在概念的自主建構(gòu)中深層理解意義

潘珍珍

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)是通過建構(gòu)概念來引領(lǐng)學(xué)生跨進(jìn)數(shù)學(xué)王國的大門的，但是由于概念比較抽象，小學(xué)生又以形象思維見長，因此，概念的建構(gòu)與小學(xué)生的學(xué)習(xí)思維有所沖突?；诖?，在教學(xué)中，教師可以通過初步探究，認(rèn)識(shí)概念外延;探尋變化規(guī)律，揭示概念內(nèi)涵;建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，凸顯概念要素;借助數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)深層理解等環(huán)節(jié)來促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自主建構(gòu)概念，更加深入地理解概念的意義，學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)。

[關(guān)鍵詞] 正比例;概念;理解意義

數(shù)學(xué)教學(xué)是通過建構(gòu)概念來引領(lǐng)學(xué)生跨進(jìn)數(shù)學(xué)王國的大門的，但是由于概念比較抽象，小學(xué)生又以形象思維見長，概念的建構(gòu)與小學(xué)生的學(xué)習(xí)思維有所沖突，因此數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)有賴于學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，如何才能讓小學(xué)生自主建構(gòu)概念呢？筆者經(jīng)過多年實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)只有引導(dǎo)學(xué)生聚焦概念特征，呈現(xiàn)出知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，才能使學(xué)生更好地自主建構(gòu)概念，主動(dòng)探究概念的深層意義，運(yùn)用概念靈活解決實(shí)際問題。下面筆者以人教版六年級(jí)下冊(cè)的“正比例意義”教學(xué)為例進(jìn)行分析和探討。

一、初步探究，認(rèn)識(shí)概念外延

自主建構(gòu)概念，就是要讓學(xué)生自主地理解概念的外延和內(nèi)涵。概念的外延是指此概念所適用的范圍，概念的內(nèi)涵是指此概念所反映事物的特有屬性。建構(gòu)“正比例關(guān)系”的概念時(shí)，憑借教材提供的有效材料，教師引領(lǐng)學(xué)生通過判斷、思考，首先認(rèn)識(shí)概念的外延。

[教學(xué)片段] （出示《賣彩帶》場景圖以及表格）

師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察表格，說說表格中有哪兩種量。

生：表格中有銷售的數(shù)量和總價(jià)。

師：這兩種量之間存在什么關(guān)系呢？

生：銷售的數(shù)量發(fā)生變化時(shí)，總價(jià)就隨之發(fā)生變化。

師：是的，總價(jià)隨著銷售數(shù)量的變化而變化，我們把這樣的兩種量叫作兩種相關(guān)聯(lián)的量。（板書：兩種相關(guān)聯(lián)的量）。

師：那總價(jià)是怎樣隨著數(shù)量的變化而變化的呢？

生：從左往右看，銷售的數(shù)量增加，總價(jià)就隨著增加;從右往左看，銷售的數(shù)量減少，總價(jià)也就隨著減少。

師：通過觀察可以知道這兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量中，其中一種量變化，另一種量也會(huì)隨著變化。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常遇到兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化情況，你還能舉出一些這樣的例子嗎？

生1：正方形的邊長越長，周長越大;正方形的邊長越小，周長就越小。

生2：我們?cè)谂抨?duì)的時(shí)候，排的排數(shù)越多，每排人數(shù)就越少;排的排數(shù)越少，每排人數(shù)就越多。

生3：我家離奶奶家近，我走到奶奶家所花的時(shí)間就短;我家離外婆家遠(yuǎn)，我走到外婆家所花的時(shí)間就長。

生4：我長大一歲，身高就會(huì)增長，體重也會(huì)增加。

這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過實(shí)例讓學(xué)生理清正比例關(guān)系的外延——“總價(jià)”與“數(shù)量”是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，并了解到兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間會(huì)存在著一些變化情況。“變化的量之間的關(guān)系”就是正比例關(guān)系概念的外延，學(xué)生厘清這個(gè)知識(shí)點(diǎn)以后就為建構(gòu)正比例關(guān)系的概念掃清了障礙。

二、探尋變化規(guī)律，揭示概念內(nèi)涵

在學(xué)生對(duì)“兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量”的特征有了正確的認(rèn)識(shí)以后，教師要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探尋“總價(jià)為什么會(huì)隨著銷售數(shù)量的增加而增加”的變化規(guī)律，將學(xué)生的思維繼續(xù)延伸下去，通過計(jì)算總價(jià)與數(shù)量的比值來觀察算式，提煉出這兩種量的共同變化規(guī)律，逐步揭示出正比例關(guān)系概念的內(nèi)涵。

[教學(xué)片段]

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察表格，說說你還有什么新發(fā)現(xiàn)。

生：我發(fā)現(xiàn)彩帶的單價(jià)沒有變化。

師：真是個(gè)善于觀察的孩子。彩帶單價(jià)是怎么求到的？

生：總價(jià)除以數(shù)量等于單價(jià)。

師：“除以”我們可以用比的形式表示嗎？

生：可以。

師：觀察這條比例等式，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)這兩種量的比值都是3.5，也就是相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)量的比值不變。

師：這里的比值是3.5，實(shí)際上就是彩帶的單價(jià)，這個(gè)單價(jià)一直保持不變。我們能不能把“不變”換成另外一個(gè)詞來表示？

生1：可以換成“一定”。

師：（手指板書）總價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，總價(jià)變化，數(shù)量也隨著變化，當(dāng)總價(jià)和數(shù)量相對(duì)應(yīng)的比的比值總是一定，也就是單價(jià)一定時(shí)，那我們就說總價(jià)和數(shù)量是成正比例的量，他們的關(guān)系叫正比例關(guān)系。

這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生分析具體事例，幫助學(xué)生建立一一對(duì)應(yīng)的觀念，讓學(xué)生在交流中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，計(jì)算比值后探尋出兩個(gè)變量后面隱含著的不變量，從而明確了正比例關(guān)系的內(nèi)涵特征——比值一定。從概念的外延推進(jìn)到內(nèi)涵的理解，幫助學(xué)生較快地掌握了正比例關(guān)系的含義。

三、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，凸顯概念要素

建構(gòu)正比例關(guān)系的概念只憑一個(gè)例子，效果顯然不會(huì)很明顯。這時(shí)，教師還可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，結(jié)合其他實(shí)例讓學(xué)生辨別兩個(gè)相關(guān)的量之間是否符合正比例關(guān)系，從而進(jìn)一步明確正比例關(guān)系的判斷要素，然后引導(dǎo)學(xué)生脫離情境，抽象概括出正比例的意義，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)由具體數(shù)量關(guān)系到抽象模型的轉(zhuǎn)化，這時(shí)就會(huì)有很明顯的效果。

[教學(xué)片段]

師：剛才在學(xué)習(xí)兩種相關(guān)聯(lián)的量的時(shí)候，大家列舉了一些生活中的事例，我們一起去看看這些關(guān)聯(lián)的量是不是正比例關(guān)系。

生2：我們排隊(duì)的時(shí)候，排數(shù)和每排人數(shù)不成正比例關(guān)系，因?yàn)槊颗湃藬?shù)×排數(shù)=總?cè)藬?shù)，這兩個(gè)量之間不是除法的關(guān)系。

生4：我長大一歲與身高和體重不成正比例關(guān)系，因?yàn)槲颐磕晟L的高度都不同，體重增長也不同。

師：從你們所舉的事例來看，判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是不是成正比例，必須符合哪些條件？

生5：判斷要素主要有三個(gè)——兩個(gè)量是相關(guān)聯(lián)的量，必須是變化方向一致，比值一定。

師：其中最主要的特征是哪一個(gè)？

生6：比值一定。

師：你能說說為什么嗎？

生7：只要比值一定，其他兩個(gè)條件也就符合要求。

師：如果用x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用怎樣的式子表示？

這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生掌握了正比例關(guān)系中的“相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量”“變化”“比值”“一定”等要素的含義，并從中抽象出正比例數(shù)量的關(guān)系模型。這一教學(xué)過程，通過分析生活中常見的學(xué)習(xí)素材，把相關(guān)的知識(shí)縱向聯(lián)系起來，對(duì)比思考其表征關(guān)系，從“變化”中發(fā)現(xiàn)了“不變”，讓學(xué)生經(jīng)歷建構(gòu)正比例關(guān)系概念的整個(gè)過程，概念的核心要素也就深深地留在學(xué)生的腦海中。

四、借助數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)深層理解

把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形相結(jié)合，這對(duì)于形象思維占優(yōu)勢(shì)的小學(xué)生來說無疑是一個(gè)最好的學(xué)習(xí)手段了。“數(shù)”與“形”合一，可以有效促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)思維從表層向深層躍進(jìn)。

[教學(xué)片段] （多媒體出示彩帶銷售數(shù)量與總價(jià)的表格）

師：銷售數(shù)量與總價(jià)這兩個(gè)量，除了可以用表格表示以外，還可以用圖象來表示。從圖象中你讀懂了什么？

生1：橫軸表示數(shù)量，縱軸表示總價(jià)。

師：將表格中每兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的量看作一個(gè)數(shù)對(duì)，如（1，3.5）對(duì)應(yīng)的位置在哪里？你能將表格中的其他數(shù)對(duì)一一表示出來嗎？

（請(qǐng)學(xué)生動(dòng)手在書上畫一畫，再把這些點(diǎn)連起來，然后上臺(tái)展示。）

師：這些點(diǎn)連起來成為什么？

生2：線段。

師：那要是把表格中省略號(hào)里表示的數(shù)對(duì)標(biāo)出來，這條線段會(huì)向哪一端延伸？

生3：（0，0）是起點(diǎn)，只能向右上方無限延伸，這條線應(yīng)該是射線。

師：正比例圖象就是一條從（0，0）出發(fā)的無限延伸的射線。

師：縱軸上表示的總價(jià)和橫軸上表示的數(shù)量是兩種相關(guān)的量，那么總價(jià)是如何隨著數(shù)量的變化而變化的呢？

生4：數(shù)量在增加，總價(jià)也在增加。

生5：這兩個(gè)量變化的方向也是一致的。

師：再觀察這條線上所有的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)量，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生6：我發(fā)現(xiàn)縱軸和橫軸的兩個(gè)量的比值都相等。

這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師緊緊抓住正比例關(guān)系的本質(zhì)特征，將表格轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，把正比例中一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)思想直觀建構(gòu)在學(xué)生的腦海中，使原本抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀形象、淺顯易懂;學(xué)生“感性”地掌握了正比例關(guān)系的特征，對(duì)正比例關(guān)系概念的理解也變得更加豐滿和深刻。

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要依托，讓學(xué)生經(jīng)歷思辨過程，自主建構(gòu)概念，有利于學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，不僅要在揭示概念本質(zhì)的特征上下功夫，還要高屋建瓴，從數(shù)學(xué)思想方面引領(lǐng)學(xué)生自主建構(gòu)概念，促使學(xué)生更加深入地理解概念的意義，學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)。

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