方法提煉構(gòu)思路，類題解析深思考

夏子晶

[摘? 要] 幾何面積動點問題是初中數(shù)學的重難點問題之一，從解析過程來看，需要處理動點條件，構(gòu)建面積模型，利用代數(shù)知識求解，因此對學生解析思維和解題方法有較高的要求. 文章將剖析該類問題的解析策略，并結(jié)合類型問題進行探究分析.

[關(guān)鍵詞] 幾何;面積;動點;圖像;坐標系;曲線

與面積相關(guān)的幾何探究題在中考試題中十分常見，問題往往融合動點，引入圖像來探究幾何圖形的面積變化，構(gòu)建了“動點+面積+圖像”的問題形式，形成了動點位置、面積函數(shù)等多樣的幾何問題. 幾何面積動點問題常見的有兩種類型：一是單純的幾何模型，側(cè)重幾何面積及函數(shù)的分析;二是以平面直角坐標系為背景，引入動點的坐標. 下面深入剖析該問題的處理思路，提煉該問題的解法.

剖析策略，提煉方法

剖析幾何面積動點問題的處理思路需要把握以下兩點：一是圖形的特性，二是動點的規(guī)律. 因此在剖析該問題時需要串聯(lián)圖形的特性與動點之間的關(guān)系，可按照如下思路處理問題.

第一步，探究背景圖形，提煉圖形的特性;

第二步，關(guān)注動點“四要素”，即分析運動過程，繪制運動線段圖，運動線段分段，設定動點范圍;

第三步，結(jié)合“速度×時間=路程”公式，將運動條件轉(zhuǎn)化為線段條件，并結(jié)合幾何特性推導有關(guān)聯(lián)的線段.

第四步，根據(jù)條件構(gòu)建幾何面積的動態(tài)模型，實現(xiàn)模型的參數(shù)化，根據(jù)動點的規(guī)律分類繪制圖像，結(jié)合圖像進行解析.

關(guān)于幾何面積動點問題，解析的基本方法是數(shù)形結(jié)合，原則上需要確保圖像內(nèi)容全面，圖形表述精確. 解析時要重點關(guān)注動點的“起點”“拐點”和“終點”的位置，并將位置的對應時間作為臨界值或分類討論的標準. 因此具體解析時可根據(jù)運動規(guī)律繪制具體圖像，然后構(gòu)建對應模型，逐步完成數(shù)形轉(zhuǎn)化.

剖析類題，構(gòu)建思路

幾何面積動點問題常見的兩種命題形式：一是單純的幾何探究，以幾何圖形與動點為主;二是以平面直角坐標系為背景，融合曲線與動點.

命題形式1：幾何圖形探究類

例1 如圖1所示，在正方形ABCD和△EFG中，已知AB=EF=EG=5 cm，F(xiàn)G=8 cm，點B，C，F(xiàn)，G位于同一直線l上，點C和點F重合. 若△EFG沿著直線l以1 cm/s的速度開始向左運動，t s后正方形ABCD與△EFG的重合部分的面積為S cm2，請回答下列問題.

（1）當t=3時，求S的值;

（2）當t=5時，求S的值;

（3）當5≤t≤8時，試求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值.

思路分析 本題屬于幾何動態(tài)問題，雖然是三角形運動，但關(guān)注的重點還是動點.

第（1）問的重合部分是三角形，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求高，進而求面積.

第（2）問的重合部分是不規(guī)則的四邊形，可以采用割補法求面積.

第（3）問設定了時間范圍，可確定重合部分的圖形為五邊形，同樣采用割補法構(gòu)建面積模型，將面積模型轉(zhuǎn)化為關(guān)于時間t的面積函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)討論極值即可.

評析 上述問題是幾何面積動點探究題，問題分成三問，三問所設的時間實則是動點的位置范圍，探究圖形的面積實則就是構(gòu)建面積模型，故可以參照幾何面積動點問題的解析思路：把握動點的位置，分析圖形的形狀，構(gòu)建面積模型. 對于其中的面積最值問題，利用函數(shù)的性質(zhì)由“數(shù)”解“形”即可.

命題形式2：坐標系與曲線融合類

例2 如圖5所示，已知拋物線y=ax2+bx-3（a≠0）與x軸交于點A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點P從點A出發(fā)，在線段AB上以3個單位長度/秒的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，在線段BC上以1個單位長度/秒的速度向點C運動. 當其中一點到達終點時，另一點也停止運動. 試分析△PBQ的面積是否存在最大值. 若存在，請求出最大面積;若不存在，請說明理由.

思路分析 本題以平面直角坐標系為背景，融合曲線、動點構(gòu)建三角形，探究三角形的面積需要把握坐標系中點的坐標.

第（1）問：利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

第（2）問：由題意可知，點P運動2秒即可到達終點，所用時間最短，因此時間t的取值范圍為[0，2]. △PBQ的一邊PB始終在x軸上，可將其視為以點Q為頂點的三角形，故可構(gòu)建三角形的面積模型，結(jié)合運動條件可求出BP和BQ的長，結(jié)合三角函數(shù)可求三角形的高，從而將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于時間t的面積函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)可確定面積的最值.

評析 上述問題以平面直角坐標系為背景，結(jié)合拋物線和動點構(gòu)建面積問題. 第（2）問是常規(guī)的求解面積最值的問題，結(jié)合點的坐標和運動的條件將面積模型轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型;第（3）問則是面積比值問題，充分結(jié)合面積公式及模型特征將面積比值轉(zhuǎn)換為線段比值，然后確定點的坐標.

解后反思，方法總結(jié)

幾何面積動點問題屬于動態(tài)問題，突破過程需要注重兩點：一是準確構(gòu)圖，利用直觀模型輔助分析;二是轉(zhuǎn)化分析，包括條件轉(zhuǎn)化和模型轉(zhuǎn)化. 解析過程要充分把握時間節(jié)點，利用時間細化模型，下面筆者對此提出兩點建議.

（1）培養(yǎng)構(gòu)圖意識，利用圖形輔助分析. 幾何面積動點問題最為典型的特點是其結(jié)合幾何圖形或曲線命題，數(shù)形結(jié)合、模型構(gòu)造是解析問題的素養(yǎng)要求. 尤其是對于多解的動點問題，分類討論需要借助于圖形，確保數(shù)形對照準確. 因此在解析中需要精準作圖，利用圖形特征來挖掘等量關(guān)系，打開解題突破口. 教學中要引導學生養(yǎng)成作圖習慣，使學生掌握數(shù)形結(jié)合這個解題方法.

（2）提升轉(zhuǎn)化思維的意識，培養(yǎng)邏輯分析和推理. 由上述可知，幾何面積動點問題的解析過程實則是構(gòu)建模型、轉(zhuǎn)化條件的過程，因此轉(zhuǎn)化思維、簡化處理的意識在解題中十分重要. 解析時要善于處理動點條件，把握復雜圖形的結(jié)論，巧妙構(gòu)建模型. 常見的有以下幾點轉(zhuǎn)化內(nèi)容：將動點條件轉(zhuǎn)化為線段條件，將幾何面積轉(zhuǎn)化為面積模型，將面積最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，將面積比值轉(zhuǎn)化為線段比值. 解題教學中，教師要引導學生采用確定性思路來分析問題，化動為靜，變時間為常數(shù)，充分提升學生的推理轉(zhuǎn)化能力.

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