關(guān)于FPn-投射模

張健芳， 高增輝

（成都信息工程大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610225）

在同調(diào)代數(shù)中，投射模、內(nèi)射模和平坦模是基本且重要的研究對象.1970年，Stenstr?m［1］引入FP-內(nèi)射模的概念，并利用該內(nèi)射模刻畫了凝聚環(huán).稱一個右R-模M為FP-內(nèi)射的，如果對每個有限表現(xiàn)右R-模F，都有Ext1R（F，M）＝0成立.相應(yīng)地，右R-模M的FP-內(nèi)射維數(shù)FP-idR（M），定義為使Extn+1R（F，M）＝0的最小正整數(shù)n；如果這樣的n不存在，那么記為FP-idR（M）＝∞.進而定義環(huán)R的右整體FP-內(nèi)射維數(shù)為r.FP-dim（R）＝sup｛FP-idR（M）｜M是一個右R-模｝.對任意非負(fù)整數(shù)n，稱一個右R-模是有限n-表現(xiàn)的，如果存在一個右R-模的正合列Pn→Pn-1→…→P0→M→0，其中每個Pi是有限生成的投射模［2-3］.1994年，Costa［2］利用有限n-表現(xiàn)模類定義并研究了n-凝聚環(huán)（即環(huán)R稱為右n-凝聚，若每個有限n-表現(xiàn)右R-模是有限（n+1）-表現(xiàn)）.1996年，Chen等［4］定義了n-FP-內(nèi)射與n-平坦模，并且給出n-凝聚環(huán)一些類似于凝聚環(huán)的很好的刻畫.

2003年，周德旭［5］引入FPn-內(nèi)射與FPn-平坦模的概念，并利用它們刻畫了右n-凝聚環(huán).稱一個右R-模M為FPn-內(nèi)射模，若對任意的有限n-表現(xiàn)右R-模P，有Ext1R（P，M）＝0.2017年，Bravo等［3］也定義了FPn-內(nèi)射模和FPn-平坦模的概念，討論與有限n-表現(xiàn)模和n-凝聚環(huán)相關(guān)的相對同調(diào)性質(zhì)，得到許多很好的刻畫.2005年，Mao等［6］引入并研究模與環(huán)的FP-投射維數(shù).設(shè)M是右R-模，記fpd（M）＝inf｛n｜Extn+1R（M，N）＝0，N是任意FP-內(nèi)射右R-模｝，稱為M的FP-投射維數(shù).若不存在這樣的n，則規(guī)定fpd（M）＝∞.特別地，若fpd（M）＝0，則稱M為FP-投射模.環(huán)R的右FP-投射整體維數(shù)定義為

rfpD（R）＝sup｛fpd（M）｜M是一個有限生成右R-模｝.隨后，F(xiàn)P-投射模及FP-投射維數(shù)受到了廣泛關(guān)注和研究［7-9］.受文獻［3］和［5］的啟發(fā)，對任意整數(shù)n≥0或n＝∞，引入FPn-投射模和模的FPn-投射維數(shù)的概念，并利用它們給出右n-凝聚環(huán)一些新刻畫.

下面所討論的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模指酉模，采用的術(shù)語和符號都是標(biāo)準(zhǔn)的［10-14］.

1 預(yù)備知識

下面將給出本文所需要的一些基本概念和結(jié)果.

定義1.1［2］稱右R-模P為有限n-表現(xiàn)模，若存在一個右R-模的正合列

其中每個Fi是有限生成自由模（等價地，投射模）.

注1.21）由定義易知，對任意的n∈N，每個有限生成投射模都是有限n-表現(xiàn)的，且右R-模M是有限0-表現(xiàn)模（有限1-表現(xiàn)模）當(dāng)且僅當(dāng)它是有限生成的（有限表現(xiàn)的）.

2）記所有n-表現(xiàn)右R-模組成的模類為FPn，則有在文獻［15-16］中，F(xiàn)P∞也稱為超有限表現(xiàn)模類.

3）由定義可知，每個有限（n+1）-表現(xiàn)右R-模都是有限n-表現(xiàn)的，但反之未必.如果每個有限n-表現(xiàn)右R-模是有限（n+1）-表現(xiàn)的，則環(huán)R稱為右n-凝聚環(huán)［2］.

定義1.3［3，5］稱右R-模M為FPn-內(nèi)射模，若對任意的有限n-表現(xiàn)右R-模P，均有

注1.41）由定義知，右R-模M是FP0-內(nèi)射模（FP1-內(nèi)射模）當(dāng)且僅當(dāng)它是內(nèi)射模（FP-內(nèi)射模）.

2）用FPn-Inj表示所有FPn-內(nèi)射右R-模組成的模類，則容易得到）對于n＝∞時，文獻［16］和［17］分別獨

3立研究了FP∞-內(nèi)射模的同調(diào)性質(zhì)，F(xiàn)P∞-內(nèi)射模也被稱為弱內(nèi)射模以及absolutely clean模.

Ng［18］定義了模與環(huán)的有限表現(xiàn)維數(shù)，即

定義1.5［18］設(shè)M是一個右R-模，定義M的有限表現(xiàn)維數(shù)為f.p.dim（M）＝inf｛n｜存在一個右R-模的正合列Pn+1→Pn→…→P0→M→0，其中每個Pi是投射模，且Pn+1，Pn是有限生成的｝.若這樣的n不存在，則記f.p.dim（M）＝∞.

令r.f.p.dim（R）＝sup｛f.p.dim（M）｜M是有限生成右R-模｝為環(huán)R的右整體有限表現(xiàn)維數(shù).

定義1.6［6］設(shè)M是一個右R-模，記為--內(nèi)射右R模｝，稱之為M的FP投射維數(shù).若這是任意FP-樣的n不存在，則規(guī)定fpd（M）＝∞.特別地，若fpd（M）＝0，則稱M為FP-投射模.

記rfpD（R）＝sup｛fpd（M）｜M是一個有限生成右R-模｝，稱為環(huán)R的右FP-投射整體維數(shù).

引理1.7［6］設(shè)R是右凝聚環(huán)且M是一個右R-模，則有fpd（M）≤n當(dāng)且僅當(dāng)存在一個右R-模的正合列0→Pn→Pn-1→…→P1→P0→M→0，其中每個Pi是FP-投射的.

定義1.8［11］1）令F是一個右R-模類，M是一個右R-模.稱同態(tài)φ：M→F為M的F-預(yù)包絡(luò)，其中F∈F，若對任意同態(tài)f：M→F′，F(xiàn)′∈F，恒存在同態(tài)g：F→F′，使得gφ＝f.進而，若F＝F′且f＝φ時，還有同態(tài)g：F→F′是自同構(gòu)，則稱φ：M→F是M的F-包絡(luò).對偶地，可以定義M的F-（預(yù)）覆蓋.

2）設(shè)F是一個右R-模類.令F⊥：＝對所有C∈F｝和對所有C∈F｝，分別稱為F的右正交類和左正交類.

3）設(shè)A和B是2個模類.若A＝⊥B，且B＝A⊥，則稱（A，B）為一個余撓對或余撓理論.進而，若每個模既有A-覆蓋，又有B-包絡(luò)，則稱（A，B）為完備的（complete）余撓理論；若A對滿同態(tài)的核封閉（等價地，B對單同態(tài)的余核封閉），則稱（A，B）為遺傳的（hereditary）余撓理論.

2 FPn-投射模

下面將引入FPn-投射模的概念，討論該模類的一些基本性質(zhì)，并利用它們刻畫了右n-凝聚環(huán).

定義2.1稱一個右R-模M為FPn-投射模，若對任意的FPn-內(nèi)射右R-模N，有Ext1R（M，N）＝0.用FPn-Proj表示所有FPn-投射右R-模組成的模類.

注2.21）因為所有的FPm-內(nèi)射模都是FPn-內(nèi)射的（n≥m），由定義可知，每個FPn-投射模是FPm-投射的，從而有

2）由文獻［3］的推論4.2可知，（FPn-Proj，F(xiàn)Pn-Inj）是一個完備余撓對.再根據(jù)文獻［11］的定義7.1.5和定理7.4.1可得，每個右R-模都有特殊的FPn-內(nèi)射預(yù)包絡(luò)，即若M是任意右R-模，則存在一個右R-模的正合列0→M→C→F→0，其中C是FPn-內(nèi)射模，F(xiàn)是FPn-投射模；對偶地，每個右R-模都有特殊的FPn-投射預(yù)覆蓋.

3）對任意整數(shù)n≥1，一般情況下FPn-投射模未必是FPn+1-投射的.事實上，設(shè)R是一個2-凝聚但非凝聚的環(huán)，例如，設(shè)V是一個非Noether賦值環(huán)且rank（V）＞1，令R：＝V［［T］］為形式冪級數(shù)環(huán)，則由文獻［2］的例4.4即知，R是2-凝聚環(huán)但不是凝聚的.現(xiàn)在設(shè)F是一個有限表現(xiàn)R-模.由定義2.1得F是FP-投射的.斷定F必然不是FP2-投射的；若不然，假設(shè)F是FP2-投射的，由于R不是凝聚環(huán)，故由文獻［5］的定理1可知，存在非FP-內(nèi)射的FP2-內(nèi)射R-模M，又根據(jù)注2.2的2），即知是得M是FP-內(nèi)射模，這與M的選取矛盾.

命題2.3令｛Mi｝是一簇右R-模，則⊕Mi是FPn-投射模當(dāng)且僅當(dāng)每個Mi是FPn-投射模.

證明對任意的FPn-內(nèi)射右R-模N，由同構(gòu)知結(jié)論成立.

命題2.4設(shè)0→A→B→C→0是一個右R-模的正合列，其中C是FPn-投射模，則有：

1）若A是FPn-投射模，則B是FPn-投射的；

2）若B是FPn-投射模，則A是FPn-1-投射模.

證明1）由定義即知.

2）設(shè)M是FPn-1-內(nèi)射右R-模，則存在右R-模的正合列0→M→E→N→0，其中E是內(nèi)射模.由文獻［5］的命題4可知，N是FPn-內(nèi)射的.由于C是FPn-投射模，故由文獻［3］的推論4.2知，Ext1R（C，N）＝0.又注意到每個FPn-1-內(nèi)射模都是FPn-內(nèi)射的，從而M是FPn-內(nèi)射的.于是有下面的正合列

注意到

因而

故A是FPn-1-投射模.

定義2.5若環(huán)R作為右R-模是FPn-內(nèi)射的，則稱環(huán)R為右自FPn-內(nèi)射環(huán).

下面的結(jié)論推廣了文獻［6］的命題2.9.

命題2.6令R是右自FPn-內(nèi)射環(huán)，M是一右R-模，則以下條件等價：

1）M是FPn-投射模；

2）對任意右R-模正合列0→A→B→C→0，其中A是FPn-內(nèi)射模，HomR（M，-）保持正合；

3）對每個右R-模正合列0→K→F→M→0，其中F是FPn-內(nèi)射模，K→F是K的一個FPn-內(nèi)射預(yù)包；

4）M是某一個FPn-內(nèi)射預(yù)包K→F的余核，其中F是投射右R-模.

證明1）?2） 令0→A→B→C→0是一個右R-模的正合列，其中A是FPn-內(nèi)射的，則由1）可知Ext1R（M，A）＝0.于是有HomR（M，B）→HomR（M，C）→0是正合列，從而2）成立.

2）?1） 設(shè)A是一個FPn-內(nèi)射右R-模，且0→A→B→C→0是正合列，其中B為內(nèi)射模，則有正合列

HomR（M，B）→HomR（M，C）→Ext1R（M，A）→0.再由2）有正合列HomR（M，B）→HomR（M，C）→0，所以Ext1R（M，A）＝0，故M是FPn-投射的.

1）?3） 設(shè)0→K→F→M→0是右R-模的正合列，其中F是FPn-內(nèi)射模.對任意的FPn-內(nèi)射右R-模N，由1）有Ext1R（M，N）＝0.于是0→HomR（M，N）→HomR（F，N）→HomR（K，N）→0是正合的，從而K→F是K的一個FPn-內(nèi)射預(yù)包.

3）?4） 設(shè)0→K→F→M→0是一個右R-模的正合列，其中F是投射模.由于R是自FPn-內(nèi)射環(huán)，可得F是FPn-內(nèi)射的.再由3）即知K→F是K的一個FPn-內(nèi)射預(yù)包.

4）?1） 由條件4），存在一個右R-模正合列0→K→F→M→0，其中F是投射模，K→F是K的一個FPn-內(nèi)射預(yù)包.對任意的FPn-內(nèi)射右R-模N，有正合列HomR（F，N）→HomR（K，N）→0.注意到HomR（F，N）→HomR（K，N）→Ext1R（M，N）→0是正合的，所以Ext1R（M，N）＝0，故M是FPn-投射模.

下面利用FPn-投射模的性質(zhì)給出右n-凝聚環(huán)的一些等價刻畫.

定理2.7對任意環(huán)R和任意整數(shù)n≥1，以下各條件等價：

1）R是右n-凝聚環(huán)；

2）FPn-Proj＝FP∞-Proj；

3）FPn-Proj＝FPn+1-Proj；

4）FPn-投射模類是可解的（resolving）；

5）（FPn-Proj，F(xiàn)Pn-Inj）是遺傳余撓對；

6）對每個k＞1以及任意N∈FPn-Inj和M∈

證明1）?2） 設(shè)R是右n-凝聚環(huán)，則由文獻［3］的定理5.5可知FPn-Inj＝FP∞-Inj.再根據(jù)定義2.1，有

2）?3） 假設(shè)FPn-Proj＝FP∞-Proj.注意到FPn-Proj?FPn+1-Proj?…?FP∞-Proj，于是得FPn-Proj＝FPn+1-Proj，即3）成立.

3）?1） 設(shè)F是有限n-表現(xiàn)右R-模，且N是FPn+1-內(nèi)射右R-模.由注2.2的3）即得，N∈（FPn+1-Proj）⊥＝（FPn-Proj）⊥＝FPn-Inj.于是有再由文獻［3］的引理5.2，得F是有限（n+1）-表現(xiàn)的，從而得R是右n-凝聚環(huán).

1）?6） 設(shè)M是一個FPn-投射右R-模，且N是一個FPn-內(nèi)射右R-模，則有正合列0→N→E→Ω-1（N）→0，其中E是內(nèi)射模，Ω-1（N）是N的第一次上合沖.再由文獻［5］的命題4可知，Ω-1（N）是FPn+1-內(nèi)射模.注意到R是右n-凝聚環(huán)，由文獻［3］的定理5.5可得FPn-Inj＝FPn+1-Inj，故Ω-1（N）∈FPn-Inj.于是有下面的正合列

6）?4） 顯然，每個投射模都是FPn-投射的.由命題2.4得FPn-投射模類關(guān)于擴張是封閉的.下面只需證FPn-投射模類對于滿同態(tài)的核封閉即可.設(shè)0→K→F→M→0是一個右R-模的短正合列，其中M和F是FPn-投射模.對任意的FPn-內(nèi)射右R-模N，有下面的正合列

由于F∈FPn-Proj，N∈FPn-Inj，故0.又由6）得，因而即K是FPn-投射模.這就證明了FPn-投射模類是可解的.

4）?5） 由文獻［3］的推論4.2可得（FPn-Proj，F(xiàn)Pn-Inj）是一個完備余撓對.又由4）知FPn-投射模類是可解的，故有（FPn-Proj，F(xiàn)Pn-Inj）是遺傳余撓對.

5）?1） 由文獻［3］的定理5.5即得.

3 FPn-投射維數(shù)

下面引入并刻畫環(huán)與模的FPn-投射維數(shù).

定義3.1設(shè)M是一個右R-模，對任意FPn-內(nèi)射模N，則稱使得成立的最小非負(fù)整數(shù)m為M的FPn-投射維數(shù).用FPnpd（M）表示，如果不存在這樣的m，則記FPn-pd（M）＝∞.令r.FPn-D（R）＝sup｛FPnpd（M）｜M是有限（n-1）-表現(xiàn)模｝，稱環(huán)R的右FPn-投射整體維數(shù).

顯然，對任意右R-模M，有FPn-pd（M）≤pd（M），且在環(huán)R上r.FPn-D（R）≤r.D（R）.

命題3.2設(shè)R是右n-凝聚環(huán)，M是一個右R-模，則有

證明由于每個FPn-投射右R-模都是FP-投射的，故有fpd（M）≤FPn-pd（M），則只需證FPn-pd（M）≤f.p.dim（M）.不妨設(shè)f.p.dim（M）＝n＜∞，則存在右R-模的正合列Pn+1→Pn→…→P0→M→0，其中每個Pi是投射模，且Pn+1和Pn是有限生成的.令Kn-1＝Coker（Pn+1→Pn）.注意到Pn+1是有限（n-1）-表現(xiàn)的，則有Kn-1是有限n-表現(xiàn)的，從而有正合列0→Kn-1→Pn-1→…→P0→M→0，這里Kn-1是有限n-表現(xiàn)的.因此，對任意的FPn-內(nèi)射模N，有

所以FPn-pd（M）≤n，即

定理3.3設(shè)R是右n-凝聚環(huán)，n≥0，則對任意的右R-模M，以下各條等價：

1）FPn-pd（M）≤m；

2）對任意FPn-內(nèi)射右R-模N與任意k≥m，有

3）對任意FPn-內(nèi)射右R-模N）＝0；

4）對任意右R-模的正合列0→Pm→Pm-1→…→P1→P0→M→0，其中P0，P1，…，Pm-1是FPn-投射模，則Pm是FPn-投射的；

5）若0→Pm→Pm-1→…→P1→P0→M→0是右R-模的正合列，其中P0，P1，…，Pm-1是投射模，則Pm是FPn-投射的.

證明1）?2） 由定義直接可得，且2）?3）和4）?5）是顯然成立的.

3）?2） 對任意的FPn-內(nèi)射右R-模N，則存在一個右R-模的正合列0→N→E→Ω-1（N）→0，其中E是內(nèi)射模，Ω-1（N）是N的第一次上合沖.根據(jù)文獻［5］的命題4可知，Ω-1（N）∈FPn+1-Inj.注意到R是右n-凝聚環(huán)，又由文獻［3］的定理5.5即得FPn-Inj＝FPn+1-Inj，則有Ω-1（N）∈FPn-Inj.設(shè)M是右R-模，考慮正合列

3）?4） 設(shè)0→Pm→Pm-1→…→P1→P0→M→0是右R-模的正合列，其中P0，P1，…，Pm-1是FPn-投射模.令

對任意的FPn-內(nèi)射右R-模N，有正合列

5）?3） 設(shè)0→Pm→Pm-1→…→P1→P0→M→0是右R-模的正合列，其中P0，P1，…，Pm-1是投射模.令Li-1＝Coker（Pi→Pi-1）（1≤i≤m）.對任意FPn-內(nèi)射右R-模N，則有下面的同構(gòu)由5）知，Pm是FPn-投射的，則從而故3）成立.下面利用FPn-投射模來刻畫右FPn-投射整體維數(shù)為0的環(huán).

定理3.4對任意環(huán)R，以下條件是等價的：

1）r.FPn-D（R）＝0；

2）環(huán)R是（n-1）-凝聚環(huán)；

3）每個FPn-內(nèi)射右R-模是FPn-1-內(nèi)射的；

4）每個FPn-1-投射右R-模是FPn-投射的.

證明1）?2） 設(shè)M是有限（n-1）-表現(xiàn)右R-模.由1）可知FPn-pd（M）＝0，即M是FPn-投射模.對任意FPn-內(nèi)射右R-模N，有Ext1R（M，N）＝0.由文獻［3］的引理5.2得M是有限n-表現(xiàn)模.

2）?1） 對任意的有限（n-1）-表現(xiàn)右R-模M，由2）即知M是有限n-表現(xiàn)模.設(shè)N是一個FPn-內(nèi)射右R-模，則有Ext1R（M，N）＝0，故M是FPn-投射右R-模，即FPn-pd（M）＝0.

2）?3） 由文獻［5］的定理1即知.

3）?4） 令M是FPn-1-投射右R-模.對任意FPn-內(nèi)射右R-模N，由3）知N是FPn-1-內(nèi)射的.再利用文獻［3］的推論4.2可得Ext1R（M，N）＝0，所以M是FPn-投射右R-模.

4）?3） 設(shè)N是FPn-內(nèi)射右R-模，M是FPn-1-投射右R-模，則由4）可知，M是FPn-投射的.由文獻［3］的推論4.2有Ext1R（M，N）＝0，故N是FPn-1-內(nèi)射模.

引理3.5設(shè)R是一個右（n-1）-凝聚環(huán)，0→A→B→C→0是一個右R-模的正合列，則有：

1）若A、B和C中有2個模的FPn-投射維數(shù)有限，則第3個也有限；

2）FPn-pd（A）≤max｛FPn-pd（B），F(xiàn)Pnpd（C）-1｝；

3）FPn-pd（B）≤max｛FPn-pd（A），F(xiàn)Pnpd（C）｝；

4）FPn-pd（C）≤max｛FPn-pd（B），F(xiàn)Pnpd（A）+1｝.

證明利用1）和定理3.3可知，這里2）-4）的證明與文獻［10］的引理9.26的證明類似，只需證1）和2）.

1）設(shè)…→F1→F0→A→0和…→Q1→Q0→C→0分別是A和C的投射分解.由文獻［10］的引理6.20，即馬掌引理可得下面的交換圖：

分成如下3種情形討論：

情形1： 若對某個正整數(shù)m，有FPn-pd（A）≤m且FPn-pd（C）≤m，則由定理3.3可知Lm和Hm是FPn-投射模.再利用命題2.4即得Bm是FPn-投射的，故FPn-pd（B）≤m.

情形2： 若對某個正整數(shù)m，有FPn-pd（B）≤m且FPn-pd（C）≤m，則Bm和Hm是FPn-投射模.又由命題2.4知Lm是FPn-1-投射的.注意到R是右（n-1）-凝聚環(huán)，再利用定理3.4即知Lm是FPn-投射的，從而FPn-pd（A）≤m.

情形3： 若對某個正整數(shù)m，有FPn-pd（A）≤m且FPn-pd（B）≤m，則Lm和Bm是FPn-投射模.根據(jù)定理3.3得FPn-pd（Hm）≤1，從而FPn-pd（C）≤m+1.

2）令FPn-pd（B）＝n，F(xiàn)Pn-pd（C）＝s且s＞n，則對任意FPn-內(nèi)射右R-模N，有正合列

這就證明了

FPn-pd（A）≤max｛FPn-pd（B），F(xiàn)Pn-pd（C）-1｝.

命題3.6對于環(huán)R，考慮下列各數(shù)量：

1）sup｛FPn-pd（M）：M是一個右R-模｝，

2）sup｛id（N）：N是一個FPn-內(nèi)射右R-模｝，

3）sup｛FPn-pd（N）：N是一個FPn-內(nèi)射右R-模｝；

則有3）≤1）＝2），當(dāng)R是右（n-1）-凝聚環(huán)時，三者數(shù)量相等.

證明3）≤1） 顯然.

1）≤2） 不妨設(shè)sup｛id（N）：N是一個FPn-內(nèi)射右R-模｝≤m＜∞.對任意的FPn-內(nèi)射右R-模N和任意右R-模M，由于id（N）≤m，故有因而FPn-pd（M）≤m.

2）≤1） 設(shè)sup｛FPn-pd（M）：M是一個右R-模｝≤m＜∞.令M是任意右R-模且N是FPn-內(nèi)射右R-模，則由假設(shè)知FPn-pd（M）≤m，即有，故id（N）≤m.

1）≤3） 假設(shè)sup｛FPn-pd（N）：N是一個FPn-內(nèi)射右R-模｝≤m＜∞且M是任意右R-模.由注3.2可知，存在一個右R-模正合列0→M→E→L→0，其中E是FPn-內(nèi)射模，L是FPn-投射模.由于R是右（n-1）-凝聚環(huán)，利用引理3.5的2）可得FPn-pd（M）≤FPn-pd（E）≤m，故結(jié)論成立.

推論3.7設(shè)R是（n-1）-凝聚環(huán)，則以下各條等價：

1）每個右R-模是FPn-投射的；

2）每個FPn-內(nèi)射右R-模是內(nèi)射的；

3）每個FPn-內(nèi)射右R-模是FPn-投射的.