一類細胞分裂群體平衡方程的對稱群及精確解

林府標， 張千宏

（貴州財經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州貴陽550025）

群體平衡模型廣泛用于微粒過程及系統(tǒng)等眾多領(lǐng)域［1-5］.如生物化學(xué)、農(nóng)業(yè)科學(xué)、醫(yī)藥科學(xué)等領(lǐng)域中微生物、細菌、細胞的出生、生長、死亡、傳輸、破損等過程.細胞的分裂導(dǎo)致新的子細胞出生和死亡的微生物群體平衡方程（積分-偏微分方程）［1，3-5］可寫成

其中，x表示細胞質(zhì)量，t表示時間.進一步，f（x，t）表示微生物種群密度，假設(shè)密度函數(shù)f（x，t）足夠光滑且任意階偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)，G（x，t）表示細胞的生長率，v（x，t）表示t時刻細胞分裂的平均數(shù)量，Γ（x，t）表示細胞的出生率，p（x，y）表示原質(zhì)量是x的細胞分裂成質(zhì)量是y的子細胞的概率，概率函數(shù)滿足正則性條件：

考慮細胞的生長率、分裂平均數(shù)量及出生率皆為常數(shù)，對研究微生物種群細胞分裂過程是有價值和意義的.若選取動力學(xué)參變量函數(shù)

其中g(shù)、ν、κ均為正常數(shù)，則在約束限制條件（2）下群體平衡方程（1）可簡化成

尋找群體平衡方程的精確解及解析解技術(shù)比較困難，實體工程科學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域常采用數(shù)值實驗方案［1-4］進行研究，如對一般簡單積分-偏微分方程（1）對應(yīng)的實體模型，探尋精確解都是比較棘手的問題.雖然經(jīng)典李群分析方法［6-10］是計算常微分方程和純偏微分方程的對稱群的有效方法之一，但不能用于計算積分-偏微分方程（1）和（3）的對稱群.近年來，改進的李群分析方法［11-12］已被用于研究群體平衡方程的對稱群、約化-積分常微分方程及精確解［13-16］.運用改進了的李群分析方法探究積分-偏微分方程（3）的對稱群，障礙就是積分-偏微分方程（3）對應(yīng)的決定方程的求解問題.因決定方程仍是積分-偏微分方程及積分類型的下限是變量，這些棘手問題阻礙了通解的探尋和方法的研究與創(chuàng)新.

本文計算積分-偏微分方程（3）的細胞質(zhì)量分布的矩、對稱群、群不變解、約化積分-常微分方程、顯式精確解及分析解的動力學(xué)行為性質(zhì)及特征.

1 細胞質(zhì)量分布的矩

源于統(tǒng)計學(xué)中矩的概念和方法常用于研究群體平衡模型中的粒子、微粒或細胞尺寸、質(zhì)量分布的均值及方差［1-4］.若f＝f（x，t）是方程（3）的任一解，則對質(zhì)量足夠大的細胞種群密度分布函數(shù)值必然為零［1-4］，特別地種群密度f（x，t）更應(yīng)滿足性質(zhì)細胞種群密度分布的j階矩定義為

其中零階矩M0（t）表示任意時刻單位體積內(nèi)細胞總的平均數(shù)量，一階矩M1（t）表示任意時刻細胞分裂總的質(zhì)量，j階矩Mj（t）（j≥2）代表的實體含義可參見文獻［1-4］.運用性矩的定義、分部積分法及交換二重積分的積分次序可得矩恒等式

因此，采用這些矩恒等關(guān)系式，一方面對方程（3）兩邊關(guān)于變量x從0到∞同時積分.另外，先在方程（3）兩邊皆乘以x，然后關(guān)于變量x從0到∞同時積分，得到完全封閉的矩方程組滿足的柯西問題

若任意t時刻，微生物種群分裂系統(tǒng)中沒有細胞，即可假設(shè)種群細胞密度f（0，t）＝0.在此條件下，常微分方程組（4）給出的零階矩M0（t）和一階矩M1（t）分別為

若f（0，t）≠0，可類似地求解矩方程組（4），為了行文簡潔省略求解過程.若種群細胞在分裂或破損過程中總保持質(zhì)量守恒，則恒有即細胞的總質(zhì)量密度函數(shù)M1（t）是時間t的不變量.

2 方程（3）的對稱群

鑒于經(jīng)典李群分析方法［6-10］直接不能用于計算積分-偏微分方程（3）的對稱群.而改進了的李群分析方法［11-12］計算積分-偏微分方程（3）的對稱群，最大困難是寫出積分-偏微分方程（3）的決定方程且求解決定方程.因決定方程仍是積分-偏微分方程，通解的探尋是很棘手的問題，如何求解取決于原積分-偏微分方程（3）自身的結(jié)構(gòu)特征［13-16］.基于這些障礙和羈絆對積分-偏微分方程（3）兩邊同時關(guān)于變量x求導(dǎo)得

因方程（6）是純偏微分方程，經(jīng)典李群分析方法可直接運用.于是假設(shè)偏微分方程（6）接受的無窮小李對稱算子為

其中X（2）是X的二階延拓算子，系數(shù)函數(shù)ξx、ηxx、ηxt的定義分別為

其中Dx和Dt分別是關(guān)于x和t的全微分算子.通過計算系數(shù)函數(shù)ξx、ηxt、ηxx的表達式為

依據(jù)經(jīng)典李群分析框架及算法，得偏微分方程（6）的決定方程為

其中左下角標符號｜（6）表示決定方程（7）對偏微分方程（6）的任一解均恒成立.將系數(shù)函數(shù)ξx、ηxx、ηxt的表達式分別代入決定方程（7）得到

方程（6）可改寫成

將f xt的表達式代入上述決定方程，把決定方程寫成關(guān)于f tt、f xx、f t、f x的多項式.再令多項式的各項系數(shù)為零，得到系數(shù)函數(shù)ξ、τ、η滿足的超決定方程組為

運用方程ηxf＝0和ηff＝0，函數(shù)η（x，t，f）可假設(shè)為η（x，t，f）＝h（t）f+p（x，t），其中h（t）、p（x，t）是任意待確定的未知函數(shù).將η（x，t，f）的表達式代入上述超決定方程組的最后一個方程得到

采用方程ξf＝0，將函數(shù)ξ（x，t，f）按照泰勒級數(shù)展開成，其中ai（t）（i＝0，1，…）是任意待決定的可微函數(shù).因此，將ξ（x，t，f）的表達式代入方程（8）得到

由此方程可推出

從而ai（t）＝0（i＝0，1，2，…），即ξ（x，t，f）＝0.最后采用τf＝0，τx＝0，將η（x，t，f）的表達式代入超決定方程組，可求得決定方程（7）的通解為

ξ＝0， τ＝c1， η＝c2f+σ（x，t），

其中c1、c2為任意常數(shù)，σ（x，t）是偏微分方程（6）的任一解.因此，偏微分方程（6）的對稱群的全體生成元構(gòu)成一個無窮維李代數(shù)，它包含一個2維的子李代數(shù)L2＝span｛X1，X2｝，并且有一組基無窮維的子李代數(shù)L＝span｛X｝，其無

以及一個∞σ窮小李對稱算子為

無窮小李對稱算子Xσ對應(yīng)的李群為

其中a為群參數(shù).積分-偏微分方程（3）不接受李群Ta.事實上，采用積分-偏微分方程（3），將李群Ta的表達式代入積分-偏微分方程

因σ＝σ（x，t）是偏微分方程（6）的任一解，不是積分-偏微分方程（3）的解，對任意群參數(shù)a恒等式

表明李群Ta不是將積分-偏微分方程（3）的任一解映射變換成同一積分-偏微分方程的解.

無窮小李對稱算子X1和X2對應(yīng)的李群分別為

其中τ0和b分別是李群Tτ0和Tb的群參數(shù).積分-偏微分方程（6）接受李群Tb.事實上，采用積分-偏微分方程（3）將李群Tb的表達式代入積分-偏微分方程

對任意群參數(shù)b恒等式

表明李群Tb將積分-偏微分方程（3）的任一解映射變換成同一積分-偏微分方程的解.同理可證積分-偏微分方程（3）接受李群Tτ0.因此，基于無窮小李對稱算子（9）被積分-偏微分方程（3）接受的事實呈現(xiàn)下列定理1和2.

定理1偏微分方程（6）接受的無窮小李對稱算子，積分-偏微分方程（3）不全部接受.

定理2積分-偏微分方程（3）的對稱群的部分生成元構(gòu)成一個2維的子李代數(shù)L2＝span｛X1，X2｝，并且有一組基（9）.

針對定理1激發(fā)的思考，這里給出一個具有啟發(fā)性的常微分方程例證性的例子.設(shè)y＝y(tǒng)（x），對方程y′＝x-1兩邊同時關(guān)于x求導(dǎo)得y″＝1.于是易驗證方程y″＝1接受平移算子但方程y′＝x-1卻不接受.

3 方程（3）的群不變解、精確解及解的動力學(xué)行為

3.1 方程（3）的群不變解利用子李代數(shù)L2的一維最優(yōu)化子李代數(shù)span｛X2｝，span｛X1+αX2｝，α∈R，計算積分-偏微分方程（3）的群不變解、約化積分-常微分方程及顯式精確解.

情形span｛X1+αX2｝.李對稱算子X1+αX2的群不變量為J1＝x，J2＝exp（-αt）f，于是方程（3）的群不變解的表達式可假設(shè)為

函數(shù)φ（x）滿足約化的積分-常微分方程

一維子李代數(shù)span｛X2｝對應(yīng)的群不變量沒有找到，故相應(yīng)方程（3）的群不變解和約化方程皆沒有找到.

3.2 方程（3）的顯式精確解利用平移變換群Tτ0的平移作用，方程（3）的精確解可寫成采用觀察試湊函數(shù)方法［13-16］研究約化積分-常微分方程（10），可找到許多精確解，再結(jié)合相應(yīng)群不變解的表達式可獲得方程（3）的精確解.事實上，假設(shè)積分-常微分方程（10）的精確解的表達式可寫成

其中常數(shù)γ＞0，di（i＝1，…，n）為待決定的未知常數(shù).將表達式（11）代入積分-常微分方程（10），通過計算整理成關(guān)于xj（j＝0，1，…）的多項式，分別令xj（j＝0，1，…）的各項系數(shù)為零，得到關(guān)于未知參數(shù)di（i＝1，…，n）、α、ν、κ、γ、g的方程組.利用吳消元法［17］結(jié)合數(shù)學(xué)軟件Reduce［18］計算解得di（i＝1，…，n）、α、ν、κ、γ、g.采用積分-常微分方程（10）對應(yīng)的群不變解的表達式以及平移變換李群Tτ0的平移作用，得到積分-偏微分方程（3）的精確解為

當取n＝1，…，7時，積分-偏微分方程（3）的精確解（12）的計算結(jié)果列于表1.當n取其余值的情況可根據(jù)微生物種群細胞分裂實體模型的需要類似計算.表1中解的動力學(xué)行為分析僅考慮n＝1的情形，其它的解可類似分析.

表1 積分-偏微分方程（3）的顯式精確解Tab.1 Explicit exact solutions of the integro-partial differential equation（3）

3.3 方程（3）解的動力學(xué)行為選取n＝1時，精確解（12）的表達式為精確解（13）滿足動力學(xué)的相關(guān)性質(zhì).首先當x→∞時，f（x，t）→0，這表明對質(zhì)量足夠大的細胞，細胞分裂或破損進化分布函數(shù)值必然為零.另外f（x，t）→0，當ν＜1且t→∞時，這表明精確解是漸進穩(wěn)定的.而f（x，t）→∞，當ν＞1且t→∞時，這表明精確解是不穩(wěn)定的.若取ν＝1，精確解（13）是平凡的.精確解（13）對應(yīng)的邊值條件和柯西問題的初值條件分別為

精確解（13）在矩形區(qū)域［0，L］×［0，T］上對應(yīng)的邊值條件和柯西問題的初值條件分別為

通過計算得精確解（13）對應(yīng)的零階矩M0（t）和一階矩M1（t）分別為

3.4 動力學(xué)參數(shù)與種群密度分布實際微生物化學(xué)工程科學(xué)系統(tǒng)中，任意時刻細胞分裂的平均數(shù)量v（x，t）的最小值為2，如微生物種群一個細胞分裂成兩個，此時恒有v（x，t）＝2.又因v（x，t）用的是平均值，故v（x，t）的值可不要求一定為正整數(shù).在多重細胞分裂過程中，v（x，t）的取值常依賴實驗數(shù)據(jù)而決定.增長率G（x，t）代表質(zhì)量是x的細胞的變化率表示每單位時間內(nèi)細胞的質(zhì)量及沿著x軸方向細胞的傳輸速度.對任意給定的t＝t0時刻，將種群密度分布函數(shù)（13）看作是關(guān)于細胞的質(zhì)量x、分裂平均數(shù)量ν、增長率g及出生率κ的四元函數(shù)

可分別選取坐標平面（x，t），（x，ν），（x，g），（x，κ）研究函數(shù)值H的變化特征與性質(zhì)，為生物化學(xué)中細胞分裂過程選取合適的真實動力學(xué)參數(shù)值ν、κ、g提供參考.

選取坐標平面（x，t）和動力學(xué)參數(shù)ν＝2，κ＝0.02，g＝1，τ0＝0和ν＝4，κ＝0.1，g＝1.5，τ0＝0，細胞分裂進化動力學(xué)行為分布函數(shù)（14）在矩形區(qū)域［0，150］×［0，4］和［0，20］×［0，4］上的空間圖像分別見圖1的（a）和（b）.選取坐標平面（x，ν）及動力學(xué)參數(shù)τ0＝0，t＝1，κ＝0.2，g＝1.2，細胞分裂進化動力學(xué)行為分布函數(shù)（14）在矩形區(qū)域［0，8］×［2，8］上的空間圖像見圖2的（c）.選取坐標平面（x，g）及動力學(xué)參數(shù)τ0＝0，t＝1，κ＝1.2，ν＝2，細胞分裂進化動力學(xué)行為分布函數(shù)（14）在矩形區(qū)域［0，8］×［0.1，8］上的空間圖像見圖2的（d）.分布函數(shù)（14）在其余坐標平面上的情形可類似討論，為了行文簡潔，省略了相關(guān)動力學(xué)行為分布函數(shù)在空間的圖像性質(zhì)及特征分析.

＝圖1 圖（a）和（b）分別是ν2，4時細胞分裂進化行為分布函數(shù)（13）的空間圖像Fig.1 The figures（a）and（b）are spatial images of evolution behaviour of cells fission distribution function（13）withν＝2，4 respectively

＝圖2 圖（c）和（d）分別是平面（x，ν），（x，g）上t1時細胞分裂進化行為函數(shù)（14）的空間圖像Fig.2 The figures（c）and（d）are spatial images of evolution behaviour of cells fission distribution function（14）with t＝1 on（x，ν），（x，g）plane respectively

4 結(jié)束語

經(jīng)典李群分析方法［6-10］不能直接計算積分-偏微分方程（3）的對稱群.本文獲得了積分-偏微分方程（3）的對稱群、約化積分-常微分方程、群不變解及顯式精確解.分析了部分精確解的動力學(xué)行為性質(zhì)和特征.如何直接利用改進了的李群分析方法［11-12］計算積分-偏微分方程（3）的對稱群，值得在今后的工作研究中嘗試和探索.

致謝貴州省教育廳創(chuàng)新群體項目（黔教合KY字［2021］015）、貴州省教育廳青年科技人才成長項目（黔教合KY字［2017］150）、2018年度貴州財經(jīng)大學(xué)校級科研基金（2018XYB04）和貴州財經(jīng)大學(xué)創(chuàng)新探索及學(xué)術(shù)新苗項目（黔科合平臺人才［2017］5736-020）對本文給予了資助，謹致謝意.