多種非線性因素下電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動穩(wěn)定性分析

滕漢卿　穆然

摘 要：本文以經(jīng)典的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為基礎(chǔ)建立了電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，在綜合考慮電磁力、質(zhì)量偏心力等非線性因素的基礎(chǔ)上建立系統(tǒng)運動微分方程，通過四階龍格庫塔法對系統(tǒng)微分方程進行數(shù)值仿真計算，借助分岔圖、Poincaré截面圖、相圖等探討此類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨系統(tǒng)參數(shù)變化的分岔特性及演化過程，并判斷系統(tǒng)的周期運動穩(wěn)定性。結(jié)果表明，該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在加速初期有短暫的跳躍震顫現(xiàn)象，后經(jīng)倍化分岔進入混沌運動狀態(tài)，并以周期8—周期4—周期2—周期1運動的逆倍化分岔形式退出混沌運動，在后續(xù)加速過程中，系統(tǒng)動力學特性越來越復雜。

關(guān)鍵詞：電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng);分岔;混沌

中圖分類號：TH133.3 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2021）26-0054-05

Dynamic Stability Analysis of Magnetic Bearing Rotor System

under Various Nonlinear Factors

TENG Hanqing MU Ran

（Hunan Railway Professional Technology College， Zhuzhou Hunan 412001）

Abstract： In this paper， the model of magnetic bearing rotor system was established based on the classic Jeffcott rotor system， the motion differential equation of the system was established based on the nonlinear factors such as electromagnetic force and mass eccentricity force， through fourth-order Runge-Kutta method to numerically simulate the differential equations of the system. The bifurcation characteristics and evolution process of the rotor system with the change of system parameters were discussed by bifurcation diagram， Poincaré section diagram and phase diagram， judge the periodic motion stability of the system. The results show that the rotor system has a short jump tremor at the initial stage of acceleration， then enters chaotic motion state through doubling bifurcation， and exits the chaotic motion in the form of inverse doubling bifurcation of period 8-period 4-period 2-period 1. In the subsequent acceleration process， the dynamic characteristics of the system become more and more complex.

Keywords： active magnetic bearing rotor system;bifurcation;chaos

隨著磁懸浮技術(shù)的不斷發(fā)展，電磁軸承的應(yīng)用越來越廣泛。電磁軸承是利用電磁力將轉(zhuǎn)子懸浮起來，并且可以通過控制系統(tǒng)控制的一種高性能機電一體化軸承。由于其具有無接觸摩擦、無須潤滑、高精度、高轉(zhuǎn)速、低功耗、特性可控、使用壽命長等突出優(yōu)點，因此在支撐領(lǐng)域越來越受到人們的關(guān)注。隨著現(xiàn)代控制理論和電子技術(shù)的快速發(fā)展，美國、法國、日本等國已將電磁軸承應(yīng)用于工業(yè)實際中，在衛(wèi)星慣性飛輪、高速離心機、高速機床、真空泵及航天器動量輪等一些關(guān)鍵部位都有電磁軸承的身影[1-4]。目前，國內(nèi)對電磁軸承的研究還處于實驗室研究階段，距離工業(yè)應(yīng)用還有一定的距離。電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究內(nèi)容涉及基本的電磁學、電子學、計算機科學等學科。由于電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身是一個典型的非線性系統(tǒng)，只用傳統(tǒng)的線性理論已經(jīng)不能完全揭示其所包含的非線性動力學特性。因此，對該系統(tǒng)的非線性動力學特性及其周期運動的穩(wěn)定性進行研究就很有必要。國內(nèi)外諸多學者針對電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學特性進行了研究。張鋼等[5]從非線性多自由度的角度對5自由度主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學特性進行了研究，通過數(shù)值模擬結(jié)合試驗的方法探討了此類系統(tǒng)豐富的非線性動力學現(xiàn)象。JAWAID等研究了幾何耦合參數(shù)及重力參數(shù)變化對主動磁懸浮軸承撓性轉(zhuǎn)子的非線性動力學特性的影響規(guī)律，利用分岔圖、時間響應(yīng)圖及Poincaré截面圖對主動磁軸承支承的剛性轉(zhuǎn)子在運動過程中由環(huán)面破裂引起的混沌行為進行了深入研究[6-7]。孫保蒼等研究了磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主共振情形時的非線性動力學行為[8]。單小磊研究了裂紋對磁浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學特性的影響，分析了裂紋深度及裂紋角的變化對系統(tǒng)分岔與混沌特性的影響規(guī)律，對此類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的故障識別提供參考[9]。趙涇雄等使用ABAQUS有限元軟件數(shù)值模擬磁浮軸承轉(zhuǎn)子跌落至輔助軸承時，輔助軸承內(nèi)圈與滾動體的變形及能量損耗特性，驗證輔助軸承的可靠性[10]。本文通過對無量綱化后的系統(tǒng)運動方程進行仿真計算，通過不斷試驗選取合理的系統(tǒng)控制參數(shù)，并在此參數(shù)下以分岔圖及轉(zhuǎn)子相圖為主要依據(jù)分析系統(tǒng)的非線性動力學特性，從而確定該系統(tǒng)的周期性運動、混沌運動及概周期運動的參數(shù)區(qū)間，為此類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速選取及穩(wěn)定性判斷提供依據(jù)。

1 系統(tǒng)模型及運動方程

以傳統(tǒng)Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為基礎(chǔ)建立系統(tǒng)模型（如圖1所示），用軸頸中心位移x、y和轉(zhuǎn)子幾何中心位移x、y描述系統(tǒng)運動，在綜合考慮主動電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量不平衡力及電磁力等強非線性因素的影響下，根據(jù)牛頓第二定律列出系統(tǒng)運動微分方程為：

系統(tǒng)運動方程的建立基于以下假設(shè)：①轉(zhuǎn)子質(zhì)量呈幾何對稱分布;②軸是柔性但轉(zhuǎn)子與軸承卻是剛性的;③忽略轉(zhuǎn)子的軸向運動;④忽略轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)。

式中：α為幾何耦合參數(shù);g為電磁軸承與轉(zhuǎn)子間隙;u為磁導率;N為線圈匝數(shù);A為電磁軸承磁鐵表面積;i為電磁軸承線圈電流;P為比例反饋增益;D為微分反饋增益。引入以下變量對方程進行無量綱化處理[13-14]：

2 數(shù)值仿真及分析

利用四階龍格庫塔法對無量綱系統(tǒng)運動方程（18）進行數(shù)值仿真計算，經(jīng)過試驗選取系統(tǒng)參數(shù)為：v=0.01、γ=0.25、P=1.1、D=0.03、U=0.1、W=0.02、w/w=0.65、α=0.24。在此參數(shù)基礎(chǔ)上展開對系統(tǒng)動力學特性的分析。

圖2為轉(zhuǎn)子在不同轉(zhuǎn)速比范圍內(nèi)的分岔圖。其中，圖2（a）為轉(zhuǎn)速比[Ω]在0～3.00變化時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的全局分岔圖，從圖中可以看出，系統(tǒng)的加速過程中有穩(wěn)定的周期運動、臨界失穩(wěn)的概周期及失穩(wěn)的混沌運動;圖2（b）的分岔圖表明，轉(zhuǎn)子在初步啟動階段出現(xiàn)了跳躍震顫現(xiàn)象[15-16]，此時系統(tǒng)穩(wěn)定性較弱;圖2（c）表明，當轉(zhuǎn)速比為0.28～0.32時，系統(tǒng)運動經(jīng)過短暫的周期2及周期4運動后，在轉(zhuǎn)速比Ω為0.31時進入混沌運動狀態(tài);圖2（e）表明，在轉(zhuǎn)速比為0.64～0.80時，系統(tǒng)運動由混沌運動狀態(tài)逐步演變?yōu)楦胖芷谶\動，再經(jīng)過周期8運動—周期4運動—周期2運動—周期1運動的逆倍化分岔現(xiàn)象，在Ω=0.78時進入周期1運動;從圖2（f）可以看出，在轉(zhuǎn)速比為1.60～2.10時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動以概周期運動為主，同時還出現(xiàn)了周期6運動;在此后較長的轉(zhuǎn)速比范圍內(nèi)（轉(zhuǎn)速比為0.78～1.60），系統(tǒng)保持著周期1運動，此時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運行穩(wěn)定性強。

圖3為不同轉(zhuǎn)速比所對應(yīng)的相圖。圖3（a）是轉(zhuǎn)速比Ω為0.64時的相圖，圖上多條軌跡交織，此時系統(tǒng)運動為混沌運動狀態(tài)，系統(tǒng)振動幅度最大，振動最劇烈，表現(xiàn)出失穩(wěn)的運動特性;圖3（b）是轉(zhuǎn)速比Ω為0.68時系統(tǒng)運動為周期8的運動，借助圖4所示的Poincaré映射截面圖來進行運動周期數(shù)驗證;圖4（a）是轉(zhuǎn)速比Ω=0.68時的Poincaré映射截面圖，圖中出現(xiàn)了8個孤立點，表明此時系統(tǒng)運動為周期8運動;圖3（c）為轉(zhuǎn)速比Ω=0.69時的相圖，此時系統(tǒng)運動由周期8經(jīng)過逆倍化分岔變?yōu)橹芷?運動;圖3（d）為轉(zhuǎn)速比Ω=1.65時的相圖，此時系統(tǒng)運動表現(xiàn)為概周期1運動，相圖成網(wǎng)狀交織的輪胎狀。圖4（b）為轉(zhuǎn)速比Ω=1.65對應(yīng)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的Poincaré截面投影圖，表現(xiàn)為一個封閉的環(huán)，軸心軌跡在這個封閉的環(huán)域內(nèi)做震蕩運動，此時系統(tǒng)處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)，如果此時轉(zhuǎn)子出現(xiàn)磕碰振動，則會失去穩(wěn)定性。圖3（e）為轉(zhuǎn)速比Ω=1.80時的概周期運動相圖，圖4（c）為轉(zhuǎn)速比Ω=1.80對應(yīng)的龐加萊截面映射圖，此時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)也處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)，可能出現(xiàn)因磕碰造成轉(zhuǎn)子失穩(wěn)的情況。

3 結(jié)論

本文運用龍格庫塔法進行數(shù)值仿真模擬，通過對分岔圖、轉(zhuǎn)子相圖及Poincaré映射截面圖進行分析，得出以下結(jié)論。

①在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的整個加速過程中，當轉(zhuǎn)速比在0.46～0.64、0.78～1.60、2.10～3.00時，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期1運動。此時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動穩(wěn)定性強，但在選擇工作轉(zhuǎn)速時要注意避開周期1運動中的震顫跳躍點。

②當轉(zhuǎn)速比在0.31～0.78和1.60～2.10時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以混沌及概周期運動為主，在這一轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)呈現(xiàn)出失穩(wěn)和臨界失穩(wěn)的狀態(tài)，尤其要注意轉(zhuǎn)速比為0.64時的混沌運動狀態(tài)，在轉(zhuǎn)子加速過程中要快速穿越這些轉(zhuǎn)速區(qū)間，防止系統(tǒng)在長時間失穩(wěn)狀態(tài)下運行產(chǎn)生故障。

③在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中出現(xiàn)了周期8—周期4—周期2—周期1運動的逆倍化分岔現(xiàn)象，在概周期運動中出現(xiàn)周期6的運動現(xiàn)象。

參考文獻：

[1]張鋼，虞烈，謝友柏.電磁軸承的發(fā)展與研究[J].軸承，1997（10）：13-17.

[2]劉迎澍，黃田.磁懸浮軸承研究綜述[J].機械工程學報，2000（11）：5-9.

[3]虞烈.可控磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)[M].北京：科學出版社，2003：24.

[4]汪希平.電磁軸承及其在航天工業(yè)中的應(yīng)用[J].上海航天，1995（5）：35-38.

[5]張鋼，殷慶振.5自由度磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學研究[J].機械工程學報，2010（20）：16-21.

[6]I. INAYAT-HVSSAIN J I. Nonlinear dynamics of a statically misaligned flexible rotor in active magnetic bearings[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2010（15）：764-777.

[7] INAYAT-HVSSAIN J I. Chaos via torus breakdown in the vibration response of a rigid rotor supported by active magnetic bearings [J]. Chaos， Solitons and Fractals，2007（31）：912-927.

[8]孫保蒼，邱飛宇，何仁.磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔與混沌特性[J].潤滑與密封，2006（4）：23-25.

[9]單小磊.裂紋磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學研究[D].蘭州：蘭州交通大學，2013：25.

[10]趙涇雄，楊國軍，李悅.HTR-10氦風機磁懸浮轉(zhuǎn)子跌落在輔助軸承上的數(shù)值分析[J].核動力工程，2012（3）：61-64.

[11]INAYAT-HVSSAIN J I. Bifurcations in the response of a rigid rotor supported by load sharing between magnetic and auxiliary bearings[J].Meccanica，2011（46）：1341-1351.

[12]萬金貴，汪希平，江鵬，等.磁懸浮支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性計算與分析[J].應(yīng)用力學學報，2008（3）：405-410.

[13]羅冠煒，謝建華.碰撞振動系統(tǒng)的周期運動和分岔[M].北京：科學出版社，2003：45.

[14]劉占生，魯建，呂偉劍，等.轉(zhuǎn)子-電磁軸承系統(tǒng)動靜件碰摩動力特性研究[J].航空動力學報，2004（1）：38-45.

[15]張海燕，段元民.參數(shù)激勵電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混沌特性[J].中山大學學報（自然科學版），2003（增刊2）：127-129.

[16]汪希平.電磁軸承系統(tǒng)的剛度阻尼特性分析[J].應(yīng)用力學學報，1997（3）：97-102.

1870501186289