永磁同步電機(jī)離散化建模與分析

楊淑英，王奇帥，東野亞蘭，謝震

（合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，安徽合肥230009）

與感應(yīng)電機(jī)相比，永磁同步電機(jī)具有高效率、高功率密度和比功率、高啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩等優(yōu)點(diǎn)，尤其是內(nèi)置式永磁同步電機(jī)（IPMSM）具有的凸極效應(yīng)，可提供磁阻轉(zhuǎn)矩、強(qiáng)弱磁能力和寬調(diào)速范圍的適應(yīng)性，被廣泛應(yīng)用于新能源汽車驅(qū)動(dòng)中[1]。新能源汽車電驅(qū)動(dòng)的特點(diǎn)是高速化發(fā)展，目前車用IPMSM的最高運(yùn)行頻率甚至超過(guò)1 000 Hz。然而受限于開(kāi)關(guān)損耗，逆變器的開(kāi)關(guān)頻率難以繼續(xù)升高，導(dǎo)致系統(tǒng)的載波比（開(kāi)關(guān)頻率與基波頻率比）甚至低于10[2-3]。

在低載波比條件下，常規(guī)連續(xù)域設(shè)計(jì)的電流控制器在數(shù)字化實(shí)現(xiàn)時(shí)受到數(shù)字控制延遲和離散化誤差的影響，系統(tǒng)性能難以得到保障。為了提高系統(tǒng)在低載波比條件下的控制性能，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量努力。文獻(xiàn)[4]在傳統(tǒng)PI電流控制器的基礎(chǔ)上，考慮PWM保持特性以及數(shù)字控制產(chǎn)生的延遲的影響，補(bǔ)償了由延遲引起的坐標(biāo)變換角度的滯后；文獻(xiàn)[5]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入有源阻尼的方法，減小了電流震蕩；文獻(xiàn)[6]則深入分析了延遲對(duì)包含有源阻尼電流環(huán)的影響機(jī)理；文獻(xiàn)[7]在考慮延遲的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出了減小電流環(huán)調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量的電流控制器參數(shù)設(shè)計(jì)方法。然而，上述方法均是在連續(xù)域中分析和設(shè)計(jì)電流控制器，實(shí)際數(shù)字化實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，需要將連續(xù)域設(shè)計(jì)的控制器通過(guò)離散化方法轉(zhuǎn)化為差分表示形式，這會(huì)受到離散化誤差的影響，這點(diǎn)在文獻(xiàn)[8]中得到了印證。文獻(xiàn)[9]比較了幾種典型的電流環(huán)連續(xù)域設(shè)計(jì)方法，通過(guò)零極點(diǎn)分布圖討論了電流環(huán)控制性能隨載波比的降低而下降的原因，并給出了一種直接在離散域分析和設(shè)計(jì)電流環(huán)的方法，該方法使電流環(huán)的控制性能理論上不再受載波比的影響，保障了電機(jī)控制系統(tǒng)低載波比運(yùn)行性能。

直接離散域分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是離散化模型，離散化模型自身的準(zhǔn)確性也將影響分析的正確性和控制性能。對(duì)于表貼式永磁同步電機(jī)（surface permanent magnet synchronous motor，SPMSM），其交、直軸電壓方程具有相同的參數(shù)，模型具有對(duì)稱性，可以使用復(fù)矢量描述方式，使其分析、設(shè)計(jì)過(guò)程得到簡(jiǎn)化。如文獻(xiàn)[10]在連續(xù)域中、文獻(xiàn)[9，11-12]在離散域中，均利用了復(fù)矢量建模技術(shù)將SPMSM模型轉(zhuǎn)換為單輸入單輸出（single input single output，SISO）系統(tǒng)。然而，對(duì)于IPMSM而言，其凸極特性使得交軸電感大于直軸電感，交、直軸電壓方程不再相同，限制了復(fù)矢量建模技術(shù)的利用。文獻(xiàn)[13]直接采用狀態(tài)空間法對(duì)IPMSM進(jìn)行離散域建模。盡管具有較高的建模精度，但所獲得的模型中包含多個(gè)三角函數(shù)及雙曲函數(shù)運(yùn)算，工程實(shí)現(xiàn)運(yùn)算量較大。為此，該文作者試圖通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)近似的方式對(duì)模型進(jìn)行不同程度的簡(jiǎn)化，獲得精度和運(yùn)算量的折中。為將復(fù)矢量建模技術(shù)運(yùn)用于IPMSM對(duì)象，文獻(xiàn)[14]提出以磁鏈為狀態(tài)量的建模方法，但其離散化建模過(guò)程依然受到定子電阻壓降的影響，且控制器的實(shí)現(xiàn)受到電感參數(shù)的影響。盡管作者試圖通過(guò)前饋補(bǔ)償?shù)姆绞綇浹a(bǔ)電阻壓降的影響，但考慮到控制延遲的影響，實(shí)際補(bǔ)償效果不佳。

縱觀研究報(bào)道不難發(fā)現(xiàn)，低載波比和高性能的控制需求使得直接離散域設(shè)計(jì)受到了學(xué)界越來(lái)越多的關(guān)注和重視，而IPMSM的離散化建模問(wèn)題依然沒(méi)有得到很好的解決，成為其離散化控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)的制約因素。文獻(xiàn)[15]就模型的不同近似程度對(duì)控制性能的影響進(jìn)行了討論。

本文在對(duì)連續(xù)域控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)數(shù)字化實(shí)現(xiàn)時(shí)存在問(wèn)題進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，討論了直接離散域控制器設(shè)計(jì)的必要性。針對(duì)離散化模型的建立問(wèn)題，在對(duì)工程中常用的歐拉法和Tustin法離散化建模精度進(jìn)行討論的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)分析了電阻壓降對(duì)以磁鏈為狀態(tài)量離散化建模的影響。研究表明，通過(guò)對(duì)采樣間隔內(nèi)電流狀態(tài)的一階描述所獲得的離散化模型在精度上與文獻(xiàn)[13]直接基于狀態(tài)空間離散化建模方式所獲得的數(shù)學(xué)模型沒(méi)有明顯的差異，但卻具有簡(jiǎn)潔的形式，利于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)。本文在離散化建模中的突出貢獻(xiàn)在于，通過(guò)電流響應(yīng)的近似描述，提升了IPMSM復(fù)矢量建模的精度。此外，為便于工程實(shí)現(xiàn)，本文將所建立的磁鏈狀態(tài)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為電流狀態(tài)數(shù)學(xué)模型。最后，通過(guò)典型控制器的設(shè)計(jì)，進(jìn)一步對(duì)數(shù)學(xué)模型的精度及其對(duì)性能的影響進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 PMSM電流控制器數(shù)字化實(shí)現(xiàn)誤差分析

1.1 數(shù)學(xué)模型

PMSM在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為

其中：

式中：Ld，Lq分別為定子直軸和交軸電感；Rs為定子電阻；ωe為電角速度；Ψf為永磁體磁鏈；idq為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的定子電流向量；udq為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的定子電壓向量。

對(duì)SPMSM而言，Ld=Lq=Ls，可利用復(fù)矢量描述方式將式（1）重新表述為[1]

式中：udq(t)和idq(t)分別為復(fù)矢量形式的電壓和電流，且udq(t)=ud(t)+j uq(t),idq(t)=id(t)+j iq(t)。

式（2）對(duì)應(yīng)的電路框圖描述如圖1所示。

圖1 SPMSM復(fù)矢量模型原理圖Fig.1 Schematic diagram of SPMSM complex vector model

1.2 連續(xù)域控制器設(shè)計(jì)

為使問(wèn)題分析更加清晰，這里以SPMSM為例，對(duì)連續(xù)域控制器設(shè)計(jì)存在的問(wèn)題進(jìn)行討論。

以經(jīng)典PI調(diào)節(jié)器為例，控制器傳遞函數(shù)為

式中：α為期望的電流環(huán)帶寬，帶寬α參數(shù)的選取可參考文獻(xiàn)[9-10]；x^為x的估計(jì)值。

數(shù)字化實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，需要將式（3）的連續(xù)域控制器進(jìn)行離散化，獲得其對(duì)應(yīng)的差分方程。在文獻(xiàn)[8]中已經(jīng)驗(yàn)證Tustin法的離散化誤差要小于歐拉法的離散化誤差，這里以Tustin法對(duì)式（3）進(jìn)行離散化，得：

式中：Ts為采樣周期。

若考慮到延遲補(bǔ)償，可將離散化控制器描述為

1.3 閉環(huán)系統(tǒng)誤差分析

為了對(duì)離散化誤差進(jìn)行量化分析，這里需要獲得SPMSM的精確離散化模型，如下式所示：

其具體推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[9]第三節(jié)。

由式（5）和式（6）可得系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

畫出系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)隨基波頻率fe變化的零極點(diǎn)分布圖，所用模型參數(shù)：定子電阻Rs=0.015Ω，定子電感Ls=0.3 mH，采樣周期Ts=100μs，電流環(huán)帶寬α=2π·1 000 rad/s。圖2和圖3中分別描述了未考慮和考慮延遲補(bǔ)償情況下極點(diǎn)隨基波頻率的變化。

對(duì)未補(bǔ)償延遲角的情況，如圖2所示，當(dāng)fe/fs＞0.046，即載波比下降到22時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)z3從單位圓中移出，系統(tǒng)開(kāi)始出現(xiàn)不穩(wěn)定?？紤]延遲補(bǔ)償后，如圖3所示，當(dāng)fe/fs＞0.075，即載波比下降到13時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)z3開(kāi)始從單位圓中移出。盡管通過(guò)對(duì)數(shù)字控制延遲的補(bǔ)償能夠提升低載波比的穩(wěn)定性，但所能實(shí)現(xiàn)的載波比依然較高。連續(xù)域數(shù)字控制器設(shè)計(jì)難以滿足高速化運(yùn)行需求，尤其是對(duì)于IPMSM，其離散化影響更為嚴(yán)重[13-14]。為了滿足高速低載波比需求，直接在離散域中設(shè)計(jì)電流調(diào)節(jié)器成為必然。

圖2 未加延遲補(bǔ)償時(shí)PI電流控制的系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)遷移圖Fig.2 Pole shift diagram of PI current control loop without delay compensation

圖3 含延遲補(bǔ)償?shù)腜I電流控制的系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)遷移圖Fig.3 Pole shift diagram of PI current control loop with delay compensation

2 IPMSM離散域常用數(shù)學(xué)模型

直接利用狀態(tài)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行離散化，理論上能夠獲得精確離散化模型，具體推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[13]附錄，其表達(dá)式如下式所示：

其中

F=CΦC-1

G=CΓ

g=Cγ+(I-F)d

式中：C，I，d為定常矩陣；Φ，Γ，γ為離散系統(tǒng)矩陣。

其具體表達(dá)式為

矩陣Φ求解結(jié)果為

其中

矩陣Γ求解結(jié)果為

其中

矩陣γ求解結(jié)果為

其中

式（8）中的系數(shù)矩陣含有多個(gè)指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)運(yùn)算，形式上較為復(fù)雜，不利于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析，且計(jì)算量大。相比而言，歐拉法和Tustin法對(duì)IPMSM模型進(jìn)行離散化，在工程上較為常用。

2.1 歐拉法和Tustin法離散化模型

采用歐拉法可將式（1）對(duì)應(yīng)的離散形式表示為

其中

值得注意的是，輸入電壓是在靜止坐標(biāo)系下具有零階保持特性，因此對(duì)于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的輸入電壓在離散化時(shí)應(yīng)該取一個(gè)控制周期內(nèi)的等效作用電壓。在文獻(xiàn)[4]中給出了一種近似補(bǔ)償方法，采用這種方法易得：

其中

同理，采用Tustin法離散化，式（1）離散化為

其中

2.2 離散化誤差分析

為了直觀地對(duì)比歐拉法和Tustin法離散化對(duì)模型精度的影響，本文采用文獻(xiàn)[16]中矩陣范數(shù)的分析方法，將離散化誤差定義為

式中：M為前述零階保持法離散化獲得的精確模型中的矩陣；Mx為前述歐拉法或Tustin法離散化獲得的近似模型中的矩陣。

圖4展示了歐拉法和Tustin法離散化誤差隨基波頻率fe變化的誤差曲線，所用參數(shù)與下文中第5節(jié)中仿真參數(shù)設(shè)置相同。

圖4 歐拉法和Tustin法離散化誤差隨基波頻率的變化Fig.4 Discrete errors against fundamental frequency when using Euler and Tustin techniques

從圖4可以看出，系數(shù)矩陣F、輸入矩陣G、以及擾動(dòng)輸入矩陣g所對(duì)應(yīng)的誤差隨著基波頻率的增加盡管不是線性增大，但誤差大小是在增加的。歐拉法的離散化誤差全頻段都大于Tustin法。以系數(shù)矩陣F為例，在基波頻率fe=1 000 Hz、載波比為4時(shí)，Tustin法離散化誤差約為11.6%，遠(yuǎn)小于歐拉法的113%。輸入矩陣G和擾動(dòng)輸入矩陣g的誤差分析可以得到類似的結(jié)論。但也清楚地看到，即使采用Tustin法離散化，模型離散化誤差依然較大。

3 磁鏈為狀態(tài)量的IPMSM離散域?qū)ΨQ化建模方法

第2節(jié)中的IPMSM工程常用的離散域數(shù)學(xué)模型在低載波比條件下誤差較大。以磁鏈為中間狀態(tài)量，運(yùn)用復(fù)矢量描述技術(shù)對(duì)模型進(jìn)行離散化，能夠?qū)崿F(xiàn)模型的精度和復(fù)雜度的折中，但因磁鏈和電流狀態(tài)的關(guān)聯(lián)性，其離散過(guò)程受到電阻壓降的影響。本節(jié)將就采樣周期中電流變換的不同描述方式對(duì)離散模型精度的影響進(jìn)行分析和討論，并獲得一種具有較高建模精度的復(fù)矢量離散化建模方案。

3.1 IPMSM模型的復(fù)矢量描述

引入磁鏈狀態(tài)取代式（1）中電流非對(duì)稱項(xiàng)，可將IPMSM模型寫成復(fù)矢量形式，如下式：

式中：iαβ(t)，uαβ(t)，λαβ(t)為靜止坐標(biāo)系下的定子電流、電壓和磁鏈復(fù)矢量；eαβ(t)為靜止坐標(biāo)系下的反電動(dòng)勢(shì)擾動(dòng)項(xiàng)。

復(fù)矢量的定義與式（2）相同。

如前述易知，式（17）中的定子電壓矢量由于零階保持特性，在k Ts＜t＜(k+1)Ts時(shí)間段內(nèi)可看作是定值，即

由于電氣時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于機(jī)械時(shí)間常數(shù)，可認(rèn)為轉(zhuǎn)速ωe在kTs＜t＜(k+1)Ts時(shí)間段內(nèi)保持不變，因此反電動(dòng)勢(shì)eαβ(t)在此期間只需要考慮坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，即

盡管式（17）實(shí)現(xiàn)了復(fù)矢量表示形式，但定子電流以定子電阻壓降的形式耦合到電壓方程中，且由于交、直軸電感不相等，電感矩陣不具有對(duì)稱性，電流復(fù)矢量無(wú)法通過(guò)磁鏈復(fù)矢量進(jìn)行取代。同時(shí)，電流狀態(tài)和磁鏈狀態(tài)不具有相互獨(dú)立性，在采樣間隔內(nèi)同步變化。因此，如何對(duì)采樣間隔，即kTs＜t＜(k+1)Ts時(shí)間段內(nèi)定子電流的變化進(jìn)行描述成為式（17）模型離散化的關(guān)鍵。由泰勒級(jí)數(shù)可知，階次越高，對(duì)函數(shù)的描述越準(zhǔn)確，但計(jì)算量也將更大。為保持近似處理方案的簡(jiǎn)潔性，這里僅考慮0階和1階泰勒級(jí)數(shù)近似電流描述方式。

1）假設(shè)定子電流在靜止坐標(biāo)系下保持不變。靜止坐標(biāo)系下，定子電流在kTs＜t＜(k+1)Ts時(shí)間段內(nèi)保持恒定，即

為便于敘述，后文將該處理稱作方案1。

2）假設(shè)定子電流在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下保持不變。同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，定子電流在k Ts＜t＜(k+1)Ts時(shí)間段內(nèi)保持恒定，即

變換到靜止坐標(biāo)系，得：

后文將該處理稱作方案2。

3）假設(shè)定子電流在靜止坐標(biāo)系下線性變化。靜止坐標(biāo)系下，定子電流在kTs＜t＜(k+1)Ts時(shí)間段內(nèi)線性變化，即

后文將該處理稱作方案3。

4）假設(shè)定子電流在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下線性變化。同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，定子電流在k Ts＜t＜(k+1)Ts時(shí)間段內(nèi)線性變化，即

變換到靜止坐標(biāo)系下，得：后文將該處理稱作方案4。

5）忽略定子電阻壓降。有些文獻(xiàn)中，針對(duì)定子電流耦合問(wèn)題，直接將定子電阻壓降進(jìn)行忽略處理，即

后文將該處理稱作方案5。

3.2 IPMSM近似離散化模型的求取

有了定子電壓、反電動(dòng)勢(shì)擾動(dòng)和定子電流的表達(dá)式，求解IPMSM離散化模型，只需要求解微分方程式（17）即可。以方案1為例，將式（18）～式（20）代入式（17），求解定子磁鏈在k+1時(shí)刻的值，有：

將式（27）變換到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，得：

其中 edq(k)=jωeΨf

式（28）以復(fù)矢量符號(hào)表示的模型其狀態(tài)變量為定子磁鏈，為獲得以定子電流為狀態(tài)變量的系統(tǒng)模型，將式（28）改為狀態(tài)空間描述，即

其中

化簡(jiǎn)后可以得到：

其中

同理可以求得方案2到方案5所對(duì)應(yīng)的離散化模型，分別為如下：

方案2離散化模型為

其中

方案3離散化模型為

其中

方案4離散化模型為

其中

方案5離散化模型為

其中

仍然采用式（16）所定義的誤差形式，可以得到5種方案模型的誤差曲線，如圖5所示。

圖5 5種電流描述方式對(duì)離散化誤差的影響Fig.5 Effects on the discrete errors of the five different current approximations

由于方案1、方案2和方案5所得到的矩陣G和g是相同的，因此其誤差曲線重合。由圖5可以得出以下結(jié)論：①隨著轉(zhuǎn)速升高，離散化誤差增加，但整個(gè)速度范圍內(nèi)，方案3的離散誤差最?。虎谌俣确秶鷥?nèi)，方案3的離散化誤差基本保持在1.5%以內(nèi)，具有較高的建模精度；③與圖4對(duì)比可知，借助磁鏈狀態(tài)，通過(guò)復(fù)矢量描述方式，所獲得的離散化模型精度明顯優(yōu)于當(dāng)前工程中常用的歐拉法或Tustin法。

4 控制器設(shè)計(jì)

基于上述離散化數(shù)學(xué)模型，可以在離散域直接設(shè)計(jì)電流控制器。由于本文研究的目標(biāo)在于離散化模型自身，這里借用文獻(xiàn)[13]所報(bào)道的電流控制器設(shè)計(jì)方案，對(duì)不同離散化模型的效果進(jìn)行對(duì)比研究。關(guān)于離散域控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)超出了本文的范圍，將在后續(xù)文章中進(jìn)行報(bào)道。

為獲得表述形式上的簡(jiǎn)潔性，記：

上述IPMSM離散域數(shù)學(xué)模型z變換后得：

式中：Fx，Gx，gx分別為不同離散化模型的系數(shù)矩陣、輸入矩陣和擾動(dòng)輸入矩陣，x代表前述近似模型的下標(biāo)o，T，1～5。

文獻(xiàn)[13]中的定子電流控制律為

式中：Kt為前饋增益矩陣；Ki為積分增益矩陣；K1，K2為反饋增益矩陣。

控制器結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 控制器結(jié)構(gòu)Fig.6 Block diagram of the controller

由式（36）和式（37）得系統(tǒng)的閉環(huán)表達(dá)式如下：

其中

式（39）為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，其系數(shù)矩陣為

控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)主要包括：①d，q軸電流響應(yīng)之間無(wú)交叉耦合，即H(z)中非對(duì)角元素為0；②d，q軸電流具有相同的動(dòng)態(tài)特性，即H(z)中的對(duì)角元素相同。

基于以上兩個(gè)目標(biāo)，給出H(z)的期望表達(dá)式為

為簡(jiǎn)化參數(shù)設(shè)計(jì)，選取a0=0。

由式（39）、式（40）可以得到增益矩陣的選擇方法：

若選擇a1=β2，a2=-2β，b0=β(β-1)，b1=1-β，可得：

其中 β=e-αTs

式中：β為閉環(huán)系統(tǒng)期望的極點(diǎn)位置；α為設(shè)計(jì)帶寬。

5 離散化模型的影響

設(shè)定電機(jī)參數(shù)：Pn=8 kW，Ld=0.14 mH，Lq=0.3 mH，Rs=0.05Ω，Ψf=0.069 Wb，極對(duì)數(shù)為4。采樣與開(kāi)關(guān)同步，均為4 kHz，基波頻率fe=1 000 Hz，對(duì)應(yīng)的載波比為4，直流母線電壓Udc=340 V。β設(shè)為0.730 4，對(duì)應(yīng)的電流環(huán)帶寬為2π·200 rad/s?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7所示。

圖7 永磁同步電機(jī)電流環(huán)控制系統(tǒng)Fig.7 Schematic of the PMSM current control system

對(duì)于不同的離散化模型，式（42）所獲得的控制器系數(shù)矩陣也將不同。圖8記錄了采用不同離散化模型所獲得的控制系統(tǒng)的電流階躍響應(yīng)過(guò)程。圖8a對(duì)應(yīng)于狀態(tài)空間離散化法所獲得的精確離散化模型；圖8b對(duì)應(yīng)于歐拉法離散化模型；圖8c對(duì)應(yīng)于Tustin法離散化模型；圖8d～圖8h分別對(duì)應(yīng)于磁鏈狀態(tài)復(fù)矢量離散化方案中的方案1～方案5所獲得的離散化數(shù)學(xué)模型。圖9對(duì)圖8記錄的動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行了局部放大對(duì)比。

圖8a表明，采用精確離散化模型時(shí)，在模型參數(shù)準(zhǔn)確的情況下，d，q軸之間實(shí)現(xiàn)完全解耦，q軸電流的變化不會(huì)引起d軸電流的變化。這與式（41）所期望的閉環(huán)特性相吻合。圖8b中系統(tǒng)已經(jīng)失穩(wěn)，說(shuō)明歐拉法離散化獲得的模型在低載波比條件下誤差較大，難以滿足控制需求。圖8c中，系統(tǒng)雖然能夠穩(wěn)定，但顯然d，q軸之間的耦合程度要大于本文所討論的5種近似情況的任何一種，說(shuō)明Tustin法離散化雖然在低載波比條件下可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，但系統(tǒng)的性能損失較大。圖8d～圖8h所示的動(dòng)態(tài)響應(yīng)效果要明顯優(yōu)于Tustin法離散化。對(duì)比圖8d～圖8h，并結(jié)合圖9所示的局部放大結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)圖8f所對(duì)應(yīng)方案3具有最好的動(dòng)態(tài)效果，d，q軸之間的耦合程度最低。這也再次印證了離散化模型精度對(duì)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要性。同時(shí)，對(duì)比圖8a和圖8f可知，基于方案3離散化模型獲得的控制系統(tǒng)在性能上與基于精確離散化模型設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)相近，但相比式（8）而言，式（32）計(jì)算復(fù)雜度得到明顯降低。

圖8 電流環(huán)階躍響應(yīng)波形Fig.8 Step response of the current loop

圖9 動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程局部放大對(duì)比Fig.9 Zooming in partially of the dynamic responses for comparison

6 結(jié)論

本文在對(duì)工程中常用的歐拉法和Tustin法離散化建模方法對(duì)控制性能影響進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，針對(duì)IPMSM模型的非對(duì)稱性，研究了基于磁鏈狀態(tài)量的對(duì)稱化建模方案，從而使得復(fù)矢量表述方式得以在IPMSM模型中應(yīng)用。針對(duì)離散化過(guò)程受到定子電流狀態(tài)的耦合影響問(wèn)題，研究了采樣間隔內(nèi)電流的不同表述方式。通過(guò)靜止坐標(biāo)系下電流的一階近似描述能夠得到較為準(zhǔn)確的離散化模型，實(shí)現(xiàn)了離散化模型的精度和計(jì)算復(fù)雜度的統(tǒng)一，有利于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和工程實(shí)現(xiàn)。