電偶極子與單擺

景雨薇，吳普訓(xùn)

(湖南師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410081)

偶極子是電磁學(xué)基本模型之一[1-3]，是理解電介質(zhì)極化的基礎(chǔ)；在固體物理、天體物理、流體力學(xué)等廣泛領(lǐng)域有重要應(yīng)用[4,5].一般教材要么給出電勢(shì)再做梯度計(jì)算，要么通過矢量疊加給出場(chǎng)強(qiáng)，推導(dǎo)比較數(shù)學(xué)化，學(xué)生難以對(duì)場(chǎng)強(qiáng)特點(diǎn)和物理圖像獲得直觀理解.特別是所謂不依賴坐標(biāo)的偶極子場(chǎng)強(qiáng)形式看起來頗為復(fù)雜，難以理解.那么，偶極子場(chǎng)強(qiáng)不同形式間有何聯(lián)系？如何直觀理解其物理圖像？一般教材很少深入闡述.

本文用熟知的外場(chǎng)中偶極子勢(shì)能公式，一步給出偶極子電勢(shì)；然后，通過類比力學(xué)單擺給出偶極子場(chǎng)強(qiáng)的兩種不同形式，清楚說明每個(gè)分量的物理意義，特別是所謂不依賴坐標(biāo)的場(chǎng)強(qiáng)形式.最后，我們還討論了該力電類比方法的特點(diǎn)，并給出應(yīng)用實(shí)例.

1 偶極子電勢(shì)：兩種推導(dǎo)方法

如圖1所示，偶極子由彼此靠近、間距為l的等量正負(fù)點(diǎn)電荷±q構(gòu)成.以電荷連線中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，場(chǎng)點(diǎn)P的電勢(shì)[1]

圖1 偶極子與單擺的類比示意圖

(1)

(2)

現(xiàn)在我們給出一種更簡(jiǎn)捷的推導(dǎo)方法.按定義，V是單位電荷在偶極電場(chǎng)中的勢(shì)能，即偶極子與單位電荷的相互作用能.既然是相互作用，式(2)也是偶極子在單位點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的勢(shì)能！外場(chǎng)中偶極子的勢(shì)能是[2]

U=-p·E外

(3)

2 偶極子場(chǎng)強(qiáng)與單擺受力

對(duì)電勢(shì)取梯度，即得場(chǎng)強(qiáng)

(4)

V=λz

(5)

對(duì)固定的r，豎直方向的電場(chǎng)是

(6)

(E,V,λ)?(F,U,mg)

(7)

可以把偶極子場(chǎng)強(qiáng)問題轉(zhuǎn)化為熟知的單擺受力分析.注意，固定徑向距離r時(shí)，λ可以視為常數(shù)，但是r的豎直投影z依然依賴角度變化.這跟擺長(zhǎng)固定的單擺一樣，即擺長(zhǎng)的豎直投影z隨擺的位置(擺角)而變化.上述映射僅在此特定情況下成立，即固定r的偶極子靜電勢(shì)能和固定擺長(zhǎng)的單擺重力勢(shì)能都跟z成線性關(guān)系.

既然勢(shì)能形式相同，作為勢(shì)函數(shù)梯度的力場(chǎng)形式自然也相同.例如，單擺切向力和徑向力(向心力)分別是[3,6]：

Fα=mgsinα

(8)

(9)

(10)

(11)

與矢量疊加得到的熟知結(jié)果[2,3]完全一致.

從動(dòng)力學(xué)角度分析，還可以更清楚看到上述映射的物理意義.考慮一個(gè)質(zhì)量為m的單位正電荷從偶極子勢(shì)能零點(diǎn)釋放，初速度為零，那么該電荷運(yùn)動(dòng)是什么特點(diǎn)呢？根據(jù)力電類比，易猜測(cè)其運(yùn)動(dòng)類似單擺，即軌跡為半圓的周期運(yùn)動(dòng)，電荷往返于左右電勢(shì)能零點(diǎn)[7]，中間勢(shì)能最低點(diǎn)處速度最大(如圖1).根據(jù)能量守恒定律，電勢(shì)能差給出動(dòng)能，從而推出向心力,該向心力恰對(duì)應(yīng)偶極子徑向場(chǎng)強(qiáng)，即

(12)

可見，映射式(8)不僅來自勢(shì)能形式一致，而且來自動(dòng)力學(xué)過程共同遵守的能量守恒定律,即靜電或重力勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化.當(dāng)然，無論電荷還是單擺，僅在勢(shì)能最低點(diǎn)附近才遵從簡(jiǎn)諧振動(dòng)，運(yùn)動(dòng)幅度增大時(shí)則為非線性運(yùn)動(dòng)[3].

3 偶極子場(chǎng)強(qiáng)：不依賴坐標(biāo)的形式

利用力電類比方法，可以立即寫出所謂不依賴坐標(biāo)的偶極子電場(chǎng)強(qiáng)度，并且對(duì)各個(gè)分量能夠獲得直觀的物理圖像，因此初學(xué)者容易獲得更深刻的印象.

(13)

這樣很容易理解各分量的物理圖像，特別是為什么第一項(xiàng)能寫為向心分量，而第二項(xiàng)的方向始終固定不變.

這種不依賴坐標(biāo)的場(chǎng)強(qiáng)形式特別有用，例如，結(jié)合式(3)和(13)即可以得到兩個(gè)偶極子之間的相互作用能[8]

Udd=-p2·Ep=

(14)

這個(gè)結(jié)果用途很廣，例如可以給出如水分子等極性分子之間的長(zhǎng)程相互作用等[1,2].

4 討論和總結(jié)

從計(jì)算角度看，教材中的傳統(tǒng)方法，即要么給出電勢(shì)然后取梯度運(yùn)算，要么利用電場(chǎng)矢量疊加，不一定比力電類比方法更難.但是相比純數(shù)學(xué)計(jì)算，力電類比法有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)：首先，把力學(xué)和電磁學(xué)兩個(gè)最基本的模型聯(lián)系起來，對(duì)從不同角度體會(huì)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系頗有價(jià)值；其次，力電類比可立即給出不依賴坐標(biāo)形式的電場(chǎng)，清楚看到各分量的物理圖像(類比重力和拉力)；最后，該方法對(duì)解決某些問題特別簡(jiǎn)捷，例如計(jì)算從偶極勢(shì)能最低點(diǎn)附近釋放的電荷諧振動(dòng)頻率或周期，就可以用單擺熟知結(jié)果立即給出[3，9].當(dāng)然，單擺和偶極子映射關(guān)系背后是否隱藏著更豐富的物理和更奇妙的應(yīng)用，值得我們未來開展更多深入研究.

從更廣闊視角看，利用數(shù)學(xué)方程相似性，把看似相距遙遠(yuǎn)的兩個(gè)不同物理系統(tǒng)聯(lián)系起來，這樣的類比思想在物理中不乏其例：LC電路與諧振子[2]，偶極電場(chǎng)與球附近流體速度場(chǎng)[10],全反射光透射與物質(zhì)波遂穿[11]，等.正如物理學(xué)家費(fèi)曼說：“物理學(xué)有一個(gè)最引人注目的吻合，即多種不同情況的方程有完全相同的形式.這意味著學(xué)習(xí)了一個(gè)學(xué)科，我們立即擁有大量精確的關(guān)于另一門學(xué)科的知識(shí).”[2]