淺談概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)策略

李云娟 樊雪雙

摘 要：本文主要介紹了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中四個(gè)方面的學(xué)習(xí)策略，主要包括寫章節(jié)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖、總結(jié)概率類型、一題多解，改變題目的條件或結(jié)論同時(shí)對這四方面策略的使用進(jìn)行舉例說明。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)策略;知識(shí)結(jié)構(gòu)圖;概率題類型;一題多解

一、緒論

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性和隨機(jī)數(shù)據(jù)處理技術(shù)的數(shù)學(xué)學(xué)科[1]，其理論發(fā)展迅速，應(yīng)用也極其廣泛，這門課也是很多高校開設(shè)的核心數(shù)學(xué)課程之一，這門課程包括兩部分，其中一部分是概率論，另一部分是數(shù)理統(tǒng)計(jì)，一般大學(xué)生來到高校之后首先學(xué)習(xí)的是《高等數(shù)學(xué)》這門課，學(xué)完之后部分專業(yè)學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科的其他數(shù)學(xué)課程，概率論與梳理統(tǒng)計(jì)就是其中一門數(shù)學(xué)課程，很多學(xué)生在學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程時(shí)會(huì)繼續(xù)采用《高等數(shù)學(xué)》課程的思維方式去學(xué)習(xí)往往效果不理想，學(xué)生會(huì)感覺上課對知識(shí)的理解淺顯，老師稍微換個(gè)表達(dá)方式就不理解，對于課后作業(yè)題目能閱讀完，可是對題目的解決辦法很茫然，當(dāng)然更談不上靈活運(yùn)用，舉一反三了，久而久之，學(xué)生出現(xiàn)厭煩這門課的心理狀態(tài)，上課無法專心聽講，當(dāng)然考試成績也不理想，其實(shí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程的理論與思維方式與《高等數(shù)學(xué)》不同，《高等數(shù)學(xué)》包含的基本上更多的是一種數(shù)學(xué)理論、推理和計(jì)算，而《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》主要研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，學(xué)生經(jīng)常反應(yīng)學(xué)好《高等數(shù)學(xué)》不是很難，但是學(xué)好《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》卻是困難的，他們反映在學(xué)習(xí)這門課程時(shí)會(huì)感到力不從心，對知識(shí)的掌握不牢固，有時(shí)連題目讀懂也有困難，尤其是概率這部分，概率類型多，做概率題時(shí)不知道用哪個(gè)概率公式，理不清頭緒，考試過關(guān)率低。學(xué)生之所以出現(xiàn)這些情況并不是學(xué)生智商低，學(xué)習(xí)不努力，關(guān)鍵是學(xué)生沒有找到適合這門課程的學(xué)習(xí)策略，孫建平等人在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)策略的統(tǒng)計(jì)分析論文中采用問卷調(diào)查和考試的方法進(jìn)行調(diào)查分析，研究了學(xué)習(xí)策略對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)成績的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)策略和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)成績密切相關(guān)，學(xué)習(xí)策略對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)成績影響顯著[2]，有效的學(xué)習(xí)策略會(huì)使得學(xué)生學(xué)習(xí)效率提高，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心，使得學(xué)生喜歡上這門課程。

二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略指的是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境中，學(xué)生根據(jù)自身情況和對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)的認(rèn)識(shí)，控制數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，整合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過程[3]。

三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)策略

本文根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略以及自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)從一名教師的視角出發(fā)提出以下四種學(xué)習(xí)《概率論與梳理統(tǒng)計(jì)》的學(xué)習(xí)策略：

（一）編寫知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

知識(shí)結(jié)構(gòu)圖是指把所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整理并制成比較系統(tǒng)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖示。知識(shí)結(jié)構(gòu)的整理與展示可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生對知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的理解。概率論知識(shí)在最初幾節(jié)里主要介紹基本概念、公式，后面章節(jié)主要介紹一些事件概率的計(jì)算方法。這里內(nèi)容繁雜，如果采用編寫知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的方法對這些知識(shí)進(jìn)行梳理，可以使繁雜的知識(shí)條理化，有助于理解記憶知識(shí)點(diǎn)，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)。知識(shí)結(jié)構(gòu)圖可以是每一節(jié)的，也可以是每一章，或者是一本書的，大家可以按照書上章節(jié)大標(biāo)題及里面的小標(biāo)題編寫知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，也可以自己根據(jù)知識(shí)之間的關(guān)系按照自己的目的和要求進(jìn)行編寫。下圖是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的第一節(jié)樣本空間、隨機(jī)事件的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖（圖1）。

（二）對概率問題進(jìn)行總結(jié)歸類

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章里介紹了很多種類型概率問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)一知半解，再加上概率題類型多，學(xué)生就更容易混淆，因此在這部分內(nèi)容里面學(xué)生需要先弄清各種類型概率的定義，然后抓住其本質(zhì)特點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)歸類，可以從問題入手尋找解決辦法：

1.條件概率的適用條件

條件概率的定義：設(shè)A、B為兩事件，P（B）>0，則稱P（AB）/P（B）為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）=P（AB）P（B）如果問題中出現(xiàn)在事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生的概率可以考慮用條件概率：

例1：某批產(chǎn)品共100件，其中有8件是不合格產(chǎn)品，而8件不合格產(chǎn)品中又有5件是次品，3件是廢品，今從100件產(chǎn)品中任取一件已知抽到的是不合格品，求它是廢品的概率。

分析：問題可敘述成在抽到的產(chǎn)品為不合格產(chǎn)品的情況下是廢品的概率，所以考慮用條件概率公式。

2.乘法公式適用的條件

乘法公式定義：P（AB）=P（A）PBA（P（A）>0），根據(jù)乘法公式定義，判斷出乘法公式是求積事件的概率，因此如果問題出現(xiàn)求兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率則考慮用乘法公式

例2 某批產(chǎn)品中，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占60%，甲廠的產(chǎn)品的次品率為10%，從這批批產(chǎn)品中隨意的抽取一件，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率。

分析：問題為該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品率，即就是既要是甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品同時(shí)還要是次品，說明是兩件事同時(shí)發(fā)生，所以考慮用乘法公式。

解：A：從這批產(chǎn)品中隨意的抽取一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的

B：從這批產(chǎn)品中隨意的抽取一件產(chǎn)品是次品

3.貝努里概型公式的適用條件

如果出現(xiàn)做n次實(shí)驗(yàn)，事件A發(fā)生K次的概率則可以考慮用貝努里概型公式Pn（k）=Cknpk（1-p）n-k。

例3 某彩票每周開獎(jiǎng)一次，每一次提供十萬分之一的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，若你每周買一張彩票，盡管你堅(jiān)持十年（每年52周）之久，你從未中過一次獎(jiǎng)的概率是多少？

分析：按假設(shè)，每次中獎(jiǎng)的概率是10-5，于是每次未中獎(jiǎng)的概率是1-10-5，每周買一張彩票，堅(jiān)持十年（每年52周），十年共購買彩票520次，每次開獎(jiǎng)都是相互獨(dú)立的，從未中過一次獎(jiǎng)指中獎(jiǎng)0次，即要計(jì)算做實(shí)驗(yàn)520次，事件發(fā)生0次的概率，則可以考慮采用貝努里概型公式。

解：十年中未中過獎(jiǎng)（每次都未中獎(jiǎng)）的概率是：

（三）嘗試一題多解

一題多解可以幫助學(xué)生扎實(shí)的掌握的知識(shí)點(diǎn)，提高學(xué)生多角度、多層次分析問題的能力，進(jìn)而達(dá)到對問題的全面理解，迅速而準(zhǔn)確的解決問題的目的。下面來舉例說明：

例4 設(shè)在一個(gè)盒子里裝有10只晶體管，4只是次品，6只是正品，在其中取兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，問兩次都取到正品的概率是多少？

分析：問題為兩次都取正品的概率，說明是兩件事同時(shí)發(fā)生所以考慮用乘法公式，這就是解法1;另外這還是一個(gè)古典概型，所以也可以考慮用古典概型公式去解決，即就是解法2。

解法1：設(shè)A：第一次取到的是正品晶體管

（四）嘗試改變題目的條件或結(jié)論

學(xué)生在做《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程的練習(xí)題時(shí)可以在做完原題的基礎(chǔ)上嘗試改變題目的條件或者結(jié)論，使得原先的一道題變成多到題，然后試圖用學(xué)過的方法來解決，學(xué)生做這種被改變的題目時(shí)就需要多看書多分析知識(shí)點(diǎn)之間的差別，多注意題型的變化，學(xué)生經(jīng)常做這樣的訓(xùn)練將會(huì)對知識(shí)點(diǎn)掌握的更加牢固，解決問題方法也將更靈活。

例4：某廠生產(chǎn)一批燈泡共100只，其中有6只是不合格產(chǎn)品，而6只不合格產(chǎn)品中又有4只是次品，2只是廢品，今從100只燈泡中任取一只：

（1）求抽到的燈泡是廢品的概率。

（2）已知抽到的燈泡是不合格品，求它是廢品的概率。

此題一共有兩問，第一問是古典概型可用古典概型公式，第一問可改成下面的題目抽到的是次品的概率，還可改成抽到的是合格品的概率是多少，改變之后的兩道題也是采用古典概型公式就可以解決的，這樣一道題就可以改編成2道題目，而且學(xué)生對于古典概型掌握的將更加熟練;第二問采用條件概率公式，該題改編成已知抽到的燈泡是不合格品，求它是次品的概率，改變之后也可以采用條件概率公式。

四、結(jié)語

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程在大學(xué)里是一門較難掌握的科目，本文介紹了這門課程的四個(gè)方面的學(xué)習(xí)策略，分別是編寫思維導(dǎo)圖，總結(jié)歸類，一題多解和嘗試改變題目的條件和結(jié)論，同時(shí)本文還通過進(jìn)行舉例和分析來說明這四個(gè)策略的具體使用方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]黎協(xié)銳，譚偉明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).航空工業(yè)出版社，2017.

[2]孫建平，呂效國，陸利平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)策略的統(tǒng)計(jì)分析.高師理科學(xué)刊，2011.

[3]白雪.高一學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的調(diào)查研究——以阜新市H和S高中為例[D].沈陽師范大學(xué)，2017.

項(xiàng)目：感謝西安思源學(xué)院2020年精品在線開放課程校級(jí)項(xiàng)目概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的支持