例談復(fù)雜函數(shù)的化簡求導(dǎo)

陳以能

【摘要】對于某些復(fù)雜函數(shù)，直接用求導(dǎo)法則去求導(dǎo)是較困難的，如果把函數(shù)化簡再求導(dǎo)，則可以簡化運(yùn)算過程關(guān)鍵詞：函數(shù)求導(dǎo) 復(fù)雜函數(shù) 化簡

導(dǎo)數(shù)作為初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)，在這些年高考中有著重要的體現(xiàn)。熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)方法不單可以提升解題速度和正確率，提高高考成績，還可以為高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。初等函數(shù)的求導(dǎo)一般是直接利用函數(shù)的四則求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則去求導(dǎo)。但對于某些比較復(fù)雜的函數(shù)，如果直接套用求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，會使求導(dǎo)過程繁瑣冗長且易出錯。所以在對復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，如果可以將原函數(shù)進(jìn)行合理變形化簡，則應(yīng)該先轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)，這樣則可以大大的減少運(yùn)算步驟。下面我通過具體的例子來介紹幾種常見函數(shù)形式的先化簡再求導(dǎo)方法。

一、原函數(shù)是連乘形式，可展開再求導(dǎo)

例1：求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)

分析：常規(guī)解法是利用積的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但由于是連乘，要運(yùn)用兩次積的求導(dǎo)法則運(yùn)算，這樣操作計算量大容易出錯。而先根據(jù)多項(xiàng)式乘法展開，再進(jìn)行求導(dǎo)，就顯得簡單多了。

解：

小結(jié)：一般地，如果函數(shù)的解析式為連乘形式，可以考慮將解析式展開多個代數(shù)式的和差形式后再來求導(dǎo)，這樣就可以將應(yīng)用多次積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)變成簡單的和差求導(dǎo)法則求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，而且還不容易運(yùn)算出錯。

二、原函數(shù)是分式形式，可去分母再求導(dǎo)

（一）分子每項(xiàng)都與分母有公因子的，可以裂項(xiàng)再求導(dǎo)

例2：求函數(shù) ?的導(dǎo)數(shù)

分析：常規(guī)解法是利用商的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但由于商的求導(dǎo)公式比較長，會使求導(dǎo)過程繁瑣冗長而且易出錯。仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，可發(fā)現(xiàn)原函數(shù)是一個分式形函數(shù)。將解析式進(jìn)行裂項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)形式，這樣就可以簡化求導(dǎo)運(yùn)算過程。

解：

（二）、原函數(shù)是根式形式，可有理化再求導(dǎo)

例3：求函數(shù) ?的導(dǎo)數(shù)

分析：常規(guī)解法是利用商的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但若觀察該解析式分母含有根式，可先通過分母有理化加以化簡，進(jìn)而再求導(dǎo)，就可以大大簡化求解過程

解：

小結(jié)：一般地，如果函數(shù)的解析式整體為分式，可以考慮將解析式去分母再求導(dǎo)，這樣就可以將商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)變成簡單的和差求導(dǎo)法則求導(dǎo)，這樣可以減少計算量，優(yōu)化運(yùn)算過程。

三、原函數(shù)是三角形式，可恒等變化再求導(dǎo)

例4：求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)

分析：如果直接求導(dǎo)，則需要利用積的求導(dǎo)法則、三角函數(shù)求導(dǎo)公式以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)來處理，計算量非常大并且容易出錯。先恒等變形再求導(dǎo)就容易多了。

解：

小結(jié)：由于三角函數(shù)恒等變形比較方便，而且學(xué)生也對三角恒等變換比較熟悉，所以如果見到比較復(fù)雜的三角函數(shù)類型的函數(shù)求導(dǎo)，在求導(dǎo)前利用三角恒等式將函數(shù)先化簡，然后進(jìn)行求導(dǎo)，可以減少運(yùn)算量。

原函數(shù)是對數(shù)形式，可拆開或者合并再求導(dǎo)

例5：求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)

分析：如果直接求導(dǎo)，要用到對數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，相當(dāng)復(fù)雜。而先根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)，利用對數(shù)運(yùn)算法則將真數(shù)相乘后再求導(dǎo)，就很簡單了。

解：

例6：求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)

分析：如果直接求導(dǎo)，要用到對數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和商的求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。而先根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)，利用對數(shù)運(yùn)算法則將真數(shù)除化為對數(shù)相減再求導(dǎo)，就很簡單了。

解：

小結(jié)：由于對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則可以將真數(shù)拆分或化為相乘形式，在求導(dǎo)前可以考慮將函數(shù)先變形處理，減少運(yùn)算量。

總之，在復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)的時候，一定要養(yǎng)成分析函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)特征的習(xí)慣，主要可不可以可以將原函數(shù)進(jìn)行合理變形化簡，切忌盲目計算，以免計算量加大的同時出錯的機(jī)率也增大。

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