促進(jìn)理解和遷移的四邊形單元教學(xué)設(shè)計

楊小麗

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100044)

理解意味著能夠智慧地和有效地應(yīng)用與遷移[1].遷移是把一個情境中學(xué)到的東西遷移到新情境的能力[2].然而學(xué)習(xí)只有在學(xué)生達(dá)到遷移水平時才算完成[3].學(xué)生的遷移能力是學(xué)習(xí)的一個重要標(biāo)志，它能幫助教師評估和改進(jìn)教學(xué)[4].

四邊形的課程內(nèi)容應(yīng)聚焦平行四邊形[5].常見的平行四邊形教學(xué)安排是：直接給出或回顧小學(xué)定義，分別探索并證明性質(zhì)定理1，2，3，分別探索并證明判定定理1，2，3.這樣的過程缺乏探索一個圖形的整體性，割裂了定義、性質(zhì)、判定間的內(nèi)在聯(lián)系，使原來在內(nèi)涵、思想方法上具有一致性和連貫性的內(nèi)容被人為切割，導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識的碎片化[6]；不僅不利于理解平行四邊形的性質(zhì)，而且也不利于遷移，面對一個新圖形, 如果沒有了老師預(yù)先設(shè)計好的情境, 學(xué)生將很難獨立開展研究.

有學(xué)者和教師從整體性的角度，對平行四邊形的教學(xué)進(jìn)行了改進(jìn).他們的做法是將平行四邊形的教學(xué)過程調(diào)整為：給出平行四邊形定義、整體探索平行四邊形的性質(zhì)、整體探索平行四邊形的判定.這樣的教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)了單元的思想，有利于學(xué)生掌握研究一個圖形的基本路徑和思想方法，積累研究圖形的活動經(jīng)驗.不足的是，上述整體設(shè)計對平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定之間的關(guān)系揭示得不夠深入，這在一定程度上會導(dǎo)致學(xué)生對三者之間的內(nèi)在聯(lián)系理解得不夠充分，因而不利于遷移.

本文在學(xué)生調(diào)研的基礎(chǔ)上，從促進(jìn)理解和遷移的角度，在大觀念的指引下，對四邊形單元的教學(xué)進(jìn)行再探索.

1 大觀念是理解的核心、遷移的關(guān)鍵

大觀念，英文Big Ideas，也有學(xué)者將其譯為大概念、一般觀念、核心觀點.在教育領(lǐng)域，有關(guān)大觀念的研究至少可以追溯到布魯納對于教育過程的研究[7].林恩·埃里克森認(rèn)為大觀念是指向?qū)W科中的核心概念，是基于事實基礎(chǔ)上抽象出來的深層次的、可遷移的概念[8].格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰格提到，大觀念通常表現(xiàn)為一個有用的概念、主題、有爭議的結(jié)論或觀點、悖論、理論、基本假設(shè)、反復(fù)出現(xiàn)的問題、理解或原則，它能夠?qū)㈦x散的事實和技能有意義地連結(jié)起來，是重要的、持久的、可遷移的[9].蘭德爾·查爾斯將大觀念定義為是對一個觀念的陳述，這個觀念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，且能把各種數(shù)學(xué)理解聯(lián)系成一個連貫的整體[10].

很多學(xué)者都提到過大觀念的重要性.如，威金斯用魔術(shù)貼、錨點、車轄、透鏡等來形容大觀念的核心位置和關(guān)鍵作用.他認(rèn)為，大觀念相當(dāng)于一個車轄，車轄是一種配件，能夠使車輪固定在車軸上，因此，車轄是理解的必要條件[11].大觀念照亮了經(jīng)驗之路，是遷移應(yīng)用的關(guān)鍵[12].而布魯納也早就指出：任何學(xué)習(xí)表現(xiàn)的首要目標(biāo)(不考慮它可能會給我們帶來的快樂)，都是它應(yīng)該在將來為我們服務(wù)……本質(zhì)上講，它在于學(xué)習(xí)最初并不是一種技能而是一種普通的觀點.這種觀點認(rèn)為，它可以作為用于識別后續(xù)問題的基礎(chǔ).這種類型的遷移是教育過程的核心——知識的持續(xù)擴(kuò)張與加深就是依據(jù)的這一觀點[13].

2 促進(jìn)理解和遷移的四邊形整體設(shè)計

威金斯提出了理解為先的單元教學(xué)設(shè)計模式，該模式的主要目的是發(fā)展和深化學(xué)生的理解，即通過大觀念理解學(xué)習(xí)內(nèi)容并將學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行遷移[14].筆者參照該模式，對四邊形單元進(jìn)行整體設(shè)計.

2.1 確定大觀念及單元具體觀念

蘭德爾·查爾斯系統(tǒng)提出了21條數(shù)學(xué)大觀念，其中幾何領(lǐng)域的大觀念有4條，能指引四邊形單元教學(xué)的大觀念是“形狀和立體圖形：二維和三維物體(無論是否有曲面)都可以通過其特征進(jìn)行描述、分類和分析”[15]. John A. Van de Walle等也提出了幾何領(lǐng)域的4條大觀念，其中有兩條能指引四邊形單元教學(xué)，它們是：(1)根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)可以判斷不同圖形是否相同，圖形可以根據(jù)其性質(zhì)進(jìn)行分類；(2)當(dāng)一個圖形在平面內(nèi)或空間中移動時，變換提供了一種判斷圖形的性質(zhì)是否變化的重要方法，這些變換包括平移、反射、旋轉(zhuǎn)等[16].

“圖形的性質(zhì)”是初中圖形與幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容，這部分內(nèi)容可以體現(xiàn)如下數(shù)學(xué)大觀念：(1)圖形是從現(xiàn)實空間中抽象出來的；(2)圖形的組成元素決定了圖形的性質(zhì)，可以根據(jù)圖形的性質(zhì)對圖形進(jìn)行描述、分類和分析；(3)研究圖形的過程和方法包括通過抽象得到圖形；通過定義表述圖形；通過觀察、操作、度量、歸納、類比等方法發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)；利用演繹推理從定義、基本事實、定理出發(fā)對發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行證明，從而得到圖形的性質(zhì)；根據(jù)圖形的定義和性質(zhì)，得到圖形的判定.

將上述大觀念具體化，得到四邊形單元的具體觀念：(1)四邊形是從現(xiàn)實空間中抽象出來的；(2)四邊形可以根據(jù)其邊和角的特征來描述、分類和命名；(3)四邊形可以由三角形構(gòu)成或分解成三角形；(4)分類是認(rèn)識圖形特征的重要方法，也是理解圖形間關(guān)系的重要手段；(5)定義是探索圖形性質(zhì)和判定的出發(fā)點，圖形有多種定義方式，所有充分必要的性質(zhì)命題都可以用“性質(zhì)”構(gòu)成圖形的定義[17]；(6)圖形的性質(zhì)是指圖形的整體特征(穩(wěn)定性、對稱性)以及圖形各幾何元素之間確定的位置關(guān)系、大小關(guān)系；(7)觀察、操作、度量、歸納、類比、推理都是研究圖形性質(zhì)的有效方法；(8)圖形的判定是指能夠判斷一個圖形是否為某類圖形的條件；(9)圖形的性質(zhì)定理和判定定理一般是互逆的關(guān)系，可以通過性質(zhì)定理的逆命題尋找圖形的判定定理，也可以將圖形的性質(zhì)羅列出來，將性質(zhì)兩兩組合構(gòu)造命題，如果命題為真，則可以作為圖形的判定定理；(10)經(jīng)過合情推理發(fā)現(xiàn)的結(jié)論不一定正確，通過演繹推理可以證明一個命題是正確的，利用反例可以判斷一個命題是錯誤的；(11)圖形變換既是研究圖形性質(zhì)的重要方法，也是探究證明思路、尋找證明方法的重要途徑；(12)證明要做到：出發(fā)點正確、推理過程正確，證明的依據(jù)是學(xué)過的定義、基本事實、定理、推論等.

上述具體觀念不僅可以指引平行四邊形的研究，還可遷移至矩形、菱形、正方形及陌生圖形的研究中.

2.2 調(diào)研學(xué)生的初期理解

學(xué)生帶著有關(guān)世界如何運作的前概念來到課堂，如果他們的初期理解沒被卷入其中，那么他們也許不能掌握所教的新概念和信息，否則他們會為了考試的目的而學(xué)習(xí)它們，但仍會回到課堂之外的前概念[18].那關(guān)于平行四邊形，學(xué)生的初期理解是什么？為此，在四邊形單元學(xué)習(xí)之前對35名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研(1)調(diào)研結(jié)果由北京市大興德茂學(xué)校李寧老師提供..下面呈現(xiàn)部分調(diào)研題目及結(jié)果.

對于問題“請你給平行四邊形下個定義”，學(xué)生的答題情況如表1所示.

表1 平行四邊形定義答題情況統(tǒng)計表

除了一名學(xué)生沒有答題之外，其余34名學(xué)生都回答了此題，其中一名學(xué)生給平行四邊形下了4個定義.

由上述調(diào)研結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對什么是定義有不同的理解.此外，根據(jù)范希爾理論，學(xué)生下定義的水平主要處于水平1分析及水平2非形式演繹.其中分析水平的學(xué)生為了給某類圖形下定義，傾向于列出該類圖形盡可能多的性質(zhì)，如表1中的定義5，6，7；而非形式演繹水平的學(xué)生能識別定義一個圖形需要的最小一組性質(zhì)，如表1中的定義1，2，3，4；演繹水平的學(xué)生則能認(rèn)識到一個形式化定義的特征及其等價定義.

對于問題：“請你研究平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形有哪些性質(zhì)？”學(xué)生的答題情況如表2所示.

表2 平行四邊形性質(zhì)答題情況統(tǒng)計表

由表2可知，學(xué)生對“什么是圖形的性質(zhì)”理解不同.此外，大部分學(xué)生不清楚定義和性質(zhì)間的關(guān)系，他們將定義作為平行四邊形的一個性質(zhì).(如，在將“平行四邊形的對邊平行”作為平行四邊形性質(zhì)的27人中，有26人將其作為了平行四邊形的定義)而在數(shù)學(xué)上，概念的定義和概念的性質(zhì)是直接被區(qū)分的，概念的性質(zhì)都是在定義基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的[19].

從調(diào)研結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對“什么是定義、如何下定義、什么是性質(zhì)、如何研究圖形的性質(zhì)”等問題的理解上有較大差異.其中有些理解是不充分的、有些理解是錯誤的.而不充分、不恰當(dāng)、錯誤的已有知識可能誤導(dǎo)或阻礙新的學(xué)習(xí)[20]，因此需要通過教學(xué)予以填補(bǔ)和糾正.

2.3 制定學(xué)習(xí)目標(biāo)、確定基本問題

理解為先的單元包含四種不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)：遷移、理解意義、知識和技能[21].學(xué)會遷移是所有教育的長期目標(biāo)，學(xué)習(xí)的根本目的是理解意義與遷移應(yīng)用；理解意義是遷移的前提，指向大觀念；知識和技能是獲得深入持久理解以及學(xué)會遷移的必需工具(即手段)[22].

為了促進(jìn)學(xué)生的理解和遷移，需要有基本問題的引領(lǐng).基本問題指向和突出大觀念，它們像一條過道，通向理解之門；基本問題能夠引發(fā)探究、討論或論證；不僅能夠促進(jìn)對某一特定主題單元的內(nèi)容理解，也能激發(fā)知識間的聯(lián)系和遷移[23].

四邊形單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)及基本問題如表3所示.

表3 四邊形單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)及基本問題

續(xù)表

2.4 設(shè)計評估任務(wù)

威金斯提倡逆向設(shè)計，即將評價設(shè)計這一步驟提前，先思考如何開展評估，再設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù).評估的方式是多樣的，包括對理解的非正式檢查(如口頭提問、觀察、對話)、隨堂測驗、開放式問答題及表現(xiàn)性任務(wù)[24].為了評估學(xué)生的理解和遷移，可設(shè)計如下評價任務(wù)：圖1中的三個四邊形都是箏形，圖2中的三個四邊形都不是箏形.請給箏形下定義，研究其性質(zhì)和判定，并給出研究結(jié)果.

圖1

圖2

2.5 設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)

根據(jù)前述分析，將四邊形單元的主要學(xué)習(xí)活動整體安排如下，如圖3所示.

圖3 四邊形單元學(xué)習(xí)任務(wù)整體設(shè)計

限于篇幅，下面重點對平行四邊形的學(xué)習(xí)任務(wù)予以展開，以問題串的形式呈現(xiàn).

問題1課前請同學(xué)們給平行四邊形下定義，同學(xué)們給出了7個定義，那這7個都能作為平行四邊形的定義嗎？

生：第一個肯定能，小學(xué)課本里是這么寫的.

追問1：那其余6個呢？能作為平行四邊形的定義嗎？

生：之前學(xué)過定義具有兩重性，定義既是“性質(zhì)”又是“判定”.那需要判斷其余6個是否具有兩重性.也就是說先看看它們是不是平行四邊形的性質(zhì)，再看看它們是不是平行四邊形的判定.

設(shè)計意圖前測中，學(xué)生給平行四邊形下了7個不同的定義，說明學(xué)生對定義有著不同的理解.那什么樣的理解才是正確的呢？課堂上應(yīng)該對該問題進(jìn)行討論，否則會不利于學(xué)生形成對定義的正確理解.學(xué)生會認(rèn)為定義是教材給定的、是唯一的.

問題2既然如此，那我們在定義1的前提下，先來討論平行四邊形的性質(zhì).課前大家已經(jīng)對平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了研究，得到了不少結(jié)論(呈現(xiàn)學(xué)生的研究結(jié)果).大家是怎么得到這些結(jié)論的？這些結(jié)論正確嗎？怎么證明？這些都是平行四邊形的性質(zhì)嗎？平行四邊形的性質(zhì)指的是什么？教材中為什么只呈現(xiàn)了其中3條性質(zhì)？

設(shè)計意圖定義具有兩重性，既是“性質(zhì)”又是“判定”.給概念下定義首先要清楚圖形的性質(zhì)和判定.因此，需要先對平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行研究.通過問題2中基本問題的討論，讓學(xué)生理解本單元第(6)(7)(10)(11)(12)條具體觀念.

問題3研究完性質(zhì)，接下來我們研究平行四邊形的判定.平行四邊形的判定具體要研究的問題是什么？

生：尋找除定義外，能夠判斷一個四邊形是平行四邊形的條件.

師生活動：學(xué)生先獨立研究，然后小組交流，老師觀察并收集匯總學(xué)生的做法.

追問1：大家是怎么得到這些結(jié)論的？這些結(jié)論正確嗎？怎么證明？

追問2：這些都是平行四邊形的判定嗎？平行四邊形的判定指的是什么？教材中為什么只呈現(xiàn)了其中3條判定？

設(shè)計意圖通過問題3中基本問題的討論，讓學(xué)生理解本單元第(8)(9)(10)(11)(12)條具體觀念.

問題4研究完平行四邊形的性質(zhì)和判定，我們再回過頭來討論平行四邊形的定義.除結(jié)論1外，其余6條結(jié)論可以作為平行四邊形的定義嗎？

生：結(jié)論2，3，4可以.結(jié)論5，6，7都有多余的條件，只需要保留其中一個即可.

追問1：平行四邊形可以有多個定義嗎?

追問2：教材為什么選擇了“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”作為定義？

追問3：根據(jù)前面的討論，大家能說說如何給平行四邊形下定義嗎？

設(shè)計意圖通過問題4的討論，讓學(xué)生明晰平行四邊形可以有多個定義，而且這些定義是等價的.一般來說，人們選擇更加直觀的命題作為定義[25].定義是推理的邏輯起點，是研究性質(zhì)和判定的出發(fā)點.給平行四邊形下定義時，首先對平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行探索，找出能夠?qū)⑵叫兴倪呅胃渌麍D形區(qū)分開來的性質(zhì)，選擇一條作為定義，然后對其進(jìn)行檢驗，如果不能找到任何一個反例，則所下定義是恰當(dāng)?shù)?即通過對問題4的討論，讓學(xué)生理解本單元第(5)條具體觀念.

問題5我們已經(jīng)對平行四邊形進(jìn)行了完整的研究，下面我們進(jìn)行回顧與小結(jié).對于平行四邊形我們都研究了哪些內(nèi)容？是怎么進(jìn)行研究的？得到了哪些結(jié)論？定義、性質(zhì)、判定之間的關(guān)系是什么？

設(shè)計意圖通過問題5，對平行四邊形的研究過程進(jìn)行回顧和整理，進(jìn)一步明晰和理解本單元的具體觀念，以便于遷移至本單元矩形、菱形、正方形及陌生圖形的研究中.

3 結(jié)語

教育工作者希望學(xué)生能把學(xué)習(xí)從一門課中的一個問題遷移到另一個問題，從一學(xué)年遷移至另一學(xué)年，在學(xué)校與家庭之間以及從學(xué)校遷移到現(xiàn)場[26].而對基礎(chǔ)性原則和觀點的理解是培養(yǎng)遷移能力的主要途徑[27].因此，為了促進(jìn)學(xué)生的理解和遷移，可以在大觀念的統(tǒng)領(lǐng)下進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計.本文以四邊形單元為例，闡述了如何在大觀念的統(tǒng)領(lǐng)下進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計：確定大觀念及單元具體觀念、調(diào)研學(xué)生的初期理解、制定學(xué)習(xí)目標(biāo)并確定基本問題、設(shè)計評估任務(wù)、設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù).大觀念統(tǒng)領(lǐng)下的四邊形單元教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)了單元的思想，有利于學(xué)生深入理解定義、性質(zhì)、判定間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握研究一個圖形的基本路徑和思想方法，積累研究圖形的活動經(jīng)驗，從而促進(jìn)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容遷移至陌生圖形的研究中.