問題探究與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

馬佑軍

(重慶市巴蜀中學(xué)校 400013)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》指出：學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力．數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的．

問題探究是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的重要環(huán)節(jié)，通過對問題的探究，不僅可以逐步提升學(xué)生的“四基”(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)水平，引導(dǎo)學(xué)生自覺養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題、用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問題、用數(shù)學(xué)的語言表達和交流問題的習(xí)慣，更有助于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

問題探究，可以從多層面去體現(xiàn)．一是同一問題的不同角度、不同方法，如本文的問題探究1；二是逐步深入，求得更精確的結(jié)果，如本文的問題探究2；三是推廣，獲得更一般的結(jié)論，如本文的問題探究3．

1 對問題進行多角度探究，可以培養(yǎng)學(xué)生有效提取信息和數(shù)據(jù)處理能力，在思路的探索中選擇更合理的推理模式，不斷進行自我反思和建構(gòu)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在潛移默化中得以培養(yǎng)

問題探究的價值在于：體現(xiàn)課程的基礎(chǔ)性、選擇性和發(fā)展性，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．

問題探究1

設(shè)△ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為R和r,求證：R≥2r(Euler,歐拉不等式)．

為了敘述的方便，設(shè)△ABC中的角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,△ABC的面積和半周長分別為S和p.

探究方向(1)

=rR(sinA+sinB+sinC)，

當△ABC是銳角三角形時(如左圖)：

S=S△AOC+S△BOC+S△AOB

當△ABC是直角三角形時：上述三角形之一蛻化為直線，上式依然成立；

當△ABC是鈍角三角形時(如右圖):

S△ABC=S△AOB+S△BOC-S△AOC

所以S△ABC等于圓心三角形面積的代數(shù)和.

?(sin 2A+sin 2B+sin 2C)R2

=2S=2rR(sinA+sinB+sinC),

又sin 2A+sin 2B+sin 2C

=sin (B+C)cos (B-C)+sin (C+A)·

cos (C-A)+sin (A+B)cos (A-B)

=sinAcos (B-C)+sinBcos (C-A)+

sinCcos (A-B)≤sinA+sinB+sinC;

所以R≥2r.

探究方向(2)

又根據(jù)“琴生不等式”得

由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

探究方向(3)

?pr2=(p-a)(p-b)(p-c)

探究方向(4)

探究方向(5)

其中x,y,z>0,

因此R≥2r?

(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz，

由二元平均值不等式即得．

2 對問題進行深化探究，可以增強學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，激發(fā)學(xué)生更強的內(nèi)在學(xué)習(xí)動力，讓學(xué)生體驗探究活動帶來的愉悅感和成就感，可使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在持續(xù)的探索中得以升華

問題探究2

探究方向(1)

邏輯推理，就是能夠?qū)εc學(xué)過的知識有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，通過對其條件與結(jié)論的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準確的數(shù)學(xué)語言表述論證過程．

?lnan=(lnan-lnan-1)+(lnan-1-lnan-2)+…

+(lna2-lna1)+lna1(n≥2)

探究方向(2)

數(shù)學(xué)運算，就是一種演繹推理，能夠在關(guān)聯(lián)的情景中確定運算對象，選擇合理的運算方法、設(shè)計可靠的運算程序，通過進一步探究，新的發(fā)現(xiàn)由此誕生．

易求得a2=2,同探究(1)知an+1>an(n∈N*)，在探究過程中我們可以發(fā)現(xiàn)：本題的條件x>ln(x+1)(x∈R+)，不是必需的，而且可以探究出比原問題更強的結(jié)論．

當n≥2時，

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+

(a3-a2)+a2,

故an<5(n∈N*)．

探究方向(3)

能夠在綜合的情境中 ，通過不斷地探究、歸納和類比，用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)更有價值的探索路線，從而找到問題探究新的突破口．

探究方向(4)

在不斷的探索中發(fā)現(xiàn)新的方法，挖掘問題更加美妙的結(jié)果，充分揭示問題探究歷程中無限美好的心境，這是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)更有價值的展現(xiàn)．

故bn

3 對問題探究的拓展思維，可以有效培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，不失時機地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和數(shù)學(xué)遷移能力，促進優(yōu)秀學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，提高學(xué)生數(shù)學(xué)鑒賞能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)的品位

問題探究3

已知xi∈(0,1)(i=1,2,…,n,n∈N，n≥2),且x1+x2+…+xn=1.求證：

高中生的知識儲備達到了一定的程度，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗也有一定的積累，這些都為學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)創(chuàng)造了有利條件．根據(jù)教學(xué)的實際情況，以問題探究的形式為載體，采取恰當措施促進學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)得到有效的提升．

充分發(fā)揮不同推理形式在數(shù)學(xué)探究過程中的不同作用，注重它們之間的功能互補．引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實驗、比較、分析、抽象概括、推理證明等多種活動，在相互之間的交流中，對探究對象所蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、規(guī)律進行思考，為做出更為科學(xué)的判斷提供可靠的保證，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在不斷的探究中得以優(yōu)化．

探究方向(1)

以簡馭繁，直達結(jié)論．

從而原不等式的證．

探究方向(2)

瞄準目標，殊途同歸．

探究方向(3)

條件不變，可以發(fā)現(xiàn)：

若m∈N,m≥2,有

探究方向(4)

改變條件，探索發(fā)現(xiàn)：

問題探究與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是不可分割的有機整體．數(shù)學(xué)教育的可持續(xù)性發(fā)展提醒我們始終秉持這樣的理念：教育面對的是充滿好奇、充滿活力、情感豐富的群體，不得不承認學(xué)生個性差異的客觀現(xiàn)實，依據(jù)數(shù)學(xué)特有的邏輯順序和形式結(jié)構(gòu)，依據(jù)高中數(shù)學(xué)課程理念，實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，讓數(shù)學(xué)教育能最大限度地滿足每一個學(xué)生(包括數(shù)學(xué)資優(yōu)生)的數(shù)學(xué)需求，最大限度地開啟每一個學(xué)生的智慧潛能，為每一個學(xué)生提供多樣化的彈性發(fā)展空間．在未來的學(xué)習(xí)與生活中，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得以充分的展示．