數(shù)學(xué)問題解答

(江蘇省徐州市第一中學(xué) 張培強 221140)

(安徽省旌德中學(xué) 趙忠華 242600)

(河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)

(安徽省南陵縣城東實驗學(xué)校 鄒守文 241300)

2021年1月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2581如圖1，半徑為r、R的⊙B、⊙C外切于點A(R>r)，兩圓的一條外公切線與⊙B相切于點D，與⊙C相切于點E，點H1、H2在BC上，且BH1=CH2.過點A作DE的垂線，與過點H1垂直于BC的直線相交于點F1，與過點H2垂直于BC的直線相交于點F2. 求證：

圖1

(北京市朝陽區(qū)教育研究中心 蔣曉東 100028；北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校富力分校 郭文征 100121)

證明如圖2，連接BD、CE，過點B作BM⊥CE于點M.

圖2

因為DE為⊙B、⊙C的切線，D、E為切點，

所以BD⊥DE，CE⊥DE.

所以四邊形DBME為矩形.

所以BM∥DE，BD=EM.

所以CM=CE-BD=R-r.

則△F1H1A∽△BMC.

因為BH1=CH2，所以BH2=CH1.

所以BH1+BH2=BH1+CH1=BC.

注意到AH1=BH1-BA，AH2=BH2-BA，

所以AH1+AH2=BH1+BH2-2BA

=BC-2BA=BA+AC-2BA=AC-BA

=R-r. ④

由③和④得

在Rt△BCM中，由勾股定理，得

當(dāng)且僅當(dāng)點H1、H2重合為BC的中點H時，不等式中的等號成立.

2582設(shè)a,b,c,d>0,a+b+c+d=4.求證:

abcd(a2+b2+c2+d2)≤4.

(陜西省咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平 712000)

證明應(yīng)用調(diào)整方法證之.

記f(a,b,c,d)=abcd(a2+b2+c2+d2).

這等價于abcd(a2+b2+c2+d2)

等價于ab(a2+b2)+ab(c2+d2)

顯然成立.

這時，所要證明的不等式等價于

f(x,x,y,y)≤4,也就是 2x2y2(x2+y2)≤4,

注意到xy≤1,所以，只要證明

(2xy)(x2+y2)≤4,

由基本不等式得

綜上，知所要證明的不等式成立.

(江蘇省徐州市第一中學(xué) 張培強 221140)

解設(shè)A(acosθ1,bsinθ1)，

B(-acosθ1,-bsinθ1)，

C(acosθ2,bsinθ2)，D(acosθ3,bsinθ3)，

所以

(k1+k3)(k2k4+k2k5)

=(k2+k4)(k1k3+k4k6)，得證．

2584在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對邊長分別為a,b,c，外接圓、內(nèi)切圓半徑和半周長分別為R、r和s.試證：

(浙江湖州市雙林中學(xué) 李建潮 313012)

證明在△ABC中，由三角形恒等式

有 cosA+cosB+cosC

其次，在(1)式中作三角形代換

有

即

(2)

最后，將三角形恒等式

問題得證.

2585如圖，點I為△ABC的內(nèi)心，直線AI,BI,CI分別交線段BC,CA,AB于點D,E,F,記S△BID=S1,S△CID=S2,

(山東省泰安市寧陽第一中學(xué) 劉才華 271400)

2021年2月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2586如圖，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓,D,E,F分別是圓與邊BC,CA,AB相切的切點，射線DI和EF相交于K.證明：AK平分BC.

(安徽省旌德中學(xué) 趙忠華 242600)

2587設(shè)a，b，c，d>0，證明：

(河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)

2588如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC,且BD∶AC=2∶3，求證：∠ABC=60°.

(安徽省舒城縣杭埠鎮(zhèn)中心學(xué)校 丁遵標(biāo) 231323)

2589試證明ex+4x4lnx≥x5+x4.

(安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005 )

(安徽省南陵縣城東實驗學(xué)校 鄒守文 241300)