“三角函數(shù)”與“圓”的不解之緣

陸乘軍

三角函數(shù)與三角形有著密不可分的聯(lián)系，可你知道三角學(xué)與圓之間也有著非同一般的關(guān)系嗎？下面我們就一起來(lái)了解它們的“緣分”。

“三角學(xué)”一詞源于希臘文“三角形”和“測(cè)量”兩詞的組合，原意為三角形的測(cè)量（或解三角形），以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ)，達(dá)到測(cè)量上的應(yīng)用為目的。早期人們研究三角學(xué)是為了確定航海路線和天文觀測(cè)等，所以最先發(fā)展的其實(shí)是球面三角形的理論，通常借助圓來(lái)研究，將三角函數(shù)定義為圓內(nèi)某一線段的長(zhǎng)。到了18世紀(jì)后半葉，著名數(shù)學(xué)家歐拉令圓的半徑為單位1，將三角函數(shù)定義為相應(yīng)線段與圓半徑之比，這使得三角學(xué)在理論和實(shí)際應(yīng)用方面大大前進(jìn)了一步。如在圖1所示單位圓（以原點(diǎn)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑的圓）中，∠α的兩邊交⊙O 于A、P 兩點(diǎn)，AD、BP 均與x 軸垂直，PC 與y 軸垂直，則sinα為BP1 =BP，也就是圓中一條弦的一半，曾譯為“正半弦”，后稱“正弦”。類似的，cosα 為OB，而OB=CP，故也可將cosα視為∠COP 的正弦值，也就是∠α的余角的正弦值，稱之為余弦。tanα則為與圓相切的AD，稱為“正切”。正因?yàn)槿呛瘮?shù)的研究曾長(zhǎng)期在圓內(nèi)進(jìn)行，所以三角函數(shù)也叫作圓函數(shù)。事實(shí)上，三角函數(shù)還有很多種，只不過(guò)初中階段我們只研究最常用的三種。

除了在定義方面與圓有著不解之緣，三角函數(shù)還有很多與圓有關(guān)的性質(zhì)。我們繼續(xù)來(lái)研究。

如圖1，可得cosα =OB=CP=sin∠COP=sin（90°-α），即一個(gè)銳角的余弦等于這個(gè)角的余角的正弦。類似的，sinα=cos（90°-α），即一個(gè)銳角的正弦等于這個(gè)角的余角的余弦。

如圖2，若△ABC 外接圓O 的半徑為R，∠A、∠B、∠C 所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有

，這是高中階段會(huì)學(xué)到的正弦定理。

（作者單位：江蘇省泰州市大泗學(xué)校）