波動載荷下弓網(wǎng)載流動態(tài)摩擦力模型

陳忠華，賈利明，時 光，回立川，唐 俊

（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105）

0 引言

在弓網(wǎng)滑動電接觸中摩擦是不可避免的，常常對系統(tǒng)的性能產(chǎn)生很大的影響[1].隨著列車運行速度的大幅度提高，弓網(wǎng)動態(tài)壓力載荷變化加劇，由于摩擦而造成的機械磨損和電氣磨損問題越來越嚴重，極大地降低了系統(tǒng)的性能，因此對摩擦力的建模研究變得越來越重要了.

由于摩擦的強非線性以及在滑動過程中所表現(xiàn)出多種特性，關(guān)于摩擦力建模的研究一直是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點.關(guān)于摩擦力模型的研究最簡單的是DEN[2]等在1931 年提出的庫倫模型，因其結(jié)構(gòu)簡單，因而在大部分機械摩擦系統(tǒng)中被廣泛使用.STELTER P[3]等在庫倫摩擦力模型的基礎(chǔ)上提出了Popp-Stelter 模型，這個模型考慮了摩擦的速度相關(guān)性，能夠很好地解釋摩擦系統(tǒng)的自激振動現(xiàn)象.WIERCIGROCH[4]、DAHL[5]等根據(jù)摩擦力在加速和減速階段的不同特性，提出摩擦力的速度滯回特性模型，用以描述摩擦力的記憶特性.CANUDAS[6]等在1995 年提出著名的LuGre 摩擦模型，這個模型幾乎可以解釋實驗中所有的摩擦現(xiàn)象，包括爬行效應(yīng)、Stribeck 效應(yīng)、記憶特性等.在摩擦力模型的應(yīng)用方面，PALLI[7]等基于簡化的LuGre 模型建立一個新的摩擦力模型來描述機器人手關(guān)節(jié)的摩擦力補償技術(shù).陳劍鋒[8]等基于LuGre 摩擦模型提出靜態(tài)和動態(tài)參數(shù)辨識及建模方法，獲得不同氣壓、速度下被測氣缸的摩擦力模型.張巍[10]等基于接觸理論建立直線導(dǎo)軌滑塊的受垂直載荷的靜力學(xué)平衡方程，建立了隨外載荷變化的直線滾動導(dǎo)軌副摩擦力模型.文獻[2]～文獻[6]對摩擦力的研究，主要涉及到摩擦力與位移、速度、加速度等因素的相關(guān)性，但未涉及到電流因素對摩擦力的影響，文獻[7]～文獻[9]對摩擦力的研究，主要涉及到摩擦力在機器人、氣缸和導(dǎo)軌等方面的建模，但未涉及到弓網(wǎng)系統(tǒng)方面的建模研究.而關(guān)于摩擦力在弓網(wǎng)滑動電接觸方面的動態(tài)建模研究還未見發(fā)表.

根據(jù)摩擦現(xiàn)象能否用微分方程表示，可以將摩擦力模型分為靜摩擦力模型和動摩擦力模型[10].靜摩擦力模型將摩擦力描述為速度的函數(shù)，模型結(jié)構(gòu)較為簡單、參數(shù)易辨識；動摩擦力模型將摩擦力描述為位移和速度的函數(shù)，模型更精確，但參數(shù)不容易辨識，動摩擦力模型在一定條件下可以轉(zhuǎn)為靜摩擦力模型.

近年來對弓網(wǎng)摩擦力建模也進行了相關(guān)研究，并取得了一定成果[11-12].本文通過分析摩擦力與壓力波動頻率、壓力波動幅度、接觸電流和滑動速度的關(guān)系，建立起弓網(wǎng)的LuGre 靜態(tài)模型；在已經(jīng)建立的靜態(tài)摩擦的基礎(chǔ)上，通過引入動態(tài)參數(shù)，建立了摩擦力的LuGre 動態(tài)模型，最后通過實驗數(shù)據(jù)對兩模型進行驗證，以驗證模型的有效性.

1 LuGre 模型

LuGre 模型是Canudas 等人于1995 年在Dahl模型和Bristle 模型的基礎(chǔ)上提出的，該模型能夠很好地解釋爬行運動、Stribeck 效應(yīng)及摩擦記憶特性等，是摩擦力研究中最著名的模型，LuGre 模型利用一階微分方程刻畫各種摩擦現(xiàn)象，可以實現(xiàn)在不同的摩擦狀態(tài)下平滑的過渡，得到廣泛應(yīng)用[13-14]，但該模型的參數(shù)識別較為困難，特別是鬃毛剛度系數(shù)σ0和鬃毛阻尼系數(shù)σ1的辨識[15].該模型中物體表面接觸示意，見圖1.

圖1 LuGre 模型中物體表面接觸示意Fig.1 surface contact in LuGre model

文獻[11]基于Stribeck 效應(yīng)建立了弓網(wǎng)的摩擦力模型，具有較高的精確度.LuGre 模型中包含了Stribeck 效應(yīng)，比后者更加完善，為此，本文基于LuGre 模型建立起描述波動載荷下受電弓和接觸網(wǎng)動態(tài)摩擦力方程，LuGre 模型的數(shù)學(xué)表達式為

式中，f為摩擦力，N；x˙為滑動速度，km/h；σ2為摩擦中的粘性摩擦系數(shù)；狀態(tài)變量z為鬃毛平均變形量，m；z˙為狀態(tài)變量z對時間的一階導(dǎo)數(shù)，m/s；g(x˙) 描述的為Stribeck 效應(yīng)，vs為Stribeck 效應(yīng)參數(shù)；Fc、Fs分別為庫倫摩擦力、最大靜摩擦力，N；δ為經(jīng)驗參數(shù)，當(dāng)δ=1 時為Tustin 模型，當(dāng)δ=2時為Gauss 指數(shù)模型.

當(dāng)鬃毛的平均變形量穩(wěn)定時有z˙=0，則上式變?yōu)?/p>

該方程式（2）即為靜態(tài)情況下的LuGre 模型.因此，本文思路為首先建立起弓網(wǎng)的LuGre 靜態(tài)模型，對其參數(shù)進行辨識，再建立LuGre 動態(tài)模型，并對其動態(tài)參數(shù)進行辨識.

2 實驗裝置和實驗方案

2.1 實驗裝置

實驗采用載流摩擦磨損實驗機，見圖2.實驗機可以模擬電力機車弓網(wǎng)系統(tǒng)接觸導(dǎo)線和受電弓滑板之間的“之”字形運動軌跡.滑板和接觸網(wǎng)導(dǎo)線之間的滑動速度可調(diào)范圍為0～160 km/h；所加載的電流最大為800 A；壓力波動頻率的調(diào)節(jié)范圍為0～20 Hz；實驗中正弦形的波動壓力是通過控制音圈電機來產(chǎn)生的[16].該實驗機配備的NI PCI-6251 型數(shù)據(jù)采集卡可以實現(xiàn)對接觸電流、滑動速度、摩擦系數(shù)、加速度等數(shù)據(jù)的實時采集并傳到上位機的處理系統(tǒng)中顯示與儲存，以便進行后期分析處理.

圖2 滑動電接觸實驗機Fig.2 sliding electrical contact experimental machine

實驗中用到的接觸導(dǎo)線為銅，截面積為120 mm2，其性能見表1.滑板為浸金屬碳滑板，化學(xué)成份見表2.

表1 銅導(dǎo)線性能參數(shù)Tab.1 performance parameters of copper wire

表2 滑板材料化學(xué)成分Tab.2 chemical composition of slide material

2.2 實驗條件

根據(jù)對弓網(wǎng)滑動電接觸的相關(guān)研究[17-18]，結(jié)合以往關(guān)于最優(yōu)壓力載荷的研究成果[19]，將本實驗的基準接觸壓力設(shè)定為70 N；對于鐵路接觸網(wǎng)，目前中國采用較多的是鏈型懸掛式，根據(jù)文獻[20]的相關(guān)研究，Re250 DR-0 簡單鏈型接觸網(wǎng)固有頻率為0.926 3～3.922 4 Hz，故將壓力波動頻率設(shè)定為1 Hz、2 Hz、3 Hz、4 Hz；根據(jù)文獻[21]相關(guān)研究，目前普通客運、貨運列車電流強度一般不大于300 A，速度一般不大于160 km/h，故將接觸電流分別設(shè)定為100 A、150 A、200 A、250 A，將滑動速度分別設(shè)置為60 km/h、80 km/h、100 km/h、120 km/h.根據(jù)文獻[22]，99.7%的接觸壓力數(shù)據(jù)分布在（Fm-3s）N 至（Fm+3s）N，其中Fm為平均值，s為標準差.根據(jù)文獻[23]的相關(guān)研究，當(dāng)速度為150 km/h 時接觸壓力標準差s為14.23 N，即波動范圍未超過[-43 N 43 N]，故將接觸壓力波動幅度分別設(shè)定為[-10N 10 N]、[-20 N 20 N]、[-30 N 30 N]、[-40 N 40 N].實驗采用控制變量法，通過控制壓力波動幅度、壓力波動頻率、接觸電流和滑動速度來測量摩擦力，每組實驗做4 次，取其平均值.實驗條件見表3.

表3 實驗條件Tab.3 experimental condition

3 LuGre 靜態(tài)模型

3.1 LuGre 靜態(tài)模型

穩(wěn)態(tài)運行時，鬃毛平均變形量為零，即z˙=0，同時考慮粘性阻尼項影響[24]，故對式（2）修正為

式中，F(xiàn)N為正壓力，N；μc為庫倫摩擦系數(shù)；μs為最大靜摩擦系數(shù)；σ為粘性效應(yīng).

3.2 LuGre 靜態(tài)模型的改進

實際列車的運行情況非常復(fù)雜，所以需要對其進行修正，其中包括波動頻率、接觸電流、波動幅度、滑動速度等因素，現(xiàn)分別針對這些因素進行研究.

（1）反映壓力波動頻率和幅度的摩擦模型

在F=70 N，I=150 A，x˙=100 km/h，不同的壓力波動幅度的條件下進行摩擦力和壓力波動頻率關(guān)系的實驗，實驗結(jié)果見圖3.

圖3 不同壓力波動幅度下摩擦力隨壓力波動頻率變化Fig.3 friction with fluctuation frequency under different fluctuation amplitude

由圖3 可知，在壓力波動幅度、接觸電流、滑動速度一定的條件下，滑動摩擦力隨壓力波動頻率的變化發(fā)生微小變化，平均值幾乎不變，因此在該摩擦力模型中不需考慮波動頻率變化的影響.

利用上述實驗數(shù)據(jù)，同時可以得出相同頻率下摩擦力隨壓力波動幅度的變化曲線，見圖4.

圖4 不同壓力波動頻率下摩擦力隨壓力波動幅度變化Fig.4 friction with fluctuation amplitude under different fluctuation frequency

由圖4 可知，摩擦力隨壓力波動幅度增大而增大，且兩者近似成線性關(guān)系.

在基準壓力FN一定時，實驗中不同的壓力波動幅度可表示成F1=FN±K·ΔF，即不同壓力波動幅度會直接影響實際接觸壓力，故對式（4）修正為

式中，a1、b1為這個模型中描述摩擦力隨壓力波動幅度變化參數(shù).

（2）反映接觸電流的摩擦模型

在F=70 N，f=2 Hz，x˙=100 km/h，不同的壓力波動幅度的條件下進行摩擦力和接觸電流關(guān)系的實驗，見圖5.

圖5 不同壓力波動幅度下摩擦力隨接觸電流變化Fig.5 friction with Contact current under different Pressure fluctuation amplitude

由圖5 可知，摩擦力隨接觸電流增大而逐漸減小，且兩者也近似成線性關(guān)系.

在壓力波動幅度不變的情況下，通過改變接觸電流的大小并不直接影響接觸壓力.當(dāng)電流增加時，接觸區(qū)域溫度升高，鬃毛軟化，接觸點剪切抗力降低；同時高溫會導(dǎo)致具有潤滑作用的氧化物產(chǎn)生，兩者共同作用導(dǎo)致摩擦系數(shù)降低，即接觸電流會直接影響摩擦系數(shù).故對（5）式作如下修正

式中，a2、b2是這個模型中描述摩擦系數(shù)隨接觸電流的變化參數(shù).

（3）反映滑動速度的摩擦模型

在F=70 N，f=2 Hz，I=150 A，不同的壓力波動幅度的條件下進行摩擦力和滑動速度關(guān)系的實驗，見圖6.

圖6 不同壓力波動幅度下摩擦力隨滑動速度變化Fig.6 friction with sliding speeds under different fluctuation frequency

由圖6 可知，摩擦力隨滑動速度增大而增大，且隨著滑動速度的增大，在相同速度增幅的條件下，摩擦力的增量逐漸增大，兩者表現(xiàn)出明顯的非線性關(guān)系.

在壓力波動幅度不變的情況下，通過改變滑動速度的大小不會直接影響實際接觸壓力.在電流一定的情況下，滑動速度較低時，滑板和導(dǎo)線之間的接觸狀況良好，電弧放電現(xiàn)象不明顯；隨著滑動速度的提高，滑板和導(dǎo)線接觸狀況逐漸變差，導(dǎo)致產(chǎn)生電弧，由于電弧的燒蝕作用，滑板表面凹凸不平，從而導(dǎo)致摩擦系數(shù)的增大，即滑動速度會直接影響摩擦系數(shù).故對式（6）修正為

式中，a3、b3、c3為這個模型中描述摩擦系數(shù)隨滑動速度的變化參數(shù).結(jié)合圖6 中摩擦力隨滑動速度的變化的趨勢與Tustin 模型最為接近，故本文經(jīng)驗參數(shù)δ取1.

3.3 LuGre 靜態(tài)模型

綜上所述，在不考慮摩擦力方向的前提下，可建立靜態(tài)摩擦力模型為

3.4 LuGre 靜態(tài)模型參數(shù)辨識

國內(nèi)外眾多非線性擬合軟件中，1stOpt[25]因其對初始值的要求低，且簡單易學(xué)，尋優(yōu)能力強，本模型中的未知參數(shù)采用該軟件中的麥夸特法加通用全局優(yōu)化法進行辨識.

根據(jù)前面分析，設(shè)定壓力波動幅度、滑動速度、接觸電流為已知變量，摩擦力為未知變量，選取圖4、圖5、圖6 共48 組數(shù)據(jù)，利用曲線擬合軟件1stOpt對式（8）中的未知參數(shù)進行辨識，并對模型進行評估，見表4、表5.

表4 模型參數(shù)值Tab.4 parameters’ value in model

表5 回歸統(tǒng)計計量Tab.5 regression statistics

根據(jù)表5 可知，在一定誤差內(nèi)，所建立的模型擬合程度高、效果好，可以很好地反映出摩擦力隨各種因素的變化規(guī)律.

4 LuGre 動態(tài)模型

4.1 LuGre 動態(tài)模型的改進

根據(jù)前面的分析可知，本文建模的過程是在穩(wěn)態(tài)運行的條件下，根據(jù)實驗結(jié)果，不斷對摩擦力方程進行修正，從而建立出LuGre 靜態(tài)模型.上述建模過程為不斷對LuGre 模型中g(shù)(x˙) 做修正的過程，即

4.2 LuGre 動態(tài)模型參數(shù)辨識

LuGre 模型中的參數(shù)分為靜態(tài)參數(shù)和動態(tài)參數(shù)，其中靜態(tài)參數(shù)包括Fc、Fs、vs、σ2，動態(tài)參數(shù)包括σ0、σ1.其中Fc、Fs、vs已經(jīng)在靜態(tài)模型中完成辨識，只需辨識σ0、σ1、σ2.

為準確辨識模型參數(shù)，本文首先設(shè)定一組初始參數(shù)，對建立的Lugre 動態(tài)模型進行摩擦力仿真，通過與實測值對比，完成動態(tài)參數(shù)的辨識.

在眾多算法中，遺傳算法具有較高的準確度和速度，同時不像其他算法容易陷入局部最優(yōu)，是一種優(yōu)化算法，因此，這里采用遺傳算法對Lugre 參數(shù)進行辨識，LuGre 模型動態(tài)參數(shù)辨識流程見圖7.

圖7 動態(tài)參數(shù)辨識流程Fig.7 flow for dynamic parameters identification

設(shè)實驗?zāi)Σ亮閒1，通過在Simulink 中構(gòu)建LuGre 模型仿真圖，并生成摩擦力f2，則摩擦力誤差可表示為

遺傳算法的目標函數(shù)為

辨識的目的即為求取上式的極小值，從而辨識出相應(yīng)的模型參數(shù)，具體步驟如下.

步驟1設(shè)定初始參數(shù)：F=70 N，f=2 Hz，I=150 A，=100 km/h，σ0=1 715 N·m/s，σ1=0.073 N·m/s，σ2=0.001 N/m，其余參數(shù)取自表4.

步驟2動態(tài)模型仿真：將上述實驗條件代入動態(tài)模型仿真程序中進行摩擦力仿真，仿真輸出值為f2(i) .

步驟3仿真結(jié)果對比：將5 000 組實測摩擦力f1(i) 和5000 組仿真輸出值f2(i) 進行誤差對比.

步驟4完成動態(tài)參數(shù)辨識：從Matlab 工具箱中調(diào)用遺傳算法程序包（GA），編寫程序，設(shè)定參數(shù)上下限，求取目標函數(shù)極小值，辨識未知參數(shù).

通過遺傳算法辨識出的未知參數(shù)見表6.

表6 模型參數(shù)值Tab.6 parameters’ value in model

至此，模型中的靜態(tài)參數(shù)和動態(tài)參數(shù)全部辨識出來了，還需要對模型進行驗證與評估.

5 模型的驗證與分析

5.1 模型的驗證

LuGre 模型優(yōu)勢是善于捕捉滑動速度變化時摩擦力的變化，為了驗證所建立模型的準確性，額外測量一部分數(shù)據(jù)，給出速度變化時模型的驗證結(jié)果，并對其進行評價.在F=70 N，f=2 Hz，ΔF=20 N，I等于100 A、150 A、200 A、250 A，x˙等于70 km/h、90 km/h、110 km/h、130 km/h 的條件下，測出實際的摩擦力，分別將上述條件代入純機械的LuGre 模型和所建立的兩個模型中，得到相應(yīng)的摩擦力輸出值，以便進行比較從而驗證模型的有效性，并對兩模型進行分析與評估.摩擦力隨滑動速度變化曲線見圖8.

圖8 不同接觸電流下摩擦力隨滑動速度變化Fig.8 variation of friction with sliding speed under different contact current

根據(jù)圖8 可知，純機械的LuGre 模型的誤差隨著接觸電流的增加而增大，當(dāng)接觸電流為100 A 時，其最大相對誤差為19.230%，當(dāng)接觸電流為250 A時，其最大相對誤差為32.002%，故本文建立的摩擦力模型較純機械的LuGre 模型更具有有效性.通過計算有：靜態(tài)模型的最大相對誤差為10.851%，最小相對誤差為2.503%，平均相對誤差為4.038%；動態(tài)模型最大相對誤差為8.874%，最小相對誤差為0.562%，平均相對誤差為2.365%.因此，本文所建立的LuGre 摩擦力模型，無論是靜態(tài)模型還是動態(tài)模型都能很好的模擬實際摩擦力的變化情況，且動態(tài)模型較靜態(tài)模型更加精確，輸出值更加接近實際摩擦力.動態(tài)和靜態(tài)摩擦力模型誤差對比見圖9.

圖9 動態(tài)和靜態(tài)摩擦力模型誤差對比Fig.9 error comparison chart of dynamic and static friction model

通過圖9 可知，16 組驗證實驗中，動態(tài)模型誤差較靜態(tài)模型誤差小的占12 組，其中靜態(tài)模型的均方差為5.253%，動態(tài)模型的均方差為4.949%，動態(tài)模型更具有有效性.

5.2 動態(tài)模型的優(yōu)異性分析

通過以上分析可知，動態(tài)模型較靜態(tài)模型更為精確、有效，兩者之間的區(qū)別是動態(tài)模型引入了剛度系數(shù)σ0和阻尼系數(shù)σ1.

列車在運行過程中，由于運行速度、接觸電流、接觸壓力不斷變化等原因，滑板在切向和法向上都有變形，滑板上鬃毛的平均變形量不再趨于穩(wěn)定，即不再滿足z˙=0，而靜態(tài)模型不能很好地描述這部分變化.滑板和導(dǎo)線之間的接觸，實際上是通過兩者表面無數(shù)細小的鬃毛接觸，接觸時兩者表面的鬃毛發(fā)生彈性或塑性形變，滑板和導(dǎo)線之間相互滑動的過程，在微觀層面上兩者表面的鬃毛不斷摩擦，進而軟化、脫落，且波動壓力越大、接觸電流越大、滑動速度越快這種現(xiàn)象越明顯，溫度也越高，鬃毛的剛度發(fā)生變化，這一變化通過剛度系數(shù)σ0來描述；隨著滑動速度的改變，鬃毛在發(fā)生軟化的同時，鬃毛之間的粘滯現(xiàn)象不能忽略，且速度越大，粘滯現(xiàn)象越明顯，這一現(xiàn)象通過微觀阻尼系數(shù)σ1來描述.動態(tài)模型綜合考慮了剛度系數(shù)σ0和阻尼系數(shù)σ1的影響，模型更加全面，更接近實際情況，因而其更加精確，更具有有效性.

在本文實驗條件的范圍內(nèi),當(dāng)滑板和接觸導(dǎo)線材料均不變時，所建立的模型可直接使用，且具有較高的精確度；當(dāng)滑板和接觸導(dǎo)線材料改變時，考慮到不同材料會有不同的摩擦系數(shù)、剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)等，需要對模型中的μc、μs、vs、σ0、σ1、σ2等參數(shù)進行修正，但模型的結(jié)構(gòu)形式不變.

6 結(jié)論

（1）通過研究靜態(tài)情況下摩擦力與壓力波動幅度、接觸電流、滑動速度的關(guān)系，通過修正已有的LuGre 模型，建立LuGre 靜態(tài)摩擦模型；在已經(jīng)建立的靜態(tài)摩擦的基礎(chǔ)上，通過引入動態(tài)參數(shù)，建立了摩擦力的LuGre 動態(tài)模型，動態(tài)模型具有更高的精確度，輸出值更加接近實際摩擦力.

（2）在建立模型的過程中未能全面考慮實際運行中噪聲、溫度變化、振動等隨機干擾因素，今后會針對這些問題再進行相關(guān)的研究，建立更加精確的模型.

（3）建立的LuGre 動摩擦模型，將動摩擦模型引入到弓網(wǎng)滑動電接觸領(lǐng)域，為弓網(wǎng)滑動電接觸在摩擦動力學(xué)方面的研究奠定了基礎(chǔ).