數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中凸顯“思維可視化”的策略

潘修鑾

摘 要 將思維可視化應(yīng)用于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，可以展現(xiàn)學(xué)生實(shí)驗(yàn)中的思維過(guò)程，把抽象的研究對(duì)象變得可感、可視、可觸摸，有利于教師進(jìn)行有效引導(dǎo)，進(jìn)一步提升實(shí)驗(yàn)效果，優(yōu)化學(xué)生思維發(fā)展路徑。教學(xué)中通過(guò)多元表征、搭建“支點(diǎn)”、系統(tǒng)建構(gòu)讓隱性思維顯性化，抽象思維形象化，零散思維結(jié)構(gòu)化，為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)注入新的活力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 思維可視化 顯性化 形象化 結(jié)構(gòu)化

思維可視化是指以圖示或圖示組合的方式，將原本看不見(jiàn)的思維過(guò)程、思考路徑、規(guī)律方法等呈現(xiàn)出來(lái)。在小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中凸顯“思維可視化”，可以把抽象的數(shù)學(xué)研究對(duì)象變得可感、可視、可觸摸，使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作、觀察、思考、猜想、表達(dá)中打開(kāi)思維的大門(mén)。讓抽象的數(shù)學(xué)思維看得見(jiàn)，有利于教師進(jìn)行引導(dǎo)，促進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)自主、有序、高效開(kāi)展，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，優(yōu)化思維發(fā)展路徑，為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)注入新的活力，成就學(xué)生“做”的精彩。

一、多元表征，讓隱性思維顯性化

多元表征是圖形、符號(hào)、操作、情境、語(yǔ)言等外在表征形式的綜合，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中借助多種數(shù)學(xué)表征形式，將學(xué)生的隱性思維外化顯示，使學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、目標(biāo)、方法、結(jié)論等清晰可視，便于實(shí)驗(yàn)的操作、交流和表達(dá)，使自己和同伴的思維路徑清晰明了，促進(jìn)學(xué)生自主進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

1.導(dǎo)圖探路，明晰思維方向

凡事預(yù)則立，實(shí)驗(yàn)活動(dòng)也是這樣。實(shí)驗(yàn)前學(xué)生要清楚知曉“在哪里”（已知條件）、明晰“到哪里去”（要解決的問(wèn)題），知道“需要經(jīng)歷怎樣的過(guò)程，如何到達(dá)”，如果能將這些實(shí)驗(yàn)流程有效融入到思維導(dǎo)圖中，借助導(dǎo)圖變實(shí)驗(yàn)中的“走迷宮”為按圖索驥，就可以使學(xué)生有的放矢地展開(kāi)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。如：教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，學(xué)生圍繞核心問(wèn)題的解決，需要準(zhǔn)備哪些材料，提出怎樣的猜想，運(yùn)用哪些方法進(jìn)行驗(yàn)證，有的小組經(jīng)過(guò)討論交流，將實(shí)驗(yàn)方案繪成思維導(dǎo)圖（如圖1）。一圖勝千言，實(shí)驗(yàn)流程清晰可視，為學(xué)生提供了可視化的思維路徑，既便于自己操作，更利于小組內(nèi)同學(xué)的分工與合作，使實(shí)驗(yàn)活動(dòng)自主有序展開(kāi)。

2.操作留痕，呈現(xiàn)思維軌跡

數(shù)學(xué)思維伴隨于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的整個(gè)過(guò)程，這些思維內(nèi)容僅憑頭腦記憶是有限的，需要學(xué)生將實(shí)驗(yàn)中的問(wèn)題、數(shù)據(jù)、猜想、發(fā)現(xiàn)等及時(shí)記錄在實(shí)驗(yàn)單上，留下思維軌跡，便于觀察、比較、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)“表面涂色的正方體”時(shí)，要求學(xué)生利用一種拼插式的小正方體玩具，做成兩個(gè)棱長(zhǎng)是3和4的正方體，并分別在表面貼上相同顏色的花片。課上先組織學(xué)生觀察、拆分手中的正方體，學(xué)生發(fā)現(xiàn)拆成的小正方體上有的3面貼花，有的2面貼花……不禁產(chǎn)生疑問(wèn)“每種小正方體的數(shù)量各有多少？其中有沒(méi)有規(guī)律呢？”帶著問(wèn)題展開(kāi)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生反復(fù)拆分棱長(zhǎng)為2、3、4的正方體，及時(shí)將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)填入表格，學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)不同涂色正方體所在的位置特點(diǎn)，并猜測(cè)其中的規(guī)律。隨后引導(dǎo)學(xué)生觀察棱長(zhǎng)為5的正方體透視圖，猜想每種涂色小正方體的數(shù)量并運(yùn)用動(dòng)畫(huà)拆分進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而拓展聯(lián)想更多等分的情況。由于每一次實(shí)驗(yàn)操作，都及時(shí)將問(wèn)題、猜想、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等記錄在報(bào)告單上，學(xué)生有跡可循，使其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律自然“浮出水面”。

3.多維表達(dá)，物化思維成果

讓思維看得見(jiàn)，需要我們調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官參與活動(dòng)，將實(shí)驗(yàn)中的各種發(fā)現(xiàn)運(yùn)用多種數(shù)學(xué)表征方式表達(dá)出來(lái)，物化思維成果，其中以數(shù)、形、圖表和結(jié)構(gòu)最為清楚、生動(dòng)、有效。如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生通過(guò)觀察同一個(gè)圓里的直徑和半徑，幾乎都能發(fā)現(xiàn)“直徑是半徑的2倍”。“你能驗(yàn)證給大家看嗎？”這一挑戰(zhàn)性任務(wù)大大激發(fā)了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)熱情。交流中發(fā)現(xiàn)，他們的思維成果既豐富形象而又充滿(mǎn)個(gè)性，有的實(shí)際測(cè)量，用數(shù)據(jù)“說(shuō)話”;有的將圓形紙片對(duì)折了2次，折疊中“直徑與半徑的關(guān)系”不言自明;有的還做成了教具，先在圓中畫(huà)出直徑和半徑，然后用小棒代表半徑，繞著圓心旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生親眼見(jiàn)到“這條直徑恰好就等于2條半徑”;有的根據(jù)直徑和半徑的概念，用語(yǔ)言進(jìn)行闡釋……透過(guò)這些“物化”的思維成果，觸摸到學(xué)生思維的內(nèi)核，在交流碰撞中，相互借鑒學(xué)習(xí)，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生思維得以展現(xiàn)、發(fā)展和提升。

二、搭建“支點(diǎn)”，讓抽象思維形象化

數(shù)學(xué)的抽象概括性與學(xué)生形象思維之間的矛盾始終是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的攔路虎，致使學(xué)生實(shí)驗(yàn)時(shí)容易“碰壁”，阻礙活動(dòng)的開(kāi)展，這時(shí)教師要及時(shí)捕捉學(xué)生的思維困惑，適時(shí)出手搭建思維“支點(diǎn)”，將抽象的數(shù)學(xué)思維變得形象可視，推動(dòng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)向深處開(kāi)展。

1.激疑凝思，聚焦中尋求突破

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是“做”與“思”的統(tǒng)一，學(xué)生在做實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中有時(shí)會(huì)遇到思維方向不明，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)無(wú)法進(jìn)行的現(xiàn)象。這就需要教師瞄準(zhǔn)著眼點(diǎn)，聚焦困惑，撥其疑源，適度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散和聚合思維，讓學(xué)生在嘗試中找到“破殼”的縫隙，繼續(xù)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)研究。如在探究三角形三邊關(guān)系時(shí)，學(xué)生很難將猜測(cè)和研究的視角聚焦到“任意兩邊之和大于第三邊”上，致使學(xué)生的思維陷入困境，實(shí)驗(yàn)費(fèi)時(shí)低效。教學(xué)時(shí)，教師利用一種抽拉式吸管作為實(shí)驗(yàn)素材，讓學(xué)生圍出三角形，當(dāng)學(xué)生探究的思維受阻時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將其中的一條邊抽拉變長(zhǎng)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來(lái)的三角形慢慢的就圍不成了，再?lài)L試其他邊時(shí)也發(fā)現(xiàn)了同樣的情況，學(xué)生自然地產(chǎn)生了疑惑和猜想：是不是三角形兩邊之和一定要大于第三邊呢？在激疑凝思的過(guò)程中，學(xué)生的思維很快聚焦到研究?jī)蛇呏团c第三邊的關(guān)系上來(lái)，實(shí)驗(yàn)活動(dòng)在“破繭”后，再度出發(fā)。

2.融數(shù)于形，直觀中促進(jìn)內(nèi)化

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)研究對(duì)象，教學(xué)中充分利用“形”的直觀性，融數(shù)于形，可以很好地幫助學(xué)生理解概念、探索規(guī)律，使學(xué)生的思維在“數(shù)”和“形”之間自由穿梭，在直觀中促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化。如蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“和的奇偶性規(guī)律”，教材通過(guò)舉例、計(jì)算、列表，發(fā)現(xiàn)2個(gè)及多個(gè)數(shù)的和的奇偶性規(guī)律，然后再舉例進(jìn)行驗(yàn)證，而實(shí)際上無(wú)論舉多少個(gè)例子，學(xué)生仍感覺(jué)說(shuō)服力不足，對(duì)規(guī)律仍難以領(lǐng)悟透徹。如果在探索兩個(gè)數(shù)和的奇偶性規(guī)律時(shí)，及時(shí)引入方塊圖，學(xué)生直觀感受到所有的偶數(shù)都正好用兩行方塊表示，奇數(shù)都要多出1個(gè)。在操作中，學(xué)生欣喜地發(fā)現(xiàn)兩個(gè)偶數(shù)圖拼成的一定還是偶數(shù)圖，兩個(gè)奇數(shù)圖恰好能拼成偶數(shù)圖，一奇一偶無(wú)論怎樣都只能拼成奇數(shù)圖。借助直觀的方塊圖，使兩數(shù)和的奇偶性規(guī)律清晰明了，摒棄舉例帶來(lái)的局限性。研究多個(gè)數(shù)和的奇偶性時(shí)，直觀的經(jīng)驗(yàn)使學(xué)生不難想到無(wú)論有多少個(gè)偶數(shù)和一定還是偶數(shù)，只要看一組數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)就可以了。數(shù)形相映，使規(guī)律內(nèi)化于心，進(jìn)一步彰顯思維可視化的魅力和價(jià)值。

3.化靜為動(dòng)，模擬中加深體驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中借助可視化技術(shù)開(kāi)展模擬實(shí)驗(yàn)，將靜態(tài)、抽象的知識(shí)進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，將有利于學(xué)生突破認(rèn)知障礙，加深對(duì)知識(shí)的理解和體驗(yàn)，有效促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。如蘇教版《數(shù)學(xué)》二年級(jí)下冊(cè)“角的初步認(rèn)識(shí)”中，“角的大小與所畫(huà)或所見(jiàn)邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”對(duì)低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較抽象、難以認(rèn)識(shí)的，雖然教材中對(duì)這點(diǎn)不做要求，但學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)中又無(wú)法回避。為了排除“邊的長(zhǎng)短對(duì)角大小的負(fù)干擾”，使學(xué)生加深體驗(yàn)，教師根據(jù)低年級(jí)兒童思維特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了動(dòng)畫(huà)進(jìn)行模擬演示：灰太狼和喜羊羊用炮來(lái)打鳥(niǎo)，第一次都沒(méi)打中，接下來(lái)灰太狼調(diào)整炮筒的長(zhǎng)度，結(jié)果仍沒(méi)打中，而喜羊羊調(diào)整炮筒的角度結(jié)果成功打到小鳥(niǎo)。通過(guò)同屏動(dòng)態(tài)展示，使學(xué)生在清晰可見(jiàn)的動(dòng)畫(huà)中深度理解“角的大小與兩邊張開(kāi)的程度有關(guān)，與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”，借助可視化策略實(shí)現(xiàn)靜態(tài)概念，動(dòng)態(tài)演繹。

三、系統(tǒng)建構(gòu)，讓零散思維結(jié)構(gòu)化

研究表明，兒童的思維都是從點(diǎn)狀階段開(kāi)始，逐步向線型、網(wǎng)狀、系統(tǒng)思維階段發(fā)展。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中教師要進(jìn)一步拓寬思維空間，有意識(shí)地將學(xué)生學(xué)習(xí)中孤立的、零散的思維經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)的梳理、完善、建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)化和思維結(jié)構(gòu)化，切實(shí)提升實(shí)驗(yàn)活動(dòng)效益。

1.特征勾連，完善認(rèn)知

數(shù)學(xué)知識(shí)是聯(lián)系的、整體的和結(jié)構(gòu)的。實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，如果我們將知識(shí)的本質(zhì)特征進(jìn)行有序梳理、有效勾連、直觀呈現(xiàn)，將會(huì)使學(xué)生的學(xué)習(xí)更系統(tǒng)、更有條理，從而完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如在學(xué)習(xí)完梯形的認(rèn)識(shí)后，組織學(xué)生利用手中的釘子板進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，先任意圍成一個(gè)一般的四邊形，并將其中的一個(gè)頂點(diǎn)隨意移動(dòng)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以圍出很多不同的四邊形;接著讓學(xué)生將任意四邊形按下面的順序依次改圍：一組對(duì)邊平行（梯形）→兩組對(duì)邊平行（平行四邊形）→四個(gè)角都變成直角（長(zhǎng)方形）→鄰邊相等（正方形）。在有序的操作實(shí)驗(yàn)中，以圖形的特征勾連不同四邊形之間的關(guān)系，直觀感悟圖形之間的變化和聯(lián)系，教師又及時(shí)用韋恩圖把幾種四邊形以框架的形式整體建構(gòu)，進(jìn)一步完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.思想統(tǒng)領(lǐng)，整體感悟

實(shí)驗(yàn)過(guò)程是曲折而豐富的，活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)是零碎的，也是片面的，實(shí)驗(yàn)教學(xué)中以數(shù)學(xué)思想為統(tǒng)領(lǐng)，使學(xué)生系統(tǒng)認(rèn)知這一類(lèi)知識(shí)，整體感悟其背后數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)一性，從而促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的發(fā)展。在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”時(shí)，學(xué)生在猜想、操作、實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，找到圓與所轉(zhuǎn)化的長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系并推導(dǎo)出圓的面積公式。然后引導(dǎo)學(xué)生回顧以往研究平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積時(shí)，都是轉(zhuǎn)化成什么圖形，怎樣轉(zhuǎn)化的。根據(jù)學(xué)生回顧，教師及時(shí)整理呈現(xiàn)，形成了相互關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)圖。通過(guò)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的匯聚，結(jié)構(gòu)化的梳理，使學(xué)生感受到化曲為直、化繁為簡(jiǎn)、變未知為已知的轉(zhuǎn)化思想，體悟到它們的“形”雖有很大不同，但運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想都是統(tǒng)一的，使轉(zhuǎn)化思想扎根于腦、內(nèi)化于心，逐漸形成一種意識(shí)、觀念和素養(yǎng)，在后續(xù)學(xué)習(xí)中隨時(shí)發(fā)揮作用。

3.溯源探流，建構(gòu)模型

數(shù)學(xué)上有些知識(shí)看似無(wú)顯性關(guān)聯(lián)，但借助結(jié)構(gòu)聯(lián)想、方法感悟可以讓這些知識(shí)在某個(gè)點(diǎn)上建立聯(lián)結(jié)，從而找到知識(shí)之“源”，建構(gòu)這一類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，形成思維之“流”，從知識(shí)的系統(tǒng)化走向思維的結(jié)構(gòu)化。在學(xué)習(xí)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“角的度量”時(shí)，當(dāng)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究出角的度量方法后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧：我們以往也用過(guò)類(lèi)似方法進(jìn)行過(guò)度量，在學(xué)習(xí)長(zhǎng)度時(shí)，用一小段長(zhǎng)度做標(biāo)準(zhǔn)去度量;在度量面積時(shí)，是用一個(gè)小正方形的面積做標(biāo)準(zhǔn);今天量角的方法，也是用一個(gè)較小的角做標(biāo)準(zhǔn)去度量。在“源”與“流”的探尋中，使學(xué)生意識(shí)到長(zhǎng)度、面積、角的度量方法在本質(zhì)上是一致的，都是用一個(gè)較小的標(biāo)準(zhǔn)單位去度量，進(jìn)而認(rèn)識(shí)度量的本質(zhì)，在今后度量其他量的時(shí)候，學(xué)生會(huì)自覺(jué)運(yùn)用這些實(shí)驗(yàn)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行深度探究，使學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維水平得到整體拉升，更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]