學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

范友彬

[摘 ?要] 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)、螺旋上升的過(guò)程，是一個(gè)不斷進(jìn)階的過(guò)程?；谶M(jìn)階學(xué)習(xí)理論視角，教師在教學(xué)中要注重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階梯性、連續(xù)性和結(jié)構(gòu)性。通過(guò)學(xué)習(xí)進(jìn)階，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從現(xiàn)象走向本質(zhì)、從低階走向高階、從復(fù)制走向創(chuàng)新。通過(guò)進(jìn)階學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的高階思維、高階認(rèn)知，最終彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);學(xué)習(xí)進(jìn)階;教學(xué)設(shè)計(jì)

“學(xué)如登山”（三國(guó)·魏·徐干《中論·上·治學(xué)》）。學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)、螺旋上升的過(guò)程。在不同的學(xué)習(xí)階段，學(xué)生有著不同的具體學(xué)情。同樣，在不同的學(xué)習(xí)階段，學(xué)生有著不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)、要求等?！皩W(xué)習(xí)進(jìn)階”理論正是基于這樣的學(xué)習(xí)事實(shí)而提出的?！皩W(xué)習(xí)進(jìn)階”作為一個(gè)教育學(xué)概念，是由科學(xué)家史密斯首次提出。他認(rèn)為，一個(gè)人的學(xué)習(xí)就是不斷地進(jìn)階。他將“學(xué)習(xí)進(jìn)階”定義為“學(xué)生在學(xué)習(xí)某一核心概念過(guò)程中所遵循的一系列逐漸復(fù)雜的路徑”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)進(jìn)階就是指學(xué)生的學(xué)習(xí)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從現(xiàn)象到本質(zhì)、從低階走向高階、從復(fù)制走向創(chuàng)新的過(guò)程。

一、拾級(jí)而上，注重學(xué)習(xí)的階梯性

美國(guó)教育心理學(xué)家布魯姆將學(xué)生認(rèn)知領(lǐng)域的學(xué)習(xí)目標(biāo)分為六個(gè)層次，即“記憶”“理解”“應(yīng)用”“分析”“評(píng)價(jià)”“創(chuàng)造”等。學(xué)習(xí)進(jìn)階，就是要求教師在教學(xué)中要搭建學(xué)習(xí)階梯，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中拾級(jí)而上。作為教師，不僅要了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的進(jìn)階起點(diǎn)進(jìn)行分析，從而設(shè)定科學(xué)、合理、適恰的進(jìn)階目標(biāo)。通過(guò)進(jìn)階起點(diǎn)、進(jìn)階目標(biāo)，研發(fā)、設(shè)計(jì)學(xué)生最佳的學(xué)習(xí)路徑。

比如“3的倍數(shù)的特征”（蘇教版五年級(jí)下冊(cè)）這一部分內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“2的倍數(shù)的特征”以及“5的倍數(shù)的特征”基礎(chǔ)上展開(kāi)的。因此，教師可以對(duì)接學(xué)生的認(rèn)知、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“3的倍數(shù)的特征”進(jìn)行猜想。這里，學(xué)生的一般性的猜想、舉例驗(yàn)證等就是第一階段的教學(xué)。在這個(gè)階段中，學(xué)生首先猜想“3的倍數(shù)的特征”就是個(gè)位上是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。通過(guò)驗(yàn)證自我否定之后，學(xué)生再次猜想。在這個(gè)過(guò)程中，筆者積極跟進(jìn)、適度介入，通過(guò)計(jì)數(shù)器、百數(shù)圖等輔助、催生學(xué)生的猜想。在學(xué)生形成“一個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)可能與各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和有關(guān)”的新猜想之后，學(xué)生再次展開(kāi)驗(yàn)證。在完成一般性的對(duì)“3的倍數(shù)的特征”的認(rèn)知基礎(chǔ)上，很多教師的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)往往戛然而止，以至于學(xué)生對(duì)“2、3、5的倍數(shù)的特征”的認(rèn)知始終知其然，而不知其所以然。筆者在教學(xué)中，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生追問(wèn)：為什么2、5的倍數(shù)的特征與個(gè)位上的數(shù)有關(guān)？為什么3的倍數(shù)的特征與各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和有關(guān)？從而催生學(xué)生深度思考、探究，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階。通過(guò)深入研討，學(xué)生認(rèn)識(shí)到“對(duì)于任何一個(gè)數(shù)，判定其是否是某一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的特征，都是將這個(gè)數(shù)分成兩個(gè)部分。其中一個(gè)部分一定是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)，另一個(gè)部分可能是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)?！比纭?、5的倍數(shù)的數(shù)都是分成了整十?dāng)?shù)和個(gè)位上的數(shù)”，如“3的倍數(shù)的數(shù)都是分成了幾個(gè)9、幾個(gè)99、幾個(gè)999等以及各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和”。通過(guò)這樣的分析，學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到“2、3、5的倍數(shù)的特征”，不僅知其然，更知其所以然。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要立足于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)整體、全局，要站在學(xué)生立場(chǎng)上，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階進(jìn)行整體性謀劃。要扎實(shí)階梯性目標(biāo)、內(nèi)容的建構(gòu)，從而為學(xué)生的進(jìn)階學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。要避免低水平的重復(fù)，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知不斷地爬坡，充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展、創(chuàng)新的過(guò)程。

二、瞻前顧后，注重學(xué)習(xí)的連續(xù)性

美國(guó)著名教育家杜威先生曾經(jīng)這樣說(shuō)，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)是連續(xù)性的。進(jìn)階視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要求學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)走向連續(xù)，而且要求學(xué)生的認(rèn)知走向連續(xù)。只有基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連續(xù)性，才能引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階。學(xué)習(xí)進(jìn)階不僅僅要解決學(xué)習(xí)者認(rèn)知發(fā)展的路徑，還要解決學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中用以“踏腳”的具體“附著點(diǎn)”?！半A”是一個(gè)迭代的過(guò)程，要以學(xué)情分析和把握為依據(jù)，通過(guò)瞻前顧后，注重學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連續(xù)性。

比如教學(xué)“多邊形的面積”（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)）這一部分內(nèi)容，基于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的“長(zhǎng)方形的面積”，筆者在教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)剪拼法將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形;教學(xué)“三角形的面積”時(shí)，立足于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，筆者啟發(fā)學(xué)生將三角形通過(guò)剪拼法轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形、通過(guò)倍拼法轉(zhuǎn)化成平行四邊形等;在教學(xué)“梯形的面積”時(shí)，由于學(xué)生已經(jīng)掌握了長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形等圖形的面積計(jì)算方法，因而筆者就致力于引導(dǎo)學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成三角形、平行四邊形和長(zhǎng)方形再求面積。由于學(xué)生擁有了剪拼、倍拼等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，因而都能主動(dòng)地將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長(zhǎng)方形等。為了進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，筆者引導(dǎo)學(xué)生將梯形采用分割法轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形。這樣的一種教學(xué)，充分體現(xiàn)了連續(xù)性的教學(xué)原則。學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得的不再是碎片式的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是整體性的數(shù)學(xué)知識(shí)，即多邊形的面積推導(dǎo)都是采用轉(zhuǎn)化思想方法，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單，將陌生轉(zhuǎn)化成熟悉，將未知轉(zhuǎn)化成已知等。連續(xù)性是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本品性。瞻前顧后，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向連續(xù)，這是學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)階的根本保障。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要樹(shù)立“大觀點(diǎn)”，從“大視角”觀照學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從更大的、更長(zhǎng)遠(yuǎn)的時(shí)間跨度上來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知建構(gòu)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注知識(shí)“點(diǎn)”的提升，更要將相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)串接成線、連接成面、結(jié)構(gòu)成體。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不同的“階”連續(xù)攀爬，從而讓學(xué)生從低階學(xué)習(xí)邁向高階學(xué)習(xí)。作為教師，要盡可能地避免作為教學(xué)工作者的“一廂情愿”的單向設(shè)計(jì)，而應(yīng)當(dāng)讓教學(xué)踩著學(xué)生“學(xué)的節(jié)拍”，更好地為學(xué)生的“學(xué)”服務(wù)。

三、左顧右盼，注重學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)性

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)階，不僅是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果性標(biāo)志，更是過(guò)程性標(biāo)志。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要瞻前顧后，更要左顧右盼。瞻前顧后，就是注意數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的前后學(xué)習(xí)的連續(xù)性，而左顧右盼就是注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性。北京師范大學(xué)郭玉英教授深刻地指出：“在一段時(shí)間內(nèi)，學(xué)生針對(duì)某個(gè)具體概念的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷從經(jīng)驗(yàn)到映射到關(guān)聯(lián)到系統(tǒng)到整合的變化?！憋@然，系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)認(rèn)知還只是學(xué)生整合學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

整合是一種跨越知識(shí)點(diǎn)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)的過(guò)程。作為教師，不僅要注重知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，更要由點(diǎn)及網(wǎng)，幫助學(xué)生建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要設(shè)定不同的階段性的能級(jí)水平，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為一種不斷的“躍遷過(guò)程”。比如教學(xué)“公頃和平方千米”（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)）這部分內(nèi)容，基于學(xué)生對(duì)平方米、平方分米、平方厘米等面積單位的認(rèn)知，筆者引導(dǎo)學(xué)生到操場(chǎng)上感受“邊長(zhǎng)為100米的正方形的大小”，從而幫助學(xué)生建立公頃的表象，形成對(duì)公頃和平方米的進(jìn)率的認(rèn)知。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考平方千米的大小，并推導(dǎo)平方千米和公頃的進(jìn)率。在此基礎(chǔ)上，將其他面積單位包括公畝等引入其中。不僅如此，筆者還將系列長(zhǎng)度單位包括百米、十米等引入其中，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“相鄰兩個(gè)長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率是10，相鄰兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率是100”。這樣的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)體積單位奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。長(zhǎng)度、面積、體積等知識(shí)看似不同，實(shí)則蘊(yùn)含著相同的本質(zhì)，都是要去測(cè)量被測(cè)量對(duì)象中所包含的測(cè)量單位的個(gè)數(shù)。結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)讓學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了“計(jì)算”，同時(shí)也對(duì)它們的本質(zhì)有了更為深刻的認(rèn)知。

學(xué)習(xí)進(jìn)階，對(duì)于學(xué)生的意義和價(jià)值正如北京師范大學(xué)郭玉英教授所指出的“是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所需要經(jīng)歷的‘攀爬’”。學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，關(guān)注學(xué)生認(rèn)知水平和思維發(fā)展的雙重提升。作為教師，不僅要注重學(xué)生的知識(shí)進(jìn)階、認(rèn)知進(jìn)階、思維進(jìn)階，更要滲透數(shù)學(xué)的思想方法，滲透學(xué)習(xí)方法、策略等。通過(guò)進(jìn)階學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的高階思維、高階認(rèn)知，最終彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

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