• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    用松弛法解薛定諤方程

    2021-03-15 08:26:36劉觀福
    大學物理 2021年3期
    關鍵詞:諧振子勢阱薛定諤

    劉觀福,余 聰

    (中山大學 物理與天文學院,廣東 珠海 519082)

    在經(jīng)典情況下,最重要的常微分方程是牛頓第二定律的方程.在量子情況下,最重要的方程的是薛定諤方程.除了一些比較的簡單的情況,這兩個常微分方程通常難以找到解析解的,必須用數(shù)值解法,通過數(shù)值解來分析.一般情況下,牛頓第二定律的方程和薛定諤方程在數(shù)值解法上是有區(qū)別的.從已知的條件來說,對于經(jīng)典情況的物體,它的初始位置、初始速度以及各處的加速度是明確的,解它對應的牛頓第二定律方程是一個初值問題;而對量子情況下的粒子,一般只明確它在邊界上的概率幅函數(shù)的值,對應的薛定諤方程是一個邊值問題.從最終數(shù)值解法的結果來說,牛頓第二定律方程一般只有一個解,薛定諤方程往往有無數(shù)個解.

    1 打靶法和松弛法的區(qū)別

    常微分方程的數(shù)值解法的思想是將微分方程改寫成有限差分方程[1-8].打靶法和松弛法都是采用了這一思想.它們的區(qū)別在于如何去處理邊界條件.物理中很常見的情況是知道初始點和終點的函數(shù)值,對于一維無限深勢阱情況下的概率幅函數(shù),在兩個邊界上的概率幅函數(shù)值是0[2].打靶法的基礎是龍格庫塔方法,需要得到一個邊界點上的函數(shù)值和函數(shù)的導數(shù)值.在導數(shù)值不知道的情況下,采取的解決辦法是在一定范圍內猜測導數(shù)值,從初始位置邊界點開始計算,計算到終止位置邊界點,然后比較終止位置邊界點計算的函數(shù)值和預期值,如果計算值和預期值在誤差允許范圍內,就結束計算,反之,就重新猜測初始位置的導數(shù)值,重新計算,直到符合誤差允許范圍.這個過程和打靶射擊是極其相似的,所以也被稱為“打靶法”[1,8].而松弛法是一開始猜測在要計算的區(qū)間內猜測函數(shù)值和導數(shù)值,然后根據(jù)差分方程和邊界值來計算偏差值,偏差值符合要求就結束計算,反之減去偏差值,再次計算偏差值,直到迭代出符合要求的解.這個過程就像一個繃緊的橡皮筋,一步步地松弛到最理想的狀態(tài),所以稱為“松弛法”.打靶法是把一個邊界當成計算結果是否符合要求的判據(jù),在一次計算過程中,這個邊界是不起作用的,只在一次計算完成后用來判斷這次計算是否符合要求;松弛法是在每次迭代中都要用到所有邊界條件來計算偏差.從這層面上來理解,松弛法更有效地利用了邊界條件,計算速度會更快.實際上,打靶法猜測初始的導數(shù)值會在根本上影響一次計算出來的結果,就像打靶的時候,初始的射擊角度決定了最終擊中的位置,所以需要反復多次的去調整,才能得到符合要求的結果,所以需要的計算時間長;而松弛法,雖然也要猜測初始值,但是初始值猜測不夠準確,還可以通過迭代修正,就像一個橡皮筋,初始繃得很緊,但是可以在后面一步步松弛到理想狀態(tài),所以需要的計算時間短.

    2 松弛法的計算原理

    2.1 基本算法

    考慮N個相互耦合的一階常微分方程,一個N階常微分方程可以轉換為N個一階常微分方程.對于一個一般的一階常微分方程:

    (1)

    將要計算的區(qū)間均勻分成M-1份,得到包括邊界點在內的M個格點,每個格點用k來區(qū)分,然后將常微分方程改寫成有限差分方程:

    (2)

    考慮到有N個待求的未知函數(shù),定義有限差分方程的誤差函數(shù)為

    Ek≡yk-yk-1-(xk-xk-1)g(xk,xk-1,yk,yk-1),

    (k=2,3,...,M)

    (3)

    上面由于N個未知函數(shù)耦合在一起,所以式(2)中的y要改成N維向量.注意到上面的誤差函數(shù)只是中間點的誤差函數(shù),這表示中間點和有限差分方程的偏差.下面定義邊界點的誤差函數(shù).

    設初始位置有n1個邊界條件,則初始位置邊界的誤差函數(shù):

    E1=B(x1,y1)

    (4)

    終止位置有N-n1個邊界條件,則終止位置邊界的誤差函數(shù):

    EM+1=C(x1,yM)

    (5)

    這里N個邊界條件不集中在一個邊界上,因為如果集中在一個邊界上,那么直接用龍格庫塔方法就可以求解,不需要打靶法和松弛法.

    到這里,我們可以由式(3)~(5)計算出每一次迭代的N個函數(shù)在M個點的函數(shù)值和邊界條件以及有限差分方程的誤差.接下來需要建立誤差函數(shù)和每一次迭代的函數(shù)修正量Δy直接的關系.公式里面

    (6)

    所以每一個xk是確定的,誤差函數(shù)Ek只是yk的函數(shù).修正之后的誤差函數(shù)Ek:

    Ek(yk+Δyk,yk-1+Δyk-1)≈Ek(yk,yk-1)+

    (k=1,3,...,M+1)

    (7)

    我們希望修正之后的Ek(yk+Δyk,yk-1+Δyk-1)等于0,所以得到

    (k=1,2,...,M+1)

    (8)

    把式(8)改寫成矩陣形式,約等號改為等于號,則

    (j=1,2,...,N),(k=1,2,...,M+1),

    (9)

    每一次迭代都用式(9)計算出修正量Δy,得到y(tǒng)+Δy,然后再將誤差函數(shù)和設定的精度比較,不符合要求,就再次計算修正量Δy,繼續(xù)迭代,直到符合精度要求.

    2.2 整體的相對誤差、誤差范數(shù)、校正參數(shù)

    在1.1中介紹了基本迭代方法.下面介紹誤差控制的方法.定義整體的相對誤差err

    (10)

    式(10)的scalv(j),(j=1,2,...N)稱之為誤差范數(shù)[1,8].誤差范數(shù)是事先給定的,用來大致描述N個不同的待求解的函數(shù)的量級.因為N個不同的待求解函數(shù)有各自量級,對應的|Δyj,k|量級也不一樣,單純把它們加起來,會導致量級大的函數(shù)占主導,而量級小的函數(shù)的收斂性差.除以各自的誤差范數(shù)相當于把各個待求解的函數(shù)的相對誤差加起來了,然后再除以個數(shù),得到相對誤差的平均值err,稱之為整體的相對誤差.計算的時候期望err符合精度要求,符合精度要求就停止計算,返回函數(shù)值.

    在迭代的過程中,1.1中提及的將y+Δy去代替y,這里引入校正參數(shù)slowc[1,8]:

    (11)

    當整體的相對誤差err比較大的時候,迭代的時候就用修正量Δy的一部分加上y,得到迭代后的y,整體的相對誤差小的時候,就用修正量Δy加上y,得到迭代后的y.這個也不難理解:向上緊繃的橡皮筋在松弛的過程中可能瞬間變成向下的緊繃狀態(tài),在松弛的過程中出現(xiàn)了修正過量的情況,出現(xiàn)這種情況,我們需要削減修正量.

    3 無限深勢阱下的薛定諤方程

    3.1 薛定諤方程

    無限深勢阱的邊界如圖1所示.

    圖1 無限深勢阱的勢能圖

    對應的薛定諤方程

    (12)

    勢能函數(shù)

    (13)

    所以ψ(x)滿足

    (14)

    所以計算的區(qū)間是[-1,1],邊界條件是-1和+1處ψ(x)=0.除此之外,還要滿足歸一化條件

    (15)

    3.2 誤差函數(shù)

    為了方便敘述,引入3個函數(shù):

    (16)

    這3個函數(shù)滿足

    (17)

    邊界條件

    (18)

    這里面把ψ(x)在+1處的導數(shù)值設定為5,這里是為了計算的方便.式(15)不方便寫出誤差函數(shù).同時因為式(15)是用來限制ψ(x)的范圍,這個條件改成ψ′(1)=5,在計算結果上只是把ψ(x)變成了cψ(x)(c是一個常數(shù)).只需要最后再把計算出來的cψ(x)乘以c的倒數(shù)就得到了ψ(x).在后文的計算結果的展示中,未做乘以c的倒數(shù)這一步操作.和前文保持一致,將區(qū)間[-1,1]分成包括邊界在內的M個計算格點.

    中間M-2個格點的誤差函數(shù):

    (19)

    對應的矩陣S的元素:

    (20)

    (21)

    (22)

    邊界點x=-1處的誤差函數(shù):

    E3,1=y1,1

    (23)

    對應的矩陣S的元素:

    S3,4=1,S3,5=0,S3,6=0

    (24)

    邊界點x=1處的誤差函數(shù):

    (25)

    對應的矩陣S的元素:

    (26)

    3.3 理論分析

    由式(16)~(18),不難得到未歸一化后的理論解(沒有乘以c的倒數(shù)的理論解,概率幅平方積分不是1)

    (27)

    3.4 理論和計算的對比

    就像橡皮筋松弛之后的狀態(tài)依賴于初始緊繃的狀態(tài)一樣,松弛法計算的結果依賴于初始值的設定.一般來說,松弛法計算的結果和初始值之間的關系是不明顯的.但是對應無限深勢阱的薛定諤方程,還是有一定的規(guī)律可循.在不做任何理論解分析的情況下,可以先隨機猜測一個邊界處ψ(x)的導數(shù)值,然后用龍格-庫塔法去計算[1],雖然這種計算往往不能滿足另一個邊界的條件,但是從ψ(x)的圖像上可以發(fā)現(xiàn),ψ(x)具有很好的周期性,甚至可以進一步猜測是正弦函數(shù).這里,猜測ψ(x)和ψ′(x)的初始值是方波型函數(shù).k2的初始猜測值是一個正數(shù)即可.方波函數(shù)的周期滿足

    (28)

    下面是計算情況的展示,如圖2~10所示.計算時設定的整體的相對誤差err是5×10-5,也就是說最終計算結果滿足err≤5×10-5.計算的時候用的是Fortran語言,畫圖用的是Python語言,圖上Fortran語言的線是數(shù)值計算的結果.圖4中k2的理論解和數(shù)值解十分接近,圖上的縱坐標的單位長度是10-8.圖片上看上去符合得不好,實際上精度很高,后面的圖7和10也是同理.

    圖2 ψ(x)的初始猜測值和計算結果對比

    圖3 ψ′(x)的初始猜測值和計算結果對比

    圖4 k2的初始猜測值和計算結果對比

    圖5 ψ(x)的初始猜測值和計算結果對比

    圖6 ψ′(x)的初始猜測值和計算結果對比

    當n=1,T=4時:

    圖7 k2的初始猜測值和計算結果對比

    當n=2,T=2時:

    圖8 ψ(x)的初始猜測值和計算結果對比

    圖9 ψ′(x)的初始猜測值和計算結果對比

    圖10 k2的初始猜測值和計算結果對比

    4 諧振子勢下的薛定諤方程

    4.1 薛定諤方程

    諧振子勢如圖11所示.

    圖11 無限深勢阱的勢能圖

    勢能函數(shù):

    (29)

    一般會做如下代換[4]:

    (30)

    所以ψ(ξ)滿足

    (31)

    計算機計算的區(qū)間不能是[-∞,+∞]這里面計算的區(qū)間取為[-10,10],即邊界條件是-10和+10處ψ(ξ)=0.同前文,將歸一化條件改為

    ψ′(ξ)=-24

    (32)

    4.2 理論和計算的對比

    結果如圖12—圖14所示.

    圖12 ψ(x)的初始猜測值和計算結果對比

    圖13 ψ′(x)的初始猜測值和計算結果對比

    圖14 λ-ξ2的初始猜測值和計算結果對比

    5 計算結果評估

    5.1 初始猜測值和最終結果之間的關系

    從前面的圖可以看出:在無限深勢阱的情況下:初始猜測值和最后的數(shù)值解具有相同的周期性.猜測的方波函數(shù)和計算出來的圖像的周期性一致.這可以從傅立葉變換的角度來理解,方波函數(shù)傅立葉變換后,主要成分是和它周期一致的正弦函數(shù),最后計算也收斂到這個正弦函數(shù).

    5.2 計算結果的精確度

    從圖12—圖14上看,計算結果和理論結果符合得較好,沒有太大的誤差.計算使用的程序設定的整體相對誤差要求是err≤5×10-5.這也說明計算的結果誤差較小.

    5.3 計算耗時

    區(qū)間分為4500個格點,一次編譯加運行的耗時需要5秒左右,耗時較少.

    6 和其它方法的對比

    如表1所示.

    表1 各種情況下松弛法和其他方法的對比

    6.1 無限或有限深勢阱的情況

    無限或有限深勢阱的情況比較簡單.無限深勢阱下的薛定諤方程最后歸結為解二階常系數(shù)齊次線性微分方程.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩種基礎解系是指數(shù)型函數(shù)(正弦和余弦函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)表示)[3].解出這個方程的一般形式的解,然后再令這個解符合邊界條件,就解出了這種情況下的薛定諤方程[2].

    和松弛法對比起來,直接去解這個微分方程的優(yōu)勢在于不需要太大的計算量,同時解完后這個微分方程的所有解都出來了.對于松弛法來說,通過簡單地修改初始猜測值,通過計算機計算,可以很快拿到幾個該微分方程的解,然后通過畫圖,可以很快地對這個方程的解畫圖,得到解的性質.無論是從高校教師教學的角度,還是大學生學習的角度,將這兩種方法結合起來可以加深對薛定諤方程的理解,也可以更好地學習數(shù)值方法.

    6.2 諧振子勢的情況

    諧振子勢的情況比無限深勢阱的情況更加復雜.諧振子勢的情況下的薛定諤方程是二階變系數(shù)線性微分方程,無限深勢阱的是二階常系數(shù)線性微分方程[3].解諧振子勢的薛定諤方程方法,筆者目前知道的有:一種是先分析漸近行為,得到漸近行為情況下的解,然后一般情況的解先猜測是漸近解乘以一個多項式,代回薛定諤方程里面,比較兩邊的系數(shù),得到多項式的具體形式[4];另一種是通過構造哈密頓量與諧振子系統(tǒng)哈密頓量對易的超對稱系統(tǒng),量子諧振子的性質就可以通過對超對稱系統(tǒng)的研究來得到[5,7].這兩種方法本質上都是利用了級數(shù)展開的思想,通過繁瑣代數(shù)運算得到解.

    從無限深勢阱到諧振子勢,在代數(shù)上是兩種不同的問題,在解法上也很不一樣,運算的繁瑣程度大幅度提高了.而從無限深勢阱到諧振子勢,對于松弛法來說,只需要稍微改一下計算無限深勢阱時輸入的系數(shù)矩陣參數(shù),就可以計算諧振子勢的薛定諤方程的解.這個角度來說,松弛法對不同勢能情況下的薛定諤方程的適用性更強.

    6.3 更復雜勢能的情況

    在勢能函數(shù)更加復雜的情況下,代數(shù)方法已經(jīng)很難得到準確解.即使得到了準確解,準確解的形式往往很復雜,不容易去分析準確解的增減性、周期性等等的性質.而實際應用中,并不是一定需要得到準確解,往往只需要得到一個符合要求的精確解.對符合要求的精確解進行分析就可以滿足需要.這時候,松弛法就顯得尤為重要.因為解簡單勢能問題的松弛法的代碼,稍微加以修改初始猜測值、計算區(qū)間、誤差函數(shù)等等參數(shù),就可以用來解更復雜勢能下的問題.所以松弛法具有比代數(shù)方法更強的適用性.

    猜你喜歡
    諧振子勢阱薛定諤
    含有陡峭勢阱和凹凸非線性項的Kirchhoff型問題的多重正解
    分數(shù)階量子力學下的二維無限深方勢阱
    擬相對論薛定諤方程基態(tài)解的存在性與爆破行為
    Chern-Simons-Higgs薛定諤方程組解的存在性
    時空分數(shù)階量子力學下的δ勢阱
    對稱三勢阱玻色—愛因斯坦凝聚體的非線性效應
    諧振子支柱偏心誤差對諧振子振動特性影響分析(英文)
    一類相對非線性薛定諤方程解的存在性
    薛定諤的餡
    幽默大師(2019年6期)2019-01-14 10:38:13
    三維各向異性耦合諧振子體系的非形式性嚴格波函數(shù)
    黄色视频不卡| 黄色a级毛片大全视频| 在线观看免费午夜福利视频| 国产av又大| 视频在线观看一区二区三区| 高清黄色对白视频在线免费看| 精品人妻在线不人妻| 日韩欧美一区视频在线观看| 在线观看免费视频网站a站| 99re在线观看精品视频| 美女午夜性视频免费| 他把我摸到了高潮在线观看| 国产欧美日韩精品亚洲av| 亚洲人成77777在线视频| 欧美日韩乱码在线| 亚洲性夜色夜夜综合| 一级片免费观看大全| 高清黄色对白视频在线免费看| 国产精品日韩av在线免费观看 | 成人特级黄色片久久久久久久| √禁漫天堂资源中文www| 国产精品久久视频播放| 亚洲男人天堂网一区| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 国产亚洲欧美在线一区二区| 91成年电影在线观看| 国产有黄有色有爽视频| 国产亚洲精品久久久久5区| 黄色视频,在线免费观看| 极品教师在线免费播放| 露出奶头的视频| 啪啪无遮挡十八禁网站| 又大又爽又粗| 欧美色视频一区免费| 性少妇av在线| 国产亚洲欧美精品永久| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 在线播放国产精品三级| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 淫妇啪啪啪对白视频| 午夜免费鲁丝| 美女福利国产在线| 中文字幕av电影在线播放| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 超碰成人久久| 亚洲三区欧美一区| 精品一区二区三区视频在线观看免费 | 国产黄色免费在线视频| 波多野结衣一区麻豆| 国产极品粉嫩免费观看在线| 在线观看免费午夜福利视频| 成人亚洲精品av一区二区 | 亚洲片人在线观看| 亚洲一区二区三区色噜噜 | 亚洲欧美日韩另类电影网站| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 老司机靠b影院| ponron亚洲| 麻豆成人av在线观看| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 好男人电影高清在线观看| 一二三四在线观看免费中文在| 国产精品一区二区精品视频观看| 亚洲精品成人av观看孕妇| 久久精品国产综合久久久| 国产熟女xx| 国产乱人伦免费视频| 少妇粗大呻吟视频| 色在线成人网| 精品国产一区二区三区四区第35| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 欧美av亚洲av综合av国产av| 亚洲欧美激情在线| 亚洲美女黄片视频| 他把我摸到了高潮在线观看| 久久中文看片网| 国产精品爽爽va在线观看网站 | 国产aⅴ精品一区二区三区波| 在线播放国产精品三级| 高清在线国产一区| 欧美久久黑人一区二区| 啦啦啦在线免费观看视频4| 中文字幕高清在线视频| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 免费在线观看影片大全网站| 亚洲精品一区av在线观看| 国产高清激情床上av| 国产午夜精品久久久久久| 久久99一区二区三区| 在线观看日韩欧美| 两人在一起打扑克的视频| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 久久国产亚洲av麻豆专区| www日本在线高清视频| 中文亚洲av片在线观看爽| 久久人人97超碰香蕉20202| 丝袜在线中文字幕| 欧美日本亚洲视频在线播放| 1024香蕉在线观看| 国产三级黄色录像| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 日韩人妻精品一区2区三区| 午夜老司机福利片| 首页视频小说图片口味搜索| 丰满迷人的少妇在线观看| 丝袜美足系列| 中文亚洲av片在线观看爽| 日韩欧美国产一区二区入口| 欧美在线黄色| 欧美黄色片欧美黄色片| 露出奶头的视频| av网站免费在线观看视频| 日韩有码中文字幕| 欧美一级毛片孕妇| 伦理电影免费视频| 一本综合久久免费| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 在线视频色国产色| 亚洲精品一二三| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 嫁个100分男人电影在线观看| 欧美黄色淫秽网站| 国产激情久久老熟女| 亚洲精品久久午夜乱码| 欧美乱码精品一区二区三区| 一级a爱视频在线免费观看| 韩国精品一区二区三区| 日韩欧美一区视频在线观看| 一个人免费在线观看的高清视频| 亚洲一区二区三区欧美精品| 久久久国产成人免费| 老司机福利观看| 精品国产乱子伦一区二区三区| 国产精品久久久久成人av| 超碰97精品在线观看| 丁香欧美五月| 一二三四社区在线视频社区8| 在线看a的网站| 欧美日韩福利视频一区二区| 精品久久蜜臀av无| 中文字幕av电影在线播放| 欧美激情久久久久久爽电影 | 日韩国内少妇激情av| 亚洲精品国产区一区二| 国产又色又爽无遮挡免费看| 香蕉丝袜av| 麻豆国产av国片精品| 校园春色视频在线观看| 亚洲色图综合在线观看| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 精品熟女少妇八av免费久了| www.熟女人妻精品国产| 久久热在线av| 又黄又粗又硬又大视频| 国产视频一区二区在线看| 国产精品久久久av美女十八| 日本精品一区二区三区蜜桃| 日本黄色日本黄色录像| 51午夜福利影视在线观看| 国产成人精品久久二区二区91| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 中出人妻视频一区二区| 久久国产亚洲av麻豆专区| 国产精品亚洲一级av第二区| 一a级毛片在线观看| 亚洲人成77777在线视频| 亚洲五月天丁香| 久久草成人影院| 看黄色毛片网站| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 黄色女人牲交| 亚洲精华国产精华精| 久久草成人影院| 麻豆一二三区av精品| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 天天影视国产精品| 女性生殖器流出的白浆| 亚洲一区二区三区欧美精品| 中出人妻视频一区二区| 色综合婷婷激情| 丰满饥渴人妻一区二区三| 精品一区二区三卡| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 午夜日韩欧美国产| 天堂俺去俺来也www色官网| 精品一区二区三卡| 国产午夜精品久久久久久| 亚洲人成电影观看| 91麻豆av在线| 久久久久久久久中文| 一区二区三区激情视频| 在线观看免费视频网站a站| 午夜亚洲福利在线播放| aaaaa片日本免费| 久久热在线av| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 在线视频色国产色| 国产一区二区三区在线臀色熟女 | 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 波多野结衣高清无吗| 国产成年人精品一区二区 | 又黄又爽又免费观看的视频| 91成人精品电影| 午夜福利在线免费观看网站| tocl精华| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 久久亚洲精品不卡| 18禁美女被吸乳视频| 欧美日韩福利视频一区二区| 欧美大码av| 水蜜桃什么品种好| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 亚洲av电影在线进入| 制服诱惑二区| 男女高潮啪啪啪动态图| 欧美国产精品va在线观看不卡| 午夜免费成人在线视频| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 日本vs欧美在线观看视频| 久久久国产一区二区| 黄片播放在线免费| 成人精品一区二区免费| 一本大道久久a久久精品| 成人国产一区最新在线观看| 日本黄色日本黄色录像| 亚洲五月婷婷丁香| www.熟女人妻精品国产| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 午夜影院日韩av| 国产午夜精品久久久久久| 欧美成狂野欧美在线观看| 色尼玛亚洲综合影院| 老司机在亚洲福利影院| 日本 av在线| 高清黄色对白视频在线免费看| 国产成人欧美在线观看| 亚洲专区字幕在线| 91成人精品电影| 亚洲九九香蕉| aaaaa片日本免费| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 久久久久亚洲av毛片大全| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 性少妇av在线| 亚洲av成人一区二区三| 乱人伦中国视频| 亚洲av电影在线进入| 精品一区二区三区四区五区乱码| 黄色毛片三级朝国网站| 自线自在国产av| 大陆偷拍与自拍| 国产亚洲欧美98| 香蕉久久夜色| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 亚洲av熟女| 午夜成年电影在线免费观看| 国产精品国产高清国产av| 美女大奶头视频| 69av精品久久久久久| svipshipincom国产片| 国产精品98久久久久久宅男小说| 久久亚洲精品不卡| 嫁个100分男人电影在线观看| 久久午夜综合久久蜜桃| 999久久久国产精品视频| 99国产综合亚洲精品| 国产单亲对白刺激| 久热这里只有精品99| 国产精品av久久久久免费| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| av电影中文网址| 成人三级黄色视频| 国产精品 国内视频| 国产精品久久电影中文字幕| 国产精品免费视频内射| 黄色女人牲交| 嫁个100分男人电影在线观看| 精品久久久久久久久久免费视频 | 国产精品二区激情视频| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 黄色a级毛片大全视频| 麻豆久久精品国产亚洲av | 久久伊人香网站| 久久香蕉精品热| 国产午夜精品久久久久久| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 亚洲精品成人av观看孕妇| 精品人妻在线不人妻| 亚洲精华国产精华精| 国产高清国产精品国产三级| 国产精品亚洲一级av第二区| 亚洲,欧美精品.| 99精品久久久久人妻精品| 精品高清国产在线一区| av天堂在线播放| 国产亚洲精品久久久久5区| 精品久久久久久成人av| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 中文字幕人妻丝袜一区二区| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 搡老熟女国产l中国老女人| 欧美日本亚洲视频在线播放| 日日干狠狠操夜夜爽| 91大片在线观看| 国产深夜福利视频在线观看| 99国产综合亚洲精品| 久久久国产一区二区| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 在线天堂中文资源库| 亚洲人成伊人成综合网2020| 欧美人与性动交α欧美软件| 在线观看一区二区三区激情| 国产黄色免费在线视频| 精品久久久久久久久久免费视频 | 亚洲久久久国产精品| 人人妻人人澡人人看| 国产成+人综合+亚洲专区| 亚洲第一av免费看| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 久久国产精品人妻蜜桃| 久久人人97超碰香蕉20202| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 午夜久久久在线观看| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 成人免费观看视频高清| 成熟少妇高潮喷水视频| 亚洲五月色婷婷综合| 精品人妻在线不人妻| 91国产中文字幕| 亚洲中文日韩欧美视频| 成人三级黄色视频| 国产精品久久久久久人妻精品电影| av天堂久久9| 日韩免费av在线播放| 久久久久久大精品| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 日韩免费高清中文字幕av| 天天影视国产精品| 欧美激情高清一区二区三区| 欧美一级毛片孕妇| 亚洲三区欧美一区| 国产一区二区激情短视频| 精品久久蜜臀av无| 激情视频va一区二区三区| videosex国产| 国产亚洲欧美精品永久| 亚洲成人免费电影在线观看| 国产亚洲欧美在线一区二区| 少妇的丰满在线观看| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 亚洲av日韩精品久久久久久密| av福利片在线| 搡老熟女国产l中国老女人| 国产主播在线观看一区二区| 香蕉国产在线看| 精品高清国产在线一区| 午夜a级毛片| 欧美日韩视频精品一区| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 一区福利在线观看| 国产av又大| av国产精品久久久久影院| 欧美av亚洲av综合av国产av| 久久性视频一级片| 丁香六月欧美| 男人舔女人下体高潮全视频| 国产av又大| 女性被躁到高潮视频| 91精品三级在线观看| 欧美中文日本在线观看视频| 欧美日韩精品网址| 日本黄色日本黄色录像| 精品日产1卡2卡| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 国产一区二区三区在线臀色熟女 | 婷婷精品国产亚洲av在线| 高清毛片免费观看视频网站 | 亚洲国产精品sss在线观看 | 正在播放国产对白刺激| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 黄色丝袜av网址大全| 成人国产一区最新在线观看| a级毛片在线看网站| 午夜日韩欧美国产| 国产精品国产av在线观看| 欧美日韩福利视频一区二区| 激情在线观看视频在线高清| 国产精品日韩av在线免费观看 | 久久影院123| 久久人人精品亚洲av| 成年人黄色毛片网站| 日韩精品中文字幕看吧| 日本精品一区二区三区蜜桃| 亚洲成国产人片在线观看| 身体一侧抽搐| 一个人观看的视频www高清免费观看 | 欧美 亚洲 国产 日韩一| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 嫁个100分男人电影在线观看| 精品一区二区三区av网在线观看| 无遮挡黄片免费观看| 国产av又大| 亚洲av五月六月丁香网| 美女高潮到喷水免费观看| 午夜成年电影在线免费观看| 男女午夜视频在线观看| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片 | 国产91精品成人一区二区三区| 久99久视频精品免费| 国产激情欧美一区二区| 亚洲一区二区三区色噜噜 | 精品国产美女av久久久久小说| 日韩欧美三级三区| 久久天堂一区二区三区四区| 精品福利永久在线观看| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 搡老岳熟女国产| 国产一区二区三区在线臀色熟女 | 99久久久亚洲精品蜜臀av| 婷婷六月久久综合丁香| 在线观看免费午夜福利视频| 国产精品一区二区精品视频观看| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 国产精品影院久久| 国产精品成人在线| 老司机亚洲免费影院| 久久精品影院6| 免费av中文字幕在线| 波多野结衣av一区二区av| 99精品久久久久人妻精品| 黄色毛片三级朝国网站| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 99精国产麻豆久久婷婷| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 久久天堂一区二区三区四区| 国产激情久久老熟女| 国产男靠女视频免费网站| 日韩av在线大香蕉| 亚洲午夜理论影院| 男女床上黄色一级片免费看| 国产精品久久电影中文字幕| 国产精品影院久久| 一区在线观看完整版| 国产精品免费视频内射| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 国产aⅴ精品一区二区三区波| 成人三级黄色视频| bbb黄色大片| 身体一侧抽搐| 日韩人妻精品一区2区三区| 搡老熟女国产l中国老女人| 国产黄a三级三级三级人| 欧美久久黑人一区二区| 欧美在线黄色| 亚洲欧美激情综合另类| 丝袜在线中文字幕| 99riav亚洲国产免费| 又黄又爽又免费观看的视频| 啦啦啦 在线观看视频| 午夜成年电影在线免费观看| 搡老岳熟女国产| 性少妇av在线| 日本免费一区二区三区高清不卡 | 成人黄色视频免费在线看| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| 国产亚洲精品久久久久5区| 真人做人爱边吃奶动态| av视频免费观看在线观看| 中出人妻视频一区二区| 亚洲精品一区av在线观看| 日韩有码中文字幕| 热re99久久精品国产66热6| 日韩av在线大香蕉| 日韩国内少妇激情av| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 国产激情欧美一区二区| 一二三四社区在线视频社区8| 男女高潮啪啪啪动态图| 国产真人三级小视频在线观看| 国产单亲对白刺激| 色在线成人网| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 国产高清视频在线播放一区| 中文欧美无线码| 夜夜看夜夜爽夜夜摸 | 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 村上凉子中文字幕在线| 三级毛片av免费| 18禁观看日本| 99精品久久久久人妻精品| 不卡一级毛片| 国产精品成人在线| 国产精品一区二区精品视频观看| 久久99一区二区三区| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 嫩草影院精品99| 成人精品一区二区免费| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 两个人免费观看高清视频| 欧美成人免费av一区二区三区| 91成人精品电影| 美女 人体艺术 gogo| 国产精品综合久久久久久久免费 | 成人亚洲精品一区在线观看| 欧美最黄视频在线播放免费 | 欧美日韩一级在线毛片| 久久精品91蜜桃| 在线观看免费日韩欧美大片| av免费在线观看网站| 亚洲av熟女| 成年版毛片免费区| 亚洲七黄色美女视频| 国产精品久久久久成人av| 丝袜美腿诱惑在线| 久久精品国产综合久久久| 欧美日本中文国产一区发布| xxxhd国产人妻xxx| 老汉色av国产亚洲站长工具| 一级毛片女人18水好多| 十八禁网站免费在线| 看免费av毛片| 亚洲久久久国产精品| 午夜免费鲁丝| 国产成年人精品一区二区 | 久久天堂一区二区三区四区| 中文字幕最新亚洲高清| 男女做爰动态图高潮gif福利片 | 久久性视频一级片| 久久香蕉精品热| 在线观看免费日韩欧美大片| 超碰97精品在线观看| tocl精华| 麻豆久久精品国产亚洲av | 纯流量卡能插随身wifi吗| 波多野结衣一区麻豆| 欧美日韩亚洲高清精品| 99精品久久久久人妻精品| 亚洲全国av大片| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 在线观看免费高清a一片| 欧美日本中文国产一区发布| 亚洲精品av麻豆狂野| 在线天堂中文资源库| 看片在线看免费视频| 久久久国产精品麻豆| 亚洲av成人一区二区三| 叶爱在线成人免费视频播放| 美国免费a级毛片| 久久精品国产亚洲av高清一级| 国产精品乱码一区二三区的特点 | av超薄肉色丝袜交足视频| 一级黄色大片毛片| 99riav亚洲国产免费| 999久久久精品免费观看国产| 久久午夜亚洲精品久久| 三上悠亚av全集在线观看| 三级毛片av免费| 免费看a级黄色片| 亚洲成国产人片在线观看| 成人三级黄色视频| av网站在线播放免费| 国产高清激情床上av| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 在线永久观看黄色视频| 国产高清国产精品国产三级| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 高潮久久久久久久久久久不卡| 91精品三级在线观看| 国产激情欧美一区二区| 女性生殖器流出的白浆| 精品国产国语对白av| 欧美激情高清一区二区三区| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 1024视频免费在线观看| 丰满饥渴人妻一区二区三| 午夜精品久久久久久毛片777| 嫩草影视91久久| 国产区一区二久久| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 久久伊人香网站| 国产精品一区二区三区四区久久 | 他把我摸到了高潮在线观看| 天堂影院成人在线观看| 欧美激情极品国产一区二区三区| 亚洲av片天天在线观看| 久久99一区二区三区| 女同久久另类99精品国产91| 久9热在线精品视频| 欧美+亚洲+日韩+国产| 国产成人欧美在线观看| 午夜a级毛片| 国产在线精品亚洲第一网站| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 精品久久久精品久久久| 国产精品 国内视频| 日本黄色视频三级网站网址| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 日韩成人在线观看一区二区三区| 国产激情久久老熟女| 久久精品国产清高在天天线| 国产激情欧美一区二区| 俄罗斯特黄特色一大片| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 超色免费av| 欧美+亚洲+日韩+国产|