中考作圖題考查的不僅僅是“作圖”

楊國智 李英

［摘? 要］ 中考作圖題種類繁多，不同的作圖題，其“道理”不盡相同，考查的內(nèi)容和方法也不相同，這就需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間觀念、幾何直觀、數(shù)學(xué)思維能力和動(dòng)手操作能力，這些題目在落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的基礎(chǔ)上很好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 中考；作圖題；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在距離中考還有兩周的時(shí)候，我們進(jìn)行了中考數(shù)學(xué)適應(yīng)性模擬檢測，其中填空題的第17小題，我們選擇了2021年四川省自貢市中考數(shù)學(xué)試卷的填空題第17題. 之所以選擇這道題，原因有兩點(diǎn)：一是作圖題以填空題的形式來呈現(xiàn)，形式比較新穎；二是題目要求只用不帶刻度的直尺，在格點(diǎn)中作圖，有別于傳統(tǒng)的“尺規(guī)”作圖. 但分析試卷發(fā)現(xiàn)本題的得分率低于0.5，這是為什么呢？

試題1? （2021年自貢中考第17題）如圖1所示，△ABC的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上. 只用不帶刻度的直尺，作出△ABC的角平分線BD（不寫作法，保留作圖痕跡）.

作法解析：延長BC到點(diǎn)E，使得CE為3個(gè)單位長度，連接AE，AE恰好經(jīng)過格點(diǎn)F，作射線BF交AC于點(diǎn)D. BD就是△ABC的角平分線.

在網(wǎng)格中，根據(jù)勾股定理易知△ABC的邊AB的長為5個(gè)單位長度，延長BC到點(diǎn)E，使得BE的長也是5個(gè)單位長度，則△ABE是等腰三角形，∠ABC是等腰三角形ABE的頂角，F(xiàn)是等腰三角形ABE的底邊AE的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知，BF平分∠ABC.

本題考查的重點(diǎn)是：作圖——應(yīng)用——設(shè)計(jì)，涉及的知識(shí)點(diǎn)有勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖

初中數(shù)學(xué)的作圖題，以尺規(guī)作圖為主. 所謂尺規(guī)作圖，就是在平面內(nèi)使用圓規(guī)和無刻度直尺通過有限次操作完成圖形與幾何中的作圖問題. 其中，無刻度直尺的主要功能是連接兩點(diǎn)作線段或過兩點(diǎn)作射線和直線；圓規(guī)的功能是用來畫圓、弧，截取一條線段等于已知線段. 關(guān)于尺規(guī)作圖，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》有明確要求，即能用尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線； 過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線； 已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形；過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形；過圓外一點(diǎn)作圓的切線. 在尺規(guī)作圖中，學(xué)生應(yīng)了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法［1］.

試題2? 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC.

（1）請用尺規(guī)作圖的方法在邊AC上確定點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到邊BC的距離等于DA的長（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，求證：BC=AB+AD.

第（1）問作法解析：確定點(diǎn)D須滿足兩個(gè)條件，即一是點(diǎn)D必須在線段AC上；二是點(diǎn)D到角的兩邊BC和BA的距離相等. 根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”可知，D是∠ABC的平分線與邊AC的交點(diǎn)，所以只需要用尺規(guī)作出△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線即可確定點(diǎn)D（作圖如圖3所示）.

傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖，都是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求掌握的最基本的作圖，學(xué)生只要理解作圖的基本原理，就可以完成作圖. 尺規(guī)作圖一般要求學(xué)生作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示.

僅利用無刻度直尺作圖

僅用無刻度直尺作圖，是近幾年中考作圖題的創(chuàng)新類試題，這類試題能有效地引發(fā)學(xué)生積極思考，引導(dǎo)學(xué)生利用觀察、猜測、推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法分析問題并積極地解決問題，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.

試題3? 如圖4所示，點(diǎn)D，E分別是△ABC中AB，AC邊的中點(diǎn)，請僅用無刻度直尺按下列要求畫圖.

（1）在BC邊上畫出中點(diǎn)F；

作法解析：（1）因?yàn)槿切蔚娜龡l中線交于一點(diǎn)，已知了兩個(gè)中點(diǎn)，第三個(gè)中點(diǎn)也就知道了. 連接CD，BE相交于點(diǎn)O，作射線AO交BC于點(diǎn)F. 點(diǎn)F就是BC邊的中點(diǎn). （2）所求的點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)，在△ABF中，已知D是AB的中點(diǎn)，要找到邊BF的中點(diǎn)，必須先確定邊AF的中點(diǎn). 在△ABC中，因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的中位線，即DE∥BC，根據(jù)平行線等分線段定理，可以確定線段AF的中點(diǎn)，再根據(jù)（1）的方法，點(diǎn)G即可確定.（作圖如圖5所示）

此作圖題涉及的知識(shí)點(diǎn)有三角形的重心、三角形的中位線和平行線等分線段定理等.

圖形與幾何的作圖題，是學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題情境中簡單的數(shù)量關(guān)系與空間形式的重要方式，學(xué)生只有在充分理解、掌握相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，才能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言（幾何作圖）準(zhǔn)確地表達(dá)出空間形式和數(shù)量關(guān)系. 數(shù)學(xué)語言的簡潔美，能使學(xué)生逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言（圖形語言和符號(hào)語言）表達(dá)與交流的習(xí)慣.

利用網(wǎng)格格點(diǎn)作圖

利用“網(wǎng)格+無刻度的直尺”完成作圖，成為數(shù)學(xué)中考作圖題的“新貴”. 這類試題涉及的知識(shí)點(diǎn)繁多，綜合性較強(qiáng)，能夠很好地考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

試題4? 如圖6所示，在每個(gè)小正方形的邊長均為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A，B，C及∠DPF一邊上的點(diǎn)E，F(xiàn)均在格點(diǎn)上.

（1）線段EF的長等于______；

（2）若點(diǎn)M，N分別在射線PD，PF上，滿足∠MBN =90°，且BM = BN，請用無刻度的直尺，在網(wǎng)格中畫出點(diǎn)M，N，并簡要說明點(diǎn)M，N的位置是如何找到的（不要求證明）.

第（2）問作法解析：如圖7所示，因?yàn)楦顸c(diǎn)A，B，C都在圓上，所以2×3的矩形第四個(gè)頂點(diǎn)也在圓上，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為G，連接AC，BG相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為已知圓的圓心. 以線段EF為一邊作正方形EHBF，EH交PD于點(diǎn)M，連接BM交☉O于點(diǎn)R，連接RO并延長，交☉O于點(diǎn)L，連接BL并延長，交PF于點(diǎn)N. 因?yàn)樗倪呅蜤HBF是正方形，所以BH=BF，且∠HBF=90°，又因?yàn)镽L是☉O的直徑，所以∠MBN=90°，所以∠HBM=∠FBN. 易得△HBM≌△FBN，所以BM=BN.

本題涉及的知識(shí)有：90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定等. 在這里，利用好線段EF是解決問題的關(guān)鍵，這也是本題第（1）問求線段EF長度的原因吧.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不單單是知識(shí)的積累，更重要的是要通過具體數(shù)學(xué)情境中的基本數(shù)量關(guān)系和空間形式，能夠直觀地理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)及其現(xiàn)實(shí)背景，能夠運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)表達(dá)事物之間的聯(lián)系與規(guī)律，從而培養(yǎng)想象力和創(chuàng)新意識(shí).

在坐標(biāo)系中利用平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱作圖

七至九年級(jí)的“圖形與幾何”領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)學(xué)習(xí)主題. 而利用網(wǎng)格或平面直角坐標(biāo)系作圖，是用代數(shù)的方法來研究圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和平移變化規(guī)律，其能在用幾何直觀理解圖形基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解和掌握圖形的性質(zhì)和定理.

試題5? 如圖8所示，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）.

（1）將△ABC先向上平移6個(gè)單位長度，再向右平移2個(gè)單位長度，得到△ABC，請畫出△ABC﹔

（2）以邊AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到△ABC，請畫出△ABC.

作法解析：（1）根據(jù)平移的方式確定點(diǎn)A，B，C的位置，再順次連接即可得到△ABC；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可確定點(diǎn)A2，B2，C2的位置，再順次連接即可得到△ABC.

本題考查作圖——旋轉(zhuǎn)變換與平移變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

拓展延伸

試題6? 如圖9所示，在菱形ABCD中，CE⊥AB，∠B=60°.

（1）請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡.

①求作菱形ABCD中BC邊上的高AF；

②求作AD的中點(diǎn)G.

（2）在（1）的條件下，連接EG，設(shè)AF與CE交于點(diǎn)H，若FH=1，求EG的長.

第（1）問作法解析：①連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)H，連接AH并延長，交BC于點(diǎn)F，AF就是BC邊上的高. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以BD⊥AC，AB=AC. 又因?yàn)椤螦BC=60° ，所以△ABC是等邊三角形. 因?yàn)锽D⊥AC，所以∠HBE=30° . 因?yàn)镃E⊥AB，∠ABC=60°，所以∠HCF=30°. 所以HB=HC. 又因?yàn)锳B=AC，所以AF⊥BC（到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）.

②連接FO并延長，交AD于點(diǎn)G，G就是AD的中點(diǎn).

給定的作圖工具越少，作圖的難度越大. 本題雖然只限定用無刻度的直尺完成作圖，包含的信息量不多，但考查的知識(shí)點(diǎn)非常多，主要有菱形的性質(zhì)、等腰（等邊）三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、三角形的中位線以及平行線分線段成比例，需要較強(qiáng)的綜合能力.

作圖題同圖形的性質(zhì)與判定有著緊密的聯(lián)系，不同的作圖題，其“道理”可能不盡相同，考查的內(nèi)容和方法也不相同，這就需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間觀念、幾何直觀、數(shù)學(xué)思維能力和動(dòng)手操作能力. 作圖題在落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的基礎(chǔ)上很好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，成為中考數(shù)學(xué)的必考題型. 作圖時(shí)，學(xué)生需想象通過尺規(guī)作圖操作后所形成的平面圖形的形狀，進(jìn)一步理解尺規(guī)作圖的基本原理、所涉及的知識(shí)點(diǎn)和所用到的作圖方法，從而發(fā)展動(dòng)手操作能力、空間觀念和空間想象力，以達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.