基于最大糾纏｜χ〉態(tài)的量子信息集中

張玉春， 柏明強(qiáng)， 柳人菊， 吳 帆

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

根據(jù)量子不可克隆定理［1］，一個未知的量子態(tài)不能被精確克隆，使得克隆態(tài)與初始態(tài)完全相同.那么考慮是否可以進(jìn)行近似精確的克隆呢？基于這樣的問題，Buzek等［2］在1996年首次提出量子克隆的概念.量子克隆可以將一個未知態(tài)的信息以某些概率分布到更大的系統(tǒng)中.將量子克隆與隱形傳態(tài)相結(jié)合，Murao等［3］提出了量子遠(yuǎn)程克隆.

作為量子遠(yuǎn)程克隆的逆過程，2001年Murao等［4］首次提出了遠(yuǎn)程量子信息集中的概念.他們以一個四粒子非束縛糾纏態(tài)作為量子信道，僅通過局域操作就可將分布于空間分離的三方的量子信息集中回單粒子態(tài).從此，一些學(xué)者開始這方面的研究.2003年Yu等［5］利用四粒子GHZ態(tài)完成了優(yōu)化1→2的通用遠(yuǎn)程克隆之逆.此后，遠(yuǎn)程量子信息集中被推廣到多粒子和高維系統(tǒng)中［6-7］.不同于以往主要關(guān)注最優(yōu)通用遠(yuǎn)程克隆之逆，Wang等［8］2013年提出了輔助自由相位協(xié)變克隆之逆的量子遠(yuǎn)程信息集中.其主要思想是利用非對稱W態(tài)，將通過一個輔助自由相位協(xié)變克隆機(jī)而分布于空間分離的兩方的量子信息集中回單粒子態(tài).同年Bai等［9］提出了優(yōu)化非對稱經(jīng)濟(jì)1→3相位協(xié)變克隆之逆.2014年，Peng等［10］提出了優(yōu)化通用1→2的任意兩粒子量子信息集中協(xié)議.2016年，Wang等［11］提出了增加控制方的量子信息集中方案.

現(xiàn)有成果中，量子信道大多選用GHZ態(tài)［5，9，11-12］、W態(tài)［13-15］、Cluster態(tài)［16-17］等.到現(xiàn)在為止卻缺少用｜χ〉態(tài)作為量子信道來完成量子信息集中的研究.而Wu等［18］證明了｜χ〉態(tài)比GHZ態(tài)、W態(tài)及Cluster態(tài)具有更好的糾纏性質(zhì).Wang等［19］證明｜χ〉態(tài)很難被局部操作摧毀，具有很好的魯棒性.基于以上考慮，選擇｜χ〉態(tài)作為量子信道完成量子信息集中是有意義的.

1 量子遠(yuǎn)程信息集中

1.1 1→3的相位協(xié)變量子遠(yuǎn)程克隆假設(shè)通過優(yōu)化非對稱經(jīng)濟(jì)1→3相位協(xié)變量子克隆機(jī)［20］后，一個未知赤道態(tài)

的信息被加載到由粒子A、B和C構(gòu)成的克隆態(tài).

其中，粒子A、B、C分別屬于空間分離三方Alice、Bob和Charlie.并且態(tài)｜Ψ1〉A(chǔ)BC和｜Ψ2〉A(chǔ)BC被定義如下：

系數(shù)a、b和c滿a2+b2+c2＝1且a，b，c≥0.

1.2 以糾纏χ態(tài)為信道的遠(yuǎn)程信息集中考慮四粒子糾纏｜χ〉態(tài)

作為量子信道，將態(tài)｜Ψ〉A(chǔ)BC的信息集中回到一個單粒子態(tài)｜τ〉D，即｜Ψ〉A(chǔ)BC→｜τ〉D.這里粒子1、2、3、D分別屬于Alice、Bob、Charlie和David（David是量子信息｜τ〉D的恢復(fù)方）.于是整個系統(tǒng)為

利用Bell基系統(tǒng)總態(tài)｜T〉可以表示為

其中

而?Ui是酉操作，具體關(guān)系及酉操作?Ui見表1.

表1 ｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）與｜ξj〉D（j＝1，2，3，4）的關(guān)系Tab.1 Relationship between｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）and｜ξj〉D（j＝1，2，3，4）

（5）式中

其中

（7）式中i＝1時s1＝1，t1＝-1，r1＝-1.則｜ρ1〉的第一項(xiàng)｜Φ1〉A(chǔ)1｜Φ-1〉B2｜Ψ-1〉C3也即｜Φ+〉A(chǔ)1｜Φ-〉B2｜Ψ-〉C3具體指Alice、Bob及Charlie對各自的粒子對執(zhí)行Bell測量｜Φ+〉A(chǔ)1、｜Φ-〉B2、｜Ψ-〉C3.其他測量情況類似.在此之后，他們需要將自己的測量結(jié)果以經(jīng)典通信的方式告訴David.根據(jù)（5）式，一旦三方實(shí)施聯(lián)合Bell測量，總系統(tǒng)就會坍縮成

信息恢復(fù)方David再對粒子D按表1執(zhí)行適當(dāng)?shù)挠喜僮?，｜ξi〉（i＝1，2，…，16）就可以轉(zhuǎn)化為｜ξi〉（i＝1，2，3，4）之一.因此，只需要針對

進(jìn)行討論.

假設(shè)，Alice、Bob及Charlie聯(lián)合測量結(jié)果為｜Φ+〉A(chǔ)1｜Φ-〉B2｜Ψ-〉C3，那么系統(tǒng)的態(tài)將坍縮為

忽略全局因子并將其歸一化得到

為重構(gòu)原始態(tài)，David引入一個處于基態(tài)｜0〉D′的輔助粒子D′，從而粒子D和D′構(gòu)成的復(fù)合態(tài)為

接下來，用2種不同的測量方法來恢復(fù)初始量子態(tài)，即重新構(gòu)建初態(tài)

1.2.1利用投影測量來進(jìn)行量子信息集中 本小節(jié)主要利用投影測量來完成量子信息集中，并對系數(shù)a、b、c做2種情況的討論.

第一種情況：c≥0，a≥b，則（a+b+c）≥（a+b-c），（a+c-b）≥（b+c-a）.

為了恢復(fù)初始量子信，David選擇適當(dāng)?shù)挠献儞QU1如下：

然后，在基｛｜00〉、｜01〉、｜10〉、｜11〉｝DD′下對粒子DD′施行酉運(yùn)算U1.這樣，粒子D和D′的態(tài)變成

David再對輔助粒子D′進(jìn)行投影測量：如果測量結(jié)果為｜0〉D′，則原始態(tài)被恢復(fù)，成功的概率為

若測量結(jié)果為｜1〉D′，則信息集中失敗.

若聯(lián)合Bell測量后系統(tǒng)塌縮為

David選擇酉變換U2、U3、U4，用類似方法就能恢復(fù)原始態(tài)，U2、U3、U4如下

表2 坍縮態(tài)｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）及執(zhí)行的酉操作和UiTab.2 Collapse state｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）and unitary operationand Ui

表2 坍縮態(tài)｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）及執(zhí)行的酉操作和UiTab.2 Collapse state｜ξi〉D（i＝1，2，…，16）and unitary operationand Ui

｜ξi〉D 需在｜ξi〉D上執(zhí)行的?U+i投影測量階段U i｜ξi〉D，i≡1（mod 4） ?U+i U 1｜ξi〉D，i≡2（mod 4） ?U+i U2｜ξi〉D，i≡3（mod 4） ?U+i U3｜ξi〉D，i≡0（mod 4） ?U+i U 4

整個方案成功的概率為

第二種情況：c≥0，a＜b，則（a+b+c）＞（a+b-c），（a+c-b）＜（b+c-a），采用與上面一樣的方法就可以完成信息集中.其中相應(yīng)的酉算子如下：

整個方案成功的概率為

1.2.2利用POVM測量來進(jìn)行量子信息集中

POVM測量又稱為半正定算子值測量，常被用于概率性量子信息任務(wù)處理中.與投影測量相比，POVM測量要更為簡單，后者算子的矩陣階數(shù)是前者的一半，并且也不需要再滿足算子之間的正交性.基于此，考慮用POVM測量來完成信息集中任務(wù).以｜ξ′1〉DD′為例，其余情況類似.David對粒子對（D，D′）執(zhí)行受控非門.其中粒子D為控制粒子，而粒

子D′為目標(biāo)粒子.從而｜ξ′1〉DD′變?yōu)?/p>

為了恢復(fù)初始量子信息，｜ξ′1〉DD′可以改寫為

David需要對輔助粒子D′執(zhí)行某適當(dāng)測量獲得態(tài)

和［（a+b-c）｜0〉-（a+b+c）｜1〉］D′.通常情況下，這二者不正交，因此不能確定性區(qū)分.但可以使用POVM測量概率性地對二者加以區(qū)分.POVM算子取下列形式，對于系數(shù)的討論，也分2種情況.

第一種情況：c≥0，a≥b，則（a+b+c）≥（a+b-c），（a+c-b）≥（b+c-a），則

其中

I為恒等算子，與a、b、c密切相關(guān)的參數(shù)η1應(yīng)確保P3為半正定算子，參數(shù)η1必須滿足

3個算子可以寫成下列矩陣形式：執(zhí)行POVM測量后，David能以如下概率獲得P1和P2，

利用POVM測量David一定能確定粒子D′的態(tài).而以概率David可以得到P3的值，但不能確定粒子D′的態(tài).一旦David確定了

或

就意味著知道了態(tài)

或

表3 坍縮態(tài)｜ξi〉D（i＝1，2，3，4）與執(zhí)行POVM測量的相關(guān)參數(shù)Tab.3 Collapse state｜ξi〉D（i＝1，2，3，4）and parameters related to POVM measurement

從而整個方案成功的概率為

第二種情況：若c≥0，a＜b，則

采用與上面一樣的方法就可以完成信息集中，其相關(guān)參數(shù)的取值與表3一樣.整個方案成功的概率為

關(guān)于上述方案的物理實(shí)現(xiàn)問題，主要考慮以下4點(diǎn)：1）四粒子最大糾纏｜χ〉態(tài)的準(zhǔn)備，文獻(xiàn)［21］給出了一個任意四粒子｜χ〉態(tài)的聯(lián)合遠(yuǎn)程制備方案.2）Bell態(tài)測量，文獻(xiàn)［22-23］中關(guān)于原子和光量子的Bell測量已經(jīng)能被物理實(shí)現(xiàn).3）POVM測量，文獻(xiàn)［24］表明在一定輔助條件下POVM測量能被物理實(shí)現(xiàn).4）投影測量，文獻(xiàn)［25］證明利用Bell基投影測量可以物理實(shí)現(xiàn).基于這些已有的研究，此方案在物理上是可行的.

2 安全性分析

假設(shè)在方案中存在不誠實(shí)的參與者（不妨是Alice），她打算單獨(dú)安全地重構(gòu)原始態(tài)而不需要其他參與者幫助.這種內(nèi)部竊聽比外部竊聽更有力，因?yàn)楦`聽者合法地知道部分信息.在量子信息集中過程中，Alice、Bob、Charlie三者需要對自己的粒子對執(zhí)行Bell測量，并將測量結(jié)果以經(jīng)典通信的方式發(fā)送給David.在經(jīng)典信息的發(fā)送過程中，竊聽者可以竊聽消息而無法篡改它們，因此存在經(jīng)典信息泄露的可能.但在本方案中，這種經(jīng)典信息的泄露也無法使得Alice的竊聽成功.假設(shè)Alice竊取到經(jīng)典信息并以的概率猜測到某次測量中Bob和Charlie的測量結(jié)果均為｜Φ+〉，此時Alice和David的聯(lián)合態(tài)形式為：

由于粒子D是糾纏信道中的粒子，這使得如果David不對自己擁有的粒子進(jìn)行測量并向Alice公布測量結(jié)果，那么Alice將無法單獨(dú)地重構(gòu)原始態(tài)，從而竊聽失敗.因此Alice采用第二種方法，把一個初態(tài)為｜0〉的輔助粒子E與信道中Bob或Charlie的粒子進(jìn)行糾纏（不妨是Bob），然后測量輔助粒子來竊取信息.Alice執(zhí)行CNOT操作將2粒子與E粒子進(jìn)行糾纏，2粒子為控制粒子，E粒子為目標(biāo)粒子，這樣糾纏后的信道為

系統(tǒng)總態(tài)｜T′〉＝｜Ψ〉A(chǔ)BC?｜χ′〉12E3D.當(dāng)Alice、Bob、Charlie執(zhí)行聯(lián)合測量｜Φ+〉A(chǔ)1｜Φ+〉B2｜Φ+〉C3后，粒子E和D塌縮為

（27）式中粒子D和E處于糾纏狀態(tài)，但不管David對自己的粒子做什么測量，Alice都無法通過粒子E獲得完整的信息，竊聽失敗.綜上所述，本方案是安全的.

3 結(jié)論

以四粒子最大糾纏｜χ〉態(tài)作為量子信道，在優(yōu)化非對稱經(jīng)濟(jì)1→3相位協(xié)變量子克隆的基礎(chǔ)上提出了一種量子信息集中方案.分別采用投影測量和POVM測量將信息集中回單粒子態(tài)，并對整個方案成功的概率做了討論.通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)采用不同的測量方法成功的概率不一樣，方案成功的概率都依賴于克隆態(tài)的系數(shù).最后對方案實(shí)驗(yàn)的可行性和安全性進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)方案在物理上是可以實(shí)現(xiàn)的并且是安全的.