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    初探證明
    ——蘇科版數(shù)學七年級下冊“12.2證明(2)”教學設計

    2021-03-15 07:00:24張文婧
    初中生世界 2021年8期
    關(guān)鍵詞:符號語言命題直線

    ■張文婧

    在初中數(shù)學學習中,幾何圖形的證明需要學生重點學習和掌握。在學習證明前,對于什么是證明,證明的重要性以及如何證明,都需要學生深入了解和系統(tǒng)學習。

    本課例選自蘇科版數(shù)學教材七年級下冊第十二章第二節(jié)“證明”的第二課時。在本節(jié)課中,首先,讓學生了解證明的定義、基本步驟和書寫格式;其次,引導學生經(jīng)歷證明命題的過程,初步樹立言之有理、落筆有據(jù)的推理意識;最后,讓學生在證明過程中感受歐幾里得的演繹體系對數(shù)學的貢獻。

    一、引入數(shù)學文化

    在學習新知識之前,為了引導學生盡快融入課堂,先介紹由歐幾里得編著的數(shù)學巨著——《幾何原本》。在這本巨著中,歐幾里得將前人在數(shù)學上的成果進行了系統(tǒng)的梳理,將公認的真命題定為公理,并在此基礎上通過推理證實了許多命題。

    設計思路:引入數(shù)學文化,既能幫助學生了解和感受歐幾里得的演繹體系對數(shù)學發(fā)展和人類文明的價值,又能提升學生對數(shù)學證明的興趣。

    二、新知探索

    在本環(huán)節(jié)中,先了解證明和定理的定義,在此基礎上引導學生經(jīng)歷證明命題的過程。

    在經(jīng)歷證明命題的過程中,首先引導學生回憶學過的一些基本事實,并展示初中階段還會學到的部分基本事實;再引導學生理解數(shù)學問題的正確性需要說理證明,讓學生回憶學過的兩個命題,說明它們是否正確,從“同位角相等,兩直線平行”通過說理得到“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”,在說理的過程中,教師要引導學生做到有理有據(jù)。

    在引導學生經(jīng)歷說理的基礎上,進一步引導學生經(jīng)歷證明命題的過程,感受數(shù)學推理的嚴謹性。仍從基本事實出發(fā),證明“垂直于同一條直線的兩條直線平行”。在證明的過程中,要滲透以下四個步驟:

    (1)根據(jù)題意,畫出圖形;

    (2)根據(jù)命題的條件,結(jié)合圖形,寫出已知;

    (3)根據(jù)命題的結(jié)論,結(jié)合圖形,寫出求證;

    (4)寫出證明過程。

    在教學中特別要注意的是,在首次證明命題的過程中,教師可以帶領(lǐng)學生根據(jù)以上步驟,逐步解決問題。首先,分析命題,根據(jù)題意,嘗試畫出圖形;其次,在已有圖形的基礎上,根據(jù)命題,用數(shù)學符號語言寫出已知和求證;最后,完成證明過程。

    圖1

    在以上環(huán)節(jié)中,第一環(huán)節(jié)注意畫圖的規(guī)范性(圖1)。學生在畫圖時易粗心或不規(guī)范,這也是以后在高年級會出現(xiàn)的問題,因此,在七年級教學時就可以多做強調(diào),為學生以后學習證明打好基礎。第二環(huán)節(jié)中,學生用符號語言表示已知和求證常常會出現(xiàn)語言不夠精練的問題。例如在證明本命題時,已知:如圖1,在直線a、b、c中,a⊥c,b⊥c。雖然看似簡單,但是學生在書寫時常常會遺漏“在直線a、b、c中”,因此,在教學中,筆者會在做題的同時教會學生準確地整理出已知和求證的方法。最后一個環(huán)節(jié),也是最重要的部分。本節(jié)課的教學重點是學會證明命題,能規(guī)范寫出證明過程,因此在這一環(huán)節(jié)中,筆者要求學生每一步推理都要做到有理有據(jù),完成嚴謹?shù)臄?shù)學推理過程,為以后證明更為復雜的過程夯實基礎。在全部環(huán)節(jié)結(jié)束后,給學生再次總結(jié)在證明與圖形有關(guān)的命題時所需的步驟,呼應起始環(huán)節(jié)。

    設計思路:嘗試將文字語言轉(zhuǎn)化成幾何圖形和數(shù)學符號語言,包括圖形、已知和求證三個部分。在教學中,可增加小組合作時間,組內(nèi)學生互相幫助,完成轉(zhuǎn)換,進入下一證明環(huán)節(jié)。轉(zhuǎn)化文字語言為符號語言并證明基本事實,是本節(jié)課的重點,要求學生會證明命題,能規(guī)范寫出證明過程。特別要注意的是,在證明過程中務必要求學生每一步推理都有理有據(jù)。

    在學生完成一個完整的證明后,需及時進行鞏固。

    1.已知:如圖2,直線AB、CD被直線EF所截,AB∥CD,EH平分∠AEF,F(xiàn)G平分∠EFD。

    求證:EH∥FG。

    圖2

    2.已知:如圖3,直線AB、CD被直線EF所截,AB∥CD,EP平分∠FEB,F(xiàn)P平分∠EFD。

    求證:EP⊥FP。

    圖3

    以上題目均可安排兩種練習,分別是證明過程的練習和將已知求證轉(zhuǎn)化成文字語言的練習,幫助學生及時鞏固復習。

    設計思路:經(jīng)過學習后,可寫出完整的證明過程,并且嘗試用一句話概括這個問題的條件和結(jié)論,引導學生將數(shù)學符號語言轉(zhuǎn)化成精練的文字語言;這一環(huán)節(jié)中,題目難度略有上升,既可以幫助學生鞏固所學,又可以引導學生做適當提升。

    三、隨堂練習與檢測

    題目可以從教材中選擇,注意由淺入深,既能幫助學生增強學習新知識的信心,又能提升學習效果。

    設計思路:練習與檢測設置多種題型的題目,注意難度有梯度。關(guān)注學生規(guī)范寫出證明的過程,且在證明過程中,能做到推理嚴謹、書寫規(guī)范。

    四、課堂小結(jié)

    小結(jié)的形式可多樣,要包含的內(nèi)容有:

    (1)陳述證明、推理、事實依據(jù)的概念;

    (2)引導學生在證明時做到:注意前因后果,做到言“形”一致;

    (3)強調(diào)言之有理,落筆有據(jù)。

    筆者會再次強調(diào)說理的重要性,在數(shù)學學習中,既可以利用反例來說明一個結(jié)論是錯誤的,也可以借助已有的知識和方法從正面說明一個結(jié)論是正確的?!罢f理”是確認一個數(shù)學結(jié)論是否正確的有力工具。

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