨著模擬結果的增加，會使得A5 大于A3 的模擬概率一定不為1.這表明對不可方案的仿真結果會受到模擬次數(shù)的限制，可比方案的模擬結果與仿真次數(shù)無關.

4.4 評價結果的穩(wěn)健性分析

在本例中對給定的權重空間無論選擇怎樣的權重，通過偏序Hasse 圖均可以識別最佳方案集合、識別確定和不確定的比較關系、計算各方案和層的不確定程度.具體如下：

（1）識別可比方案.本例中A3 和A5 均優(yōu)于其它所有方案，表明最佳方案一定在{A3，A5}中產(chǎn)生，權重順序保持不變的條件下，無論權重怎樣變動，最佳方案候選集{A3，A5}不變.

（2）識別不確定方案.盡管模擬結果和文獻[30]結果，一致得到A5 優(yōu)于A3，在Hasse 圖中二者為不可比方案，表明存在A3 優(yōu)于A5 的可能.例如，如果第三個指標上原料充足，或者預計未來成本下降更快，一般會選擇A3 為最佳；若要兼顧多個指標，當其它指標權重也占較大比值，最優(yōu)選擇A5更為穩(wěn)妥.

（3）根據(jù)式（13）和式（15）計算各方案和Hasse 圖的不確定程度，計算結果見表4.

表4 方案與層的不確定程度Tab.4 uncertainty degree of scheme and layer

從表4 中可以看出方案A4 為最不穩(wěn)定元素，即隨著權重變動，方案排名變動程度最大.方案A2為最穩(wěn)定元素，即隨著權重變動，該方案排名不變.最不穩(wěn)定層為{A6，A4}，最穩(wěn)定層為{A2}.

5 結論

應用偏序集表示的綜合評價能夠分析評價結果的穩(wěn)健性.該方法不僅能單獨使用，還可以與其他多準則決策方法結合應用.研究結論如下：

（1）針對當前綜合評價的表示僅限于線性函數(shù)的弱點，在線性函數(shù)偏序表達相關定理基礎上，結合函數(shù)變換特征，證明了非線性函數(shù)可以偏序表達的判定條件.該結論為分析非線性綜合評價的穩(wěn)健性提供了理論支持.

（2）圍繞偏序Hasse 圖建立了方案和層的不確定度量指標.通過該指標能夠比較方案排名的不確定性，不確定性越高表明在綜合評價過程中隨著權重的變化，該方案排名變動的可能越大，即對權重變動的敏感性越高.

（3）實例分析體現(xiàn)了偏序Hasse 圖在綜合評價分析中的獨特價值.與仿真模擬比較表明，Hasse 圖中可比方案的仿真結果與仿真次數(shù)無關，即不隨仿真次數(shù)的改變而變動，凸顯了可比方案的穩(wěn)健性.Hasse 圖中不可比方案的仿真結果與仿真次數(shù)有關，仿真結果會受到模擬次數(shù)的限制，因此，通過Hasse 圖能夠發(fā)現(xiàn)仿真分析的不足.