融通算理與算法，構(gòu)建運(yùn)算模型

劉必雄

[摘? 要] 培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題。以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)為例，提出了在計(jì)算教學(xué)中融通算理與算法，建構(gòu)運(yùn)算模型的基本策略，提升學(xué)生運(yùn)算能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 算理;算法;運(yùn)算;模型;小學(xué)數(shù)學(xué)

借助實(shí)物原型、直觀模型等，引導(dǎo)學(xué)生在探究中明確算理，并在此基礎(chǔ)上提煉出算法，最后將這種算法推而廣之，建構(gòu)起數(shù)學(xué)運(yùn)算模型，是運(yùn)算教學(xué)行之有效的方法。筆者以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)為例，論述了在計(jì)算教學(xué)中融通算理與算法，建構(gòu)運(yùn)算模型的基本策略，期望對(duì)廣大教育同仁有所借鑒和思考。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引出新問題

“教學(xué)的藝術(shù)并不只在于傳授本領(lǐng)，更在于激勵(lì)、喚醒和鼓舞學(xué)生?！痹谶\(yùn)算教學(xué)中，教師可結(jié)合學(xué)生的實(shí)際生活創(chuàng)設(shè)生動(dòng)情境，把學(xué)生置于一定的情境之中，引發(fā)學(xué)生的思維沖突，激發(fā)學(xué)生參與課堂的興趣。

師：學(xué)校舉行隊(duì)列表演，一共有12行，每行有14人，有多少人參加隊(duì)列表演呢？

生1：應(yīng)該用乘法計(jì)算。列式為14×12。

師：同學(xué)們能試著計(jì)算它的結(jié)果嗎？

（學(xué)生討論。）

生2：我先算10行，每行14人，這樣一共是10×14=140（人）;再算剩下的2行，一共是2×14=28（人），因此一共有140+28=168（人）。

生3：我把每行14人看成是（10+4）人，12行就是有12個(gè)10和12個(gè)4，所以有12×10=120（人），12×4=48（人），這樣一共就有120+48=168（人）。

師：同學(xué)們真聰明。但是，在計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的時(shí)候，總是這樣列三個(gè)式子，顯得太麻煩了。

生4：是呀，我們還需要探索一種豎式計(jì)算方法，這樣就能快速計(jì)算得數(shù)了。

教學(xué)中，教師結(jié)合學(xué)生的生活創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，把枯燥的數(shù)學(xué)計(jì)算融入解決現(xiàn)實(shí)生活問題的情境，這樣既為學(xué)生提供了探索數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)資源，又使學(xué)生切身體驗(yàn)到了計(jì)算與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，使學(xué)生在解決問題中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，為下一步的探究學(xué)習(xí)奠定基調(diào)。

二、數(shù)形結(jié)合，充分理解算理

算理是算法的內(nèi)在依據(jù)，理解算理可以讓學(xué)生在增長(zhǎng)知識(shí)的同時(shí)獲得智慧。數(shù)學(xué)家華羅庚曾言：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。”數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，還是一種常用的教學(xué)方法。在教學(xué)中，教師可不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供生動(dòng)的圖形材料，使抽象的數(shù)量關(guān)系變得具體起來，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，以起到事半功倍的教學(xué)效果。

師：我們?cè)趯W(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘一位數(shù)”時(shí)，采用了點(diǎn)子圖幫助我們理解筆算的原理。現(xiàn)在，我們還用點(diǎn)子圖幫助我們理清數(shù)量關(guān)系。（教師出示點(diǎn)子圖，如圖1所示）

師：請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，利用點(diǎn)子圖，圈一圈，畫一畫，列式算一算。

（學(xué)生探究，教師巡回指導(dǎo)。）

生5：我把前6行圈起來，再把后6行圈起來，這樣就把點(diǎn)子圖分成了相等的2份，列式為14×6=84，84×2=168。（如圖2）

生6：我把點(diǎn)子圖的前10行圈起來，再把剩下的2行圈起來，列式為14×10=140，14×2=28，140+28=168。（如圖3）

生7：我是這樣圈的，把點(diǎn)子圖分成4個(gè)部分，分別列式為10×10=100，10×4=40，10×2=20，2×4=8;然后把它們加起來，即100+40+20+8=168。（如圖4）

師：你們都是借用點(diǎn)子圖來理解和分析問題，并用自己的方法求出了14×12的積。那么，請(qǐng)同學(xué)們觀察一下，這些方法有什么共同點(diǎn)呢？

生8：都是把其中的一個(gè)兩位數(shù)拆成了兩部分進(jìn)行計(jì)算。

師：為什么要拆分？

生9：我們沒有學(xué)過兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，把其中的一個(gè)兩位數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)或一位數(shù)，這樣就轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)了。

師：對(duì)。轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想。通過把未知知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)，就能夠促進(jìn)問題的解決。請(qǐng)同學(xué)們?cè)傧胍幌?，你認(rèn)為哪種轉(zhuǎn)化的方法比較好呢？

生10：我認(rèn)為把12分成10和2這種方法比較好，因?yàn)闊o(wú)論是14×10=140還是14×2=28，計(jì)算起來都比較方便一些。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生充分借用點(diǎn)子圖的直觀形象性用各種方法計(jì)算出了14×12的積，在圈一圈、算一算的過程中，學(xué)生不但理解了數(shù)形結(jié)合的精妙，而且還初步體驗(yàn)了把未知知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)的重要性;教師逐步引導(dǎo)學(xué)生“取好擇優(yōu)”，從多種解決問題的策略中找到最優(yōu)化的方案，從而在下一步把算理與算法溝通，為突出豎式算法模型打下基礎(chǔ);教師采取數(shù)形結(jié)合的策略引導(dǎo)學(xué)生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理依據(jù)，為學(xué)生的思維搭建一座聯(lián)系算理與算法的橋梁，使學(xué)生從本質(zhì)上找到算理的“根”。

三、提煉算法，建構(gòu)運(yùn)算模型

算理與算法是計(jì)算教學(xué)中相互融合的整體。學(xué)生在理解算理后，并不能馬上形成算法，這就要求教師要抓住時(shí)機(jī)，順勢(shì)而教，在算理和算法之間鋪路搭橋，讓學(xué)生在體驗(yàn)交流的過程中充分理解算理，溝通直觀與抽象、具體與概括之間的關(guān)系，從而促進(jìn)學(xué)生提煉算法，建構(gòu)運(yùn)算模型，形成運(yùn)算技能。

師：現(xiàn)在，同學(xué)們能夠嘗試用豎式計(jì)算14×12嗎？請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位進(jìn)行合作交流。

（學(xué)生探索，教師指導(dǎo)。）

師（整理好學(xué)生豎式計(jì)算的過程，并歸類）：同學(xué)們，這是大家列出的4種豎式，你能說一說哪種對(duì)，哪種錯(cuò)嗎？（如圖5）

生11：第①種不對(duì)，把12看作10，乘積是140，怎么會(huì)只有42呢？

生12：第①種算法中，14×2=28，14×10=140，所以“4”應(yīng)該寫在十位上，與上面的“2”對(duì)齊，“1”應(yīng)該寫在百位上。

生13：第②種豎式的結(jié)果是對(duì)的，但是從中看不出計(jì)算步驟。

生14：第③種筆算方法的結(jié)果也是對(duì)的。但是，我覺得用十位上的“1”乘14，在百位上寫“1”，在十位上寫“4”，就能夠表示140了，末尾的“0”可以刪去，這樣就更加簡(jiǎn)便了。

生15：第④種筆算方法是正確的，而且還非常簡(jiǎn)潔。

師：你能具體說一說第④種筆算方法的過程嗎？

生15：第一步，用個(gè)位上的“2”乘14，即2×4=8，把“8”寫在個(gè)位上;再有2×1=2，把“2”寫在十位上。第二步，用十位上的“1”乘14，即1×4=4，把“4”寫在十位上;1×1=1，把“1”寫在百位上。最后，把兩次得到的積加起來，一共是168。

生16：在第二步中，為什么要把1×4=4的“4”寫在“2”的下面？

生15：“2”的下面是十位，因?yàn)?×4中的“1”在十位上，表示1個(gè)“十”，它乘4就表示4個(gè)“十”，所以“4”要寫在“2”的下面，也就是要寫在十位上。如果像第①種算法那樣把這個(gè)“4”和“8”對(duì)齊，那就表示4個(gè)“一”了。

師：現(xiàn)在同學(xué)們?cè)傧胍幌?，我們所列的豎式和剛才的點(diǎn)子圖有什么關(guān)聯(lián)？

生17：我發(fā)現(xiàn)豎式計(jì)算和點(diǎn)子圖是對(duì)應(yīng)的（如圖6）。第一步，我們用2乘14，實(shí)際上就是求出點(diǎn)子圖中圈出來的最后2行;第二步，我們?cè)儆檬簧系摹?”乘14，實(shí)際上就是10×14，這樣就求出了點(diǎn)子圖中圈出來的前10行。

生18：豎式和點(diǎn)子圖的思路是相同的，都是先分成兩部分再分別去算積，然后把算出來的積加起來。

師：是啊，豎式計(jì)算的每個(gè)步驟都能夠在點(diǎn)子圖中找到它的依據(jù)，盡管從表面上來看，豎式和點(diǎn)子圖“長(zhǎng)得”一點(diǎn)兒都不像，可是它們的計(jì)算思路卻是完全一樣的。

生19：數(shù)學(xué)真是太有趣了！

師：同學(xué)們掌握了14×12的計(jì)算方法，那么我們能不能把這種方法推而廣之呢？請(qǐng)同學(xué)們用豎式計(jì)算下面的題目：11×11;12×13;13×13。

（學(xué)生計(jì)算。）

師：現(xiàn)在，同學(xué)們能夠總結(jié)兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的基本算法了嗎？請(qǐng)同學(xué)們?cè)谛〗M內(nèi)交流。

生20：先把一個(gè)乘數(shù)分成兩部分，然后分別跟另一個(gè)乘數(shù)相乘，最后把它們的積加起來。

生21：先用一個(gè)乘數(shù)的個(gè)位數(shù)去乘另一個(gè)乘數(shù)，再用這個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)去乘另一個(gè)乘數(shù)，把它們的積加起來。

……

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將豎式計(jì)算和點(diǎn)子圖關(guān)聯(lián)起來，即把算理和算法無(wú)縫隙對(duì)接起來，使學(xué)生深刻感知豎式計(jì)算的每個(gè)步驟都能在點(diǎn)子圖中找到直接依據(jù);然后，教師引導(dǎo)學(xué)生把14×12的豎式計(jì)算方法推廣到兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的運(yùn)算中去，建構(gòu)了運(yùn)算模型，形成了運(yùn)算技能。

總之，在計(jì)算教學(xué)中，教師既要采取適當(dāng)策略使學(xué)生理解抽象的算理，也要引導(dǎo)學(xué)生從算理中歸納提煉出具體算法，同時(shí)還要讓學(xué)生經(jīng)歷將基本算法抽象成運(yùn)算模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的過程。唯有如此，才能真正提升學(xué)生的運(yùn)算能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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