基于學科能力培養(yǎng)的單元復習課

周強

[摘? 要] 單元復習課教學的基本環(huán)節(jié)包括：構(gòu)建思維導圖、回憶知識要點、分析例題、反饋練習、鞏固提高等環(huán)節(jié).文章意在探討單元復習課中如何有效地夯實學生的基本知識、強化學生的基本技能，由此更有效地提升學生歸納整理、閱讀理解、操作實踐、語言表達、演繹推理等學科能力.

[關鍵詞] 復習課;例題;學科能力

復習課的主要任務是進一步深化理解和鞏固數(shù)學知識、形成技能，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識與方法分析問題、解決問題的能力. 復習課既可以夯實學生的知識、方法，又培養(yǎng)了學生化未知為已知、化繁為簡的數(shù)學思想，提升了學生的學科能力.

復習課的意義

復習課的目的是引導學生系統(tǒng)地總結(jié)、鞏固已學過的知識，使學生對知識加深理解、牢固掌握、靈活應用，提高學生解決實際問題的能力. 復習課要有利于構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，揭示知識之間內(nèi)在的、本質(zhì)的和必然的聯(lián)系. 在單元復習時，應把握如下要點：

（1）深化公理化思想的滲透

客觀事物的存在都具有其各自的存在條件和規(guī)律，數(shù)學知識亦如此. 數(shù)學知識本身的規(guī)律性以及知識之間的邏輯關系是客觀存在的，我們只是在學習相應的知識時把它揭示出來而已. 那么這種知識的存在性的認識，實際上就是我們提出的學習公理化思想的根本原因.

（2）強化論證推理的訓練

論證推理，就是應用已學過的知識，通過對其已知條件、圖形結(jié)構(gòu)與未知結(jié)論的分析，探索論證的思路，選擇恰當?shù)恼撟C方法予以證明，并能用規(guī)范的數(shù)學語言闡述論證過程.

（3）加大自主探究的力度

問題探究是教學過程中的重要環(huán)節(jié)，通過對問題的探究，不僅可以培養(yǎng)學生的“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）能力，還能引導學生養(yǎng)成用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題、用數(shù)學的思維分析和解決問題、用數(shù)學的語言表達和交流問題的習慣，更有助于培養(yǎng)他們的數(shù)學學科能力.

例題選擇的目的

復習課例題的選擇，既要考慮對知識的產(chǎn)生、鞏固、拓展和應用有裨益;又要關注例題的典型性、方法的啟迪性、思維方式的科學性、思維品質(zhì)的培植性;還要有趣味，有品位，有意味;更要能夠體現(xiàn)數(shù)學獨特的育人價值[1].

通過例題教學與練習，學生可以進一步鞏固數(shù)學的基礎知識，形成基本技能，深化對數(shù)學概念和定理的理解與掌握，加強對數(shù)學思想方法與規(guī)律的認識和理解，進一步提高學生應用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.

學科能力的內(nèi)涵

學科能力是指學生在面對數(shù)學相關的生活實踐或?qū)W習探索問題情境時，有效地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題所必備的能力. 它是人才培養(yǎng)體系中所必須培養(yǎng)的、支撐終身發(fā)展和適應時代要求的能力，是發(fā)展學科素養(yǎng)、培養(yǎng)核心價值所必須具備的能力基礎[2].

學科能力的培育

基于數(shù)學學科特點和考查功能，復習課中教師應培育學生的歸納整理、閱讀理解、操作實踐、語言表達、演繹推理能力.

現(xiàn)以七年級（下）第二章“相交線與平行線”的單元復習為例.

一、歸納整理能力

數(shù)學教學中教師不但要讓學生掌握基本的數(shù)學知識，還要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力. 歸納和整理是思維訓練的一個基本內(nèi)容，教學中有針對性地開展歸納整理能力訓練，是發(fā)揮學生主體作用的重要環(huán)節(jié)，對學生數(shù)學學科能力的培養(yǎng)有著積極的意義.

1. 歸納結(jié)構(gòu)框架

就平行線和相交線的內(nèi)容結(jié)構(gòu)而言，其“基本事實（公理）—概念—判定—性質(zhì)—應用”的公理化體系清晰明確，可以呈現(xiàn)一個完整的“抽象數(shù)學概念—形成聯(lián)結(jié)數(shù)學概念的判斷而得出的命題—通過推理、論證，形成一個層次分明、結(jié)構(gòu)嚴密的邏輯系統(tǒng)”的過程，展現(xiàn)“從特殊到一般”“從定量到定性”的研究路徑及發(fā)現(xiàn)和提出問題的思想和方法[3].

2. 整理知識要點

就平行線和相交線的內(nèi)容知識而言，在同一平面內(nèi)，從兩點的位置關系，拓展到點與直線的位置關系，延伸到兩直線的位置關系，引入這章學習的起點，再引導學生把握這章的知識要點. 復習知識要點，可以讓學生對教材中的概念、定理進行補充與延伸、鞏固與深化、補救與強化.

（1）同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關系只有相交與平行兩種.

（2）兩直線相交所成的四個角中，有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角.

（3）兩直線相交所成的四個角中，有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為對頂角. 對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

（4）兩直線相交所成的四個角中，如果有一個角是直角，那么就稱這兩條直線相互垂直.

（5）垂線的性質(zhì)：

①在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直;

②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

（6）直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫點到直線的距離.

（7）平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.

（8）兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個角，在那些沒有公共頂點的角中，

①如果兩個角都在截線的同側(cè)，在兩條被截直線的同一方，那么這一對角叫同位角;

②如果兩個角在截線的異側(cè)，且在兩條被截直線之間，那么這一對角叫內(nèi)錯角;

③如果兩個角都在截線的同側(cè)，在兩條被截直線之間，那么這一對角叫同旁內(nèi)角.

（9）平行線的判定方法.

（方法一）由定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行.

（方法二）平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.

（方法三）平行線的判定公理：同位角相等，兩直線平行.

（方法四）平行線的判定定理：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

（方法五）平行線的判定定理：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

（10）平行線的性質(zhì)：兩條直線被第三條直線所截，

①兩直線平行，同位角相等.

②兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

二、閱讀理解能力

閱讀理解能力是指學生能從語言文字與數(shù)學符號中獲取正確意義所需要的信息，把語言文字描述的圖形想象出來，并描繪出來，再對圖形加工、整理，進一步抽象其中包含的解題關鍵信息.

例1已知∠1以及∠1內(nèi)一點P.

（1）在圖2中畫出∠P，使∠P的兩邊分別與∠1的兩邊平行，且用量角器量一下∠1，∠P的度數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：它們之間的數(shù)量關系是______;

（2）在圖3中畫出∠P，使∠P的兩邊分別與∠1的兩邊平行，且與（1）中的方法不同，量出∠1，∠P的度數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：它們之間的數(shù)量關系是______;

（3）由上述兩種情況可以得出結(jié)論：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角______.

本題要求學生在閱讀試題后，根據(jù)敘述畫出圖形，讓學生動腦動手親身經(jīng)歷探究問題的過程，經(jīng)歷從定量到定性的過程，從而獲得研究的初步體驗，加深對問題的思考與感悟，激發(fā)學生探索問題的求知欲，促使學生養(yǎng)成獨立思考和重視解決實際問題的學習習慣. 此題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的前提，等量代換起到非常重要的作用，也考查了分類討論思想的應用.

三、操作實踐能力

數(shù)學源于對現(xiàn)實生活的抽象，通過抽象得到了數(shù)學研究的對象. 數(shù)學實踐操作是學生通過動手動腦，以“做”為支架的數(shù)學教與學的活動方式;是在教師的引導下，學生通過實踐操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論、理解數(shù)學知識、驗證數(shù)學結(jié)論的數(shù)學活動. 實踐操作具有直觀性，能將抽象的數(shù)學問題可視化，增強學生對知識的感性認識.

例2圖4是長方形紙帶，∠DEF=26°，將紙帶沿EF折疊成圖5，則∠FGD=_____，再沿BF折疊成圖6，則圖6中∠DHF=_____.

本題是一道折疊問題，第1問面向全體學生，要求他們利用平行線的性質(zhì)直接找出同位角;第2問要求學生具有審慎思考、分析推理、圖形重構(gòu)等多種能力. 此題考查了平行線的性質(zhì)、翻折對應角相等，熟練掌握平行線的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)是解決問題的關鍵，也考查學生從形象思維過渡到抽象思維的能力.

四、語言表達能力

語言表達能力不僅是對數(shù)學語言運用能力的考查，更是對思維過程的考查，通過學生的答題過程判斷學生是否理解數(shù)學概念、性質(zhì)定理，是否真正掌握數(shù)學思維方法、是否具有信息處理能力. 教師在批閱作業(yè)時完全通過書面答題判定，學生沒有當面說明、解釋和展示的機會，因此要求他們做到能夠用精確、簡約的數(shù)學語言去表達對數(shù)學的想法和思考的過程.

例3已知AB∥CD，點M，N分別在直線AB，CD上，E是平面內(nèi)一點，∠AME和∠CNE的平分線所在的直線相交于點F.

（1）如圖7，當E，F(xiàn)都在直線AB，CD之間且∠MEN=80°時，∠MFN的度數(shù)為_________;

（2）如圖8，當E在直線AB上方，F(xiàn)在直線CD下方時，探究∠MEN和∠MFN之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論;

（3）如圖9，當E在直線AB上方，F(xiàn)在直線AB和CD之間時，直接寫出∠MEN和∠MFN之間的數(shù)量關系.

本題是一道需要通過作輔助線來求解的問題，添加輔助線對于學生的語言表達要求較高. 語言表達能力要求學生能正確運用數(shù)學術(shù)語、符號、算式、推理步驟表達自己的思想，同時要求規(guī)范，符合數(shù)學表達程式和要求，具有邏輯性和條理性. 只有條理清晰的思維，才能有規(guī)范流暢的表達. 此題要應用分類與整合、化規(guī)與轉(zhuǎn)化的思想.

五、演繹推理能力

邏輯推理是數(shù)學學科六個核心素養(yǎng)之一. 邏輯推理包括從特殊到一般的歸納推理，以及從一般到特殊的演繹推理. “數(shù)學教育的主要價值，學習數(shù)學的最主要目的是培養(yǎng)人的思維能力，特別是邏輯思維能力，使學生善于思考，有獨創(chuàng)精神.”[4]

例4如圖10，PQ∥CN，A，B為PQ上兩點，AD平分∠CAB交CN于點D，E為AD上一點，連接BE，AF平分∠BAD交BE于點F.

（1）若∠C=40°，則∠EAF=______;

（2）作AG交CD于點G，且滿足∠1=∠ADC，當∠2+∠GAF=180°，試說明：AC∥BE;

（3）在（1）問的條件下，將AC繞點A以每秒10°的速度逆時針轉(zhuǎn)動，將DN繞點D以每秒30°的速度逆時針轉(zhuǎn)動，DN轉(zhuǎn)至射線DC后立即以相同速度回轉(zhuǎn)，若它們同時開始轉(zhuǎn)動，設轉(zhuǎn)動時間為t秒，當DN回到出發(fā)的位置時同時停止轉(zhuǎn)動，則在轉(zhuǎn)動過程中，當AC與DN互相平行或垂直時，請直接寫出此時t的值.

此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，還考查了學生分析推理能力，分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應用. 教師不僅要讓學生掌握獲得知識的策略、方法，更要讓學生運用已有的知識解釋現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，運用數(shù)學的邏輯方法推理結(jié)論的合理性，發(fā)展表達有理有據(jù)的推理能力.

小結(jié)

以上復習教學過程，首先從基礎知識出發(fā)，然后應用已學知識解決問題，既能覆蓋全章知識要點，又具有方法的典型性. 筆者從既能激發(fā)學生的思維又具有一定探索性的問題出發(fā)，設計整理歸納、閱讀理解、操作實踐、語言表達、拓展延伸等教學環(huán)節(jié)，創(chuàng)造多維度思維平臺. 筆者在培養(yǎng)學科能力的驅(qū)動下展開教學，引導學生經(jīng)歷知識的生成、歸納、應用和延伸的過程，變教學實踐為思維活動再現(xiàn)，進而讓知識成為思維活動的結(jié)果. 在教學中筆者引導學生注重基礎知識的理解、基本模型的構(gòu)建、思想本質(zhì)的挖掘、基本方法的應用，讓學生實現(xiàn)“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，把數(shù)學基本思想、基本活動經(jīng)驗落實在基礎知識、基本技能的教學過程中，使數(shù)學學科能力真正落地.

參考文獻：

[1]鄭瑄，沈吉爾. 也談好的例題教學是照亮學生解題的燈塔[J]. 數(shù)學通報，2020（8）.

[2]任子朝，趙軒，郭學恒. 基于高考體系的關鍵能力的考查[J]. 數(shù)學通報，2020（8）.

[3]章建躍. 研究三角形的數(shù)學思維方式[J].數(shù)學通報，2019（4）.

[4]章建躍. 章建躍數(shù)學皎月隨想錄（上卷）[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.