基于Lyapunov范數(shù)的線性斜積半流非一致指數(shù)二分性的離散Datko型定理

岳 田， 宋曉秋

（1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北十堰442002； 2.中國礦業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇徐州221116）

眾所周知，近年來關(guān)于微分系統(tǒng)定性理論的研究取得了突破性的進(jìn)展，尤其是在指數(shù)漸近行為方面，大量公開問題的解決，使得相關(guān)理論不斷拓展和完善［1-12］.1930年，Perron［1］在有限維空間中利用“輸入-輸出”方法（又稱Perron方法或測(cè)試函數(shù)方法）建立了齊次微分方程˙x（t）＝A（t）x（t）的解的指數(shù)漸近行為（指數(shù)二分性）與對(duì)應(yīng)的非齊次微分方程˙x（t）＝A（t）x（t）+f（t）之間的聯(lián)系.隨后，Massera等［2］在其基礎(chǔ)上，將其結(jié)果擴(kuò)展到了無限維空間的情形，并首次研究了相應(yīng)微分系統(tǒng)的非一致指數(shù)漸近行為.2010年，Barreira等［3］通過定義合適的范數(shù)（又稱Lyapunov范數(shù)），討論了演化過程非一致指數(shù)穩(wěn)定性與容許性之間的聯(lián)系.此后，通過Lyapunov范數(shù)來獲取非一致指數(shù)漸近行為（指數(shù)穩(wěn)定性、指數(shù)膨脹性、指數(shù)二分性、指數(shù)三分性）成為了一個(gè)重要的技術(shù)手段，如文獻(xiàn)［4］針對(duì)具有非一致指數(shù)增長的演化族，研究了其非一致指數(shù)二分性與函數(shù)空間對(duì)（Lp（X），Lq（X））的容許性之間的聯(lián)系，獲得了刻畫非一致指數(shù)二分性的Perron型結(jié)論；文獻(xiàn)［5］對(duì)于非一致指數(shù)增長的半流上的強(qiáng)連續(xù)上閉鏈給出了非一致指數(shù)二分性存在的容許性條件.

作為C0半群、演化算子、演化過程的推廣，由半流和上閉鏈構(gòu)成的線性斜積（半）流，是動(dòng)力系統(tǒng)漸近行為分析方面的一類重要工具.如文獻(xiàn)［6］借助穩(wěn)定性理論中的Datko-Pazy型方法［7-9］，討論了斜積半流一致指數(shù)穩(wěn)定的特征，建立了其一致指數(shù)穩(wěn)定的若干充要條件；文獻(xiàn)［10-11］基于Lyapunov范數(shù)將Datko相關(guān)經(jīng)典結(jié)論擴(kuò)展到了線性斜積半流，分別給出了其非一致指數(shù)穩(wěn)定與非一致指數(shù)二分的Datko型條件的連續(xù)型刻畫.

受文獻(xiàn)［11］的啟發(fā)，從已知的連續(xù)型特征出發(fā)，本文將基于Lyapunov范數(shù)建立Banach空間中刻畫線性斜積半流非一致指數(shù)二分的Datko型條件的離散形式，給出若干充要條件，所得結(jié)論推廣了指數(shù)穩(wěn)定性與指數(shù)二分性理論中一些已有結(jié)果（如Datko、Pazy、Preda等）.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)Banach空間，Θ是一個(gè)度量空間，將空間X上的范數(shù)及作用其上面的有界線性算子全體B（X）上的范數(shù)記作‖·‖.記I為單位算子，［a］表示不超過實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)，M（R+，X）表示所有從R+到X的Lebesgue可測(cè)函數(shù)構(gòu)成的集合.

定義1.1［5，10-11］稱映射σ：Θ×R+→Θ，（θ，的線性連續(xù)半流，如果滿足

（i）σ（θ，0）＝θ，?θ∈Θ；

（ii）σ（θ，t+s）＝σ（σ（θ，s），t），?t，s≥0，θ∈Θ；

定義1.2［5，10-11］設(shè)σ為Θ上的線性連續(xù)半流，稱算子值函數(shù)Φ：Θ×R+→B（X），（θ，t）Φ（θ，t）為具有（非）一致指數(shù)增長的強(qiáng)連續(xù)上閉鏈，如果滿足

（i）Φ（θ，0）＝I，?θ∈Θ；

（ii）對(duì)每個(gè)θ∈Θ及x∈X，Φ（θ，·）x連續(xù)；

（iii）Φ（θ，t+s）＝Φ（σ（θ，t），s）Φ（θ，t），?t，s≥0，θ∈Θ；

（iv）?ω∈R及M：Θ→R+使得對(duì)?t≥0，θ∈Θ有‖Φ（θ，t）‖≤M（θ）eωt.

注1.1［5，10-11］若，則稱Φ具有一致指數(shù)增長性.

稱ε＝X×Θ上的動(dòng)力系統(tǒng)π＝（Φ，σ）為線性斜積半流［5，10-11］，其中

設(shè)π＝（Φ，σ）為一具有（非）一致指數(shù)增長的線性斜積半流，記易知為定義在X上的一個(gè)范數(shù)（即Lyapunov范數(shù)，詳見文獻(xiàn)［5，10-11］），且滿足

注1.2［5，10-11］對(duì)?θ∈Θ，x∈X，t≥0，有

對(duì)每個(gè)p∈［1，∞］，記

為了同文獻(xiàn)［11］保持連貫，本文將作相同假定：X1（θ）是閉的，且存在一個(gè)閉子空間X2（θ）使得X＝X1（θ）⊕X2（θ）.P1（θ）、P2（θ）為兩個(gè)投影族，并滿足Pi（θ）（X）＝Xi（θ），i＝1，2.

定義1.3［5，11］稱線性斜積半流π＝（Φ，σ）為非一致指數(shù)二分的，如果存在常數(shù)N1，N2，v＞0，使得

注1.3在定義1.3中，若P2（θ）＝0，則稱線性斜積半流π＝（Φ，σ）為非一致指數(shù)穩(wěn)定的［10］；若P1（θ）＝0，則稱線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數(shù)膨脹的.

引理1.1［11］如果對(duì)所有的θ∈Θ及t≥0有

則線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數(shù)二分的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)p，K，m＞0使得

采用類似于文獻(xiàn)［12］中定理3.1的證明方法，可得引理1.2.

引理1.2如果對(duì)所有的θ∈Θ及t≥0有

則線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數(shù)二分的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)p，K＞0使得

注1.4若將引理1.1與引理1.2中的條件

去掉，則后面相應(yīng)的關(guān)系式僅為線性斜積半流π是非一致指數(shù)二分的充分條件，如文獻(xiàn)［11］中的定理

3.1.

2 主要結(jié)論

定理2.1如果對(duì)所有的θ∈Θ及t≥0有

則線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數(shù)二分的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)p，K′＞0使得

證明必要性 若線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數(shù)二分的，則利用定義1.3可得，對(duì)?θ∈Θ，?x∈X1（θ）有

從而

另一方面，借助定義1.3以及

的事實(shí)，可得對(duì)于?θ∈Θ，?n∈N*，?x∈X2（θ）以及k∈｛0，1，…，n｝，有

進(jìn)而，

故有

根據(jù)（1）與（2）式，取

可得結(jié)論成立，其中N1、N2、v詳見定義1.3.

充分性 設(shè)θ∈Θ，x∈X1（θ），由于

故有

設(shè)θ∈Θ，x∈X2（θ）.記

則由條件（ii）有

進(jìn)而

另一方面，

故對(duì)?t≥0有

根據(jù)（3）-（5）式，取K＝e2ωK′，m＝1／K′，可得引理1.1中的條件（i）-（iii）成立，故線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數(shù)二分的.

定理2.2如果對(duì)所有的θ∈Θ及t≥0有

則線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數(shù)二分的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)p，K′＞0使得

證明必要性 顯然.類似定理2.2的討論可得關(guān)系式（i），基于

可得關(guān)系式（ii）成立.

充分性 設(shè)θ∈Θ，x∈X1（θ），則由條件（i）有

從而類似于定理2.1中的討論，可得（3）式成立.

設(shè)θ∈Θ，x∈X2（θ）＼｛0｝，t≥0.記m＝［t］，則

進(jìn)一步地，

這意味著

故借助引理1.2可得線性斜積半流π＝（Φ，σ）是非一致指數(shù)二分的.

致謝湖北汽車工業(yè)學(xué)院學(xué)生工作研究重點(diǎn)項(xiàng)目（2020XGYJ06）和湖北汽車工業(yè)學(xué)院黨的十九屆四中全會(huì)精神研究闡釋專項(xiàng)課題（No.8）對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.