球狀物體作微形變時(shí)彈性勢(shì)能的研究

于鳳軍, 湯振杰，田俊龍，張希威

(安陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，河南 安陽(yáng) 455000)

1 一般情況下的彈性勢(shì)能密度

一般情況下, 應(yīng)變和應(yīng)力都用張量[2]描述, 在直角坐標(biāo)系Oxyz中, 設(shè)應(yīng)變張量的各分量為exx,exy,exz,eyx=exy,eyy,eyz,ezx=exz,ezy=eyz,ezz; 應(yīng)力張量的各分量為:σxx,σxy,σxz,σyx=σxy,σyy,σyz,σzx=σxz,σzy=σyz,σzz. 由文獻(xiàn)[2]式(12.5-3)可知, 當(dāng)應(yīng)變張量的各分量改變?chǔ)膃ij(i,j=x,y,z)時(shí)，應(yīng)變能密度w的增量為

δw=σxxδexx+σyyδeyy+σzzδezz+

2σxyδexy+2σyzδeyz+2σzxδezx

(1)

文獻(xiàn)[2]式(12.6-7)給出各向同性的均勻彈性體的胡克定律：

(2)

(3)

由于本文所研究的系統(tǒng)不可壓縮, 即無(wú)體積膨脹, 故上式中的相對(duì)體膨脹為

θ′=exx+eyy+ezz=0

(4)

對(duì)于球體, 取球坐標(biāo)系(r,θ,φ)更方便, 應(yīng)變張量的分量為err,erθ,erφ,eθr=erθ,eθθ,eθφ,eφr=erφ,eφθ=eθφ,eφφ.考慮式(4), 將式(3)變換到球坐標(biāo)系, 得彈性勢(shì)能密度

(5)

當(dāng)應(yīng)變張量eij(i,j=r,θ,φ)已知時(shí)，通過(guò)上式在球內(nèi)進(jìn)行積分，就可得到彈性勢(shì)能.

2 彈性球的形變描述

圖1 彈性球形變?yōu)殚L(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球

(x2+y2)/b2+z2/a2=1

(6)

將x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ代入上式得

(7)

由于e<<1，將上式展開(kāi), 僅保e的最低次項(xiàng)

(8)

上式是橢球表面在球坐標(biāo)系中的方程, 其中P2(cosθ)是勒讓德函數(shù).

當(dāng)彈性球表面形變?yōu)闄E球表面時(shí), 其體內(nèi)每一點(diǎn)將離開(kāi)原來(lái)的位置產(chǎn)生微小位移. 設(shè)點(diǎn)(r,θ,φ)處質(zhì)點(diǎn)的位移為

S(r,θ,φ)=Srer+Sθeθ+Sφeφ

(9)

其中,er,eθ,eφ分別是徑向、經(jīng)線(xiàn)切向、緯線(xiàn)切向的單位向量,Sr、Sθ、Sφ分別是位移沿er,eθ,eφ方向的分量，它們都是點(diǎn)的坐標(biāo)(r,θ,φ)的函數(shù). 根據(jù)文獻(xiàn)[3]式(13.5.14)知, 應(yīng)變張量分量與位移分量的關(guān)系為

(10)

式(8)、式(9)、式(10)構(gòu)成對(duì)彈性球形變的描述. 如果知道位移分量Sr、Sθ、Sφ的具體函數(shù)式, 則通過(guò)式(10)可以確定應(yīng)變張量，再由式(5)和體積分計(jì)算, 求彈性勢(shì)能.

3 位移分量Sr、Sθ、Sφ函數(shù)式的確定

由于彈性球沿z方向拉長(zhǎng)為長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球, z方向處于er、eθ構(gòu)成的平面內(nèi), 故體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的位移可能有er、eθ方向的分量, 不可能有eφ方向的分量, 即Sφ=0. 因?yàn)闄E球具有繞z軸的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性, 所以Sr、Sθ與φ無(wú)關(guān), 僅是r、θ的函數(shù),故設(shè)Sr=u(r)f(θ),Sθ=v(r)g(θ),其中u(r)、f(θ)、v(r)、g(θ)是待定函數(shù). 綜上所述, 位移分量可表示為

(11)

本問(wèn)題的邊界條件是: 球面上各質(zhì)點(diǎn)的徑向位移使球面變成由式(8)決定的橢球面, 各點(diǎn)的切應(yīng)力和切應(yīng)變?yōu)?, 即erθ|r=R=0. 此外, 還受到不可壓縮條件(4)的約束, 并且位移為有限值. 下邊利用這些條件求待定函數(shù).

根據(jù)式(8), 球面上質(zhì)點(diǎn)的徑向位移條件、即邊界條件為

(12)

令式(11)第一式中r=R, 并與式(12)對(duì)比，得

(13)

f(θ)=P2(cosθ)

(14)

故Sr=u(r)P2(cosθ). 將此表達(dá)式和Sθ=v(r)g(θ)代入式(10)第四式運(yùn)算，將得到erθ的表達(dá)式(注:下邊所有復(fù)雜的公式推導(dǎo)皆由Mathematica軟件完成)，然后再利用邊界條件erθ|r=R=0，得

(15)

由上式可得,g(θ)=Kcosθsinθ, 其中

(16)

為常數(shù). 將式(14)、上述g(θ)代入式(11)得

(17)

在球坐標(biāo)系中, 不可壓縮條件(4)可變換作:

err+eθθ+eφφ=0

(18)

把式(17)分別代入式(10)的前三式后, 一并代入式(18)化簡(jiǎn), 有如下結(jié)果:

(19)

由于上式中因子(1+3cos 2θ)不恒等于0, 故有2u(r)+2Kv(r)+ru′(r)=0, 即

(20)

根據(jù)上式和式(17), 位移分量表示為

(21)

至此, 位移分量函數(shù)式(21)中僅剩一個(gè)待定函數(shù)u(r).u(r)的一個(gè)邊值條件為式(13), 另一邊值條件可由式(20)先確定出v(R)、v′(R)，再代入式(16)得到

R2u″(R)+2Ru′(R)+4u(R)=0

(22)

下面由最小勢(shì)能原理確定u(r)滿(mǎn)足的微分方程. 將式(21)代入式(10), 式(10)再代入式(5), 并在整個(gè)球內(nèi)積分, 可得彈性勢(shì)能:

26r2u′2+32ruu′+32u2]dr

(23)

顯然,W的大小與u的函數(shù)形式有關(guān). 根據(jù)最小勢(shì)能原理, 當(dāng)一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)平衡時(shí), 勢(shì)能取最小值. 因此，現(xiàn)在的問(wèn)題是上式中當(dāng)u取何種函數(shù)形式時(shí)能使W最小,W的最小值是什么. 這是一個(gè)泛函的極值問(wèn)題[4]. 令

26r2u′2+32ruu′+32u2

(24)

將上式代入歐拉方程[4]:

(25)

可得u(r)滿(mǎn)足的方程:

r4u″″2+8r3u′″-24ru′+24u=0

(26)

上式是歐拉型常微分方程, 對(duì)其有現(xiàn)成的解法[5], 其特征方程為

γ(γ-1)(γ-2)(γ-3)+8γ(γ-1)(γ-2)-

24γ+24=0

(27)

這是一個(gè)一元4次方程, 容易驗(yàn)證，γ的4個(gè)根為: -4,-2,+1,+3. 故u(r)的通解為

u(r)=Ar-4+Br-2+Cr+1+Dr+3

(28)

其中,A、B、C、D是待定常數(shù). 當(dāng)r=0時(shí)u(r)有限, 所以A=B=0. 據(jù)此, 將式(28)分別代入邊值條件(13)、(22)，得二元一次方程組:

(29)

解得:C=8e2/15,D=-e2/(5R3). 故由式(28)得

(30)

把上式代入式(21), 可得位移分量函數(shù)式的最終結(jié)果

(31)

4 彈性勢(shì)能的計(jì)算結(jié)果

將式(30)代入式(23)運(yùn)算, 可得彈性勢(shì)能

(32)

其中,V=4πR3/3為球體積.

5 討論

1) 與直桿的彈性勢(shì)能對(duì)比. 式(32)表明, 當(dāng)彈性球形變?yōu)殚L(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球時(shí), 其彈性勢(shì)能與變形參數(shù)——橢球偏心率e的4次方成正比, 與彈性模量和體積成正比. 我們將這一結(jié)果與直桿的彈性勢(shì)能作個(gè)對(duì)比. 令式(8)中θ=0, 可得彈性球在z方向的半徑相對(duì)變化:(r-R)/R=e2/3, 這也是直徑沿z方向的相對(duì)變化Δd/d=e2/3, 即e2=3Δd/d. 另外, 切變模量與楊氏模量關(guān)系為μ=G=E/(1+ν)/2. 將上二式代入式(32)

(33)

2) 彈性勢(shì)能分布.將式(31)代入式(10), 式(10)再代入式(5), 可得勢(shì)能密度與點(diǎn)坐標(biāo)(r,θ,φ)的關(guān)系:

24r2(7r2-8R)cos 2θ+9r4cos 4θ]

(34)

根據(jù)上式能夠了解勢(shì)能密度沿徑向的變化情況. 如圖2，設(shè)原點(diǎn)的勢(shì)能密度為wo，以比值r/R為橫軸，以比值w/wo為縱軸， 分別作出θ沿0°、45°、90° 3個(gè)方向上w/wo隨r/R的變化曲線(xiàn). 圖中3條曲線(xiàn)自下而上分別對(duì)應(yīng)0°、45°、90°. 顯然, 橢球中心的勢(shì)能密度最大.大體上講, 距中心越遠(yuǎn), 勢(shì)能密度越小.這一特點(diǎn)也可以通過(guò)“等勢(shì)能密度線(xiàn)”圖看出. 圖3給出了通過(guò)z軸的任一剖面內(nèi)的“等勢(shì)能密度線(xiàn)”圖,圖中亮度與w成正比. 可以看出, 中心的亮度最高,w最大；偏離中心越遠(yuǎn), 亮度越低，w越小.等密度線(xiàn)近似是橢圓, 其長(zhǎng)軸垂直于z軸, 這意味著“等勢(shì)能密度面”近似為繞z軸的扁旋轉(zhuǎn)橢球面.

圖2 勢(shì)能密度隨徑向的相對(duì)變化

圖3 等勢(shì)能密度線(xiàn)

結(jié)語(yǔ)：以上求出一個(gè)彈性球形變?yōu)殚L(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球時(shí)的彈性勢(shì)能或應(yīng)變能. 首先, 通過(guò)應(yīng)變能密度增量公式和胡克定律，導(dǎo)出應(yīng)變能密度與應(yīng)變張量的關(guān)系式(3)，利用標(biāo)準(zhǔn)橢球方程導(dǎo)出彈性球在保持體積不變的前提下形變的幾何描述式(8)；然后，通過(guò)一個(gè)原理、六個(gè)條件確定出位移函數(shù)式(31), 它們分別是最小勢(shì)能原理、橢球沿z方向拉長(zhǎng)條件、繞z軸的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)條件、球面上各質(zhì)點(diǎn)的徑向位移條件、球面上各點(diǎn)的切應(yīng)力切應(yīng)變?yōu)?條件、不可壓縮條件、位移有限條件. 最后通過(guò)彈性勢(shì)能密度與應(yīng)變張量的關(guān)系、應(yīng)變張量與位移分量的關(guān)系和體積分，得到本文想要的結(jié)果，并且進(jìn)行了有益的討論. 本文以闡述物理定律、物理原理和物理?xiàng)l件的如何應(yīng)用為主線(xiàn)，對(duì)于數(shù)學(xué)部分，由于運(yùn)算工作量很大，對(duì)求偏微分、多重積分、化簡(jiǎn)等，都使用Mathematica軟件完成. 因此，本文不僅能作為彈性勢(shì)能方面的教學(xué)案例，也可作為學(xué)生學(xué)習(xí)Mathematica軟件的實(shí)踐素材.