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    例題與習題的關(guān)系
    ——以人教版“有理數(shù)”為例

    2021-03-13 03:58:32林鳳嬌天津師范大學教育學部300387
    中學數(shù)學月刊 2021年3期
    關(guān)鍵詞:有理數(shù)外延例題

    林鳳嬌 (天津師范大學教育學部 300387)

    1 引言

    教材是學生從小接觸的事物,可以簡單地把數(shù)學教材分為三部分:正文、例題和習題.在初中數(shù)學的教學中,大多數(shù)教師都傾向于例題教學,這也足以說明例題的重要性.然而,例題和習題都是數(shù)學題,為什么有的題可供數(shù)學教師在課堂上一步一步地講解示范給學生,有的題得讓學生課后單獨完成?本文從例題和習題的功能出發(fā),來探尋例題和習題之間的關(guān)系.

    2 例題與習題

    2.1 例題的功能

    例題的功能有基礎性、精簡性、典型性、示范性與代表性等.在數(shù)學教學過程中,例題起著舉足輕重的作用.例題所放的位置可以在知識點前,這時它發(fā)揮著帶領(lǐng)學生學習新知識的作用.例題所放的位置也可以在知識點后,此時它對鞏固所學的新知識發(fā)揮了很大的作用.例題必須精挑細選又有著代表性,還能很好地起到示范作用.波利亞在《怎樣解題》中曾提到:未來的數(shù)學家通過模仿和練習來學習.[1]所以例題的示范性尤為重要,典型的例題可以讓學生更好地掌握剛學習的知識點.因此需要充分利用教科書例題的示范引領(lǐng)功能,盡最大可能發(fā)揮其潛在價值,力爭做到以例啟思、以例促思、以例帶類,舉一反三,觸類旁通,達到對知識的深化理解.[2]

    2.2 習題的功能

    習題具有鞏固性、多樣性、層次性、靈活性和評價性.教材中的習題應具有鞏固功能.初中數(shù)學教材的習題中的一部分會作為學生課后的作業(yè),而課后作業(yè)的練習可以促進學生對新知識的掌握和理解,以達到復習的目的.因此,初中數(shù)學教材中的習題應幫助學生復習回憶所學的新知識,起到鞏固新知的作用.習題的題型也是更加多樣、靈活以及有層次.習題由淺到深、由簡到繁,有基礎題目,也有擴展提高題.習題還有著評價功能,數(shù)學教材中的習題作為課后作業(yè)布置時,學生可以通過習題的練習及時發(fā)現(xiàn)自己還存在的問題,教師也可以通過習題完成的反饋情況了解學生的學習情況.學生通過數(shù)學教材中的習題的自我評價自行調(diào)整學習狀態(tài),教師也可以通過習題的反饋進行教學評價,及時調(diào)整教學策略.

    2.3 例題與習題的關(guān)系

    2.3.1 包含關(guān)系

    《現(xiàn)代漢語大辭典》中對“例題”的表述為:說明某一定理、定律或幫助學習的人掌握某一公式而設的作為范例的習題.由這句話可知,例題也是習題的一種,是在眾多習題中精選出來的,所以說習題是包含例題的(圖1).

    圖1 例題與習題的包含關(guān)系

    例題和習題都是為了學生更好地掌握一個知識點或概念而出現(xiàn)的.比如小學所學的偶數(shù)的概念,這個概念的內(nèi)涵就是在整數(shù)中,能被2整除的數(shù),也就是2的倍數(shù)2n.而偶數(shù)概念的外延就是2,4,6,8,26,….再如,一元二次方程這個概念的內(nèi)涵是ax2+bx+c(a≠0),那么一元二次方程的外延是一切形如ax2+bx+c(a≠0)的式子.概念的內(nèi)涵與外延之間存在一個反變關(guān)系.這種反變關(guān)系通俗易懂地講就是概念的內(nèi)涵小,那么概念的外延就大;概念的內(nèi)涵大的,那么此概念的外延就比較小.就如平行四邊形和四邊形,平行四邊形的概念內(nèi)涵比四邊形的概念內(nèi)涵大,那么平行四邊形的概念外延就比四邊形的概念外延?。倩氐嚼}與習題的包含關(guān)系上,可以這么理解,習題涉及的這個知識點或是概念的外延很大,但是上課無法永遠窮盡,所以在有無限外延的習題當中挑選了具有代表性的這個概念的外延,也就是所說的例題.

    人民教育出版社(以下簡稱人教版)2012年出版的初一教材第1章第1節(jié)給出了負數(shù)的概念:在正數(shù)前加上符號“-”(負)的數(shù)叫做負數(shù).這也是負數(shù)概念的內(nèi)涵,后面舉的例題是:(1)一個月內(nèi),小明體重增加2 kg,小華體重減少1 kg,小強體重無變化,寫出他們這個月的體重增長值;(2)某年,下列國家的商品進出口總額比上年的變化情況……這道例題是在綜合考量學生對負數(shù)、正數(shù)和0的掌握.后面的習題有全國平均降水量、物體的正負移動、走路的東西方向、水位的升降和氣溫的變化等,由此無不看出,習題的范圍比例題的范圍更廣.

    2.3.2 補充關(guān)系

    習題是例題的補充.一節(jié)課就45分鐘,不可能滿本教材全是例題,都讓教師在課堂上講解.正如《學記》里第七段所提及的:大學之教也,時教必有正業(yè),退息必有居學.意思大致是大學的教學組織形式是:按時進行正課教學,課后從事課外作業(yè).也如陸佃所說:“居學,言退息之所學也.”[3]不得不說,古人的想法極富智慧,而且也適合于現(xiàn)如今的一些教育現(xiàn)象.習題是例題的補充,讓學生有更多時間來鞏固自己在課堂上的所學的新知識.

    例如,在有理數(shù)的加法第1章第3節(jié)中,通過物體先后運動的一個數(shù)學問題,總結(jié)出有理數(shù)加法法則有3條:法則一是同號兩數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值相加;法則二是絕對值不相等的異號兩數(shù)相加,取絕對值大的加數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值,互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0;法則三是一個數(shù)同0相加,仍得這個數(shù).教師和學生一起總結(jié)完這些法則,下面緊跟著一道例題,包含兩個小題:第一道是(-3)+(-9);第二道是(-4.7)+3.9.可以看到這兩道例題緊扣法則一和法則二,很有代表性.細看似乎漏掉了什么,比如同號的兩數(shù)還有一種情況是都是正數(shù);異號的兩數(shù)也有正數(shù)大于負數(shù)的情況;互為相反數(shù)的兩個數(shù)的加法和一個數(shù)與0的加法在例題中也未體現(xiàn).但是在下面緊跟的練習題第二道中出現(xiàn):(1)(-4)+(-6);(2)4+(-6);(3)(-4)+6;(4)(-4)+4;(5)(-4)+14;(6)(-14)+4;(7)6+(-6);(8)0+(-6).顯而易見,習題對例題進行了很好的補充,除了正數(shù)和正數(shù)相加都涉及到了,這也體現(xiàn)了例題和習題的精簡性.例題當中的兩道小題都是選取了負數(shù),能很好地鞏固負數(shù)知識,而不是選取兩個正數(shù)相加和一個大的正數(shù)減去一個小的負數(shù),不然與小學低年級學習的數(shù)的加減法沒有差別,這也引起了學生的沖突認知.教師上課利用這兩道題能讓學生更好地掌握本課的難點,再加上我們的知識點,學生可以完滿地掌握本節(jié)的知識.同時,這也說明中學課本中的例題都經(jīng)過認真篩選,都是數(shù)學中的“精品”,具有很強的典型性和代表性.

    2.3.3 緊密關(guān)系

    例題與習題必然是緊密相連、相輔相成的.就好比修建一棟大樓,這里的大樓可以看成學生和教師所使用的教材,那么一堂課所包含的知識點和例題不是常說的打地基,而要想把地基建得很牢固,是和習題緊密相關(guān)的,要用習題來對例題進行更好的鞏固,進而更好地掌握知識點,以便把基礎打扎實.后面再將知識與例題習題內(nèi)化于心,在經(jīng)歷周測、月考、期中考試和期末考試后,將知識點、例題和習題學以致用,逐漸地搭建成樓層.后面的大樓能否修建得好,取決于每一步是否足夠穩(wěn)妥,是否將知識點、例題和習題完全掌握,它們貫穿于整個過程(圖2).

    (3)由于浮選金精礦產(chǎn)率較小,金、鉛浮選分離及鉛細磨浸出工藝生產(chǎn)成本增加有限,遠低于所獲鉛精礦以及金、銀增加回收率所增效益。針對日處理24 t的金浸出系統(tǒng),半年可收回基建投資。

    圖2 例題與習題的緊密關(guān)系

    2.3.4 拔高關(guān)系

    就如康德在《論教育學》中所談及的,學習規(guī)則的同時學會對它的應用[4].一方面,習題幫助學生復習回憶所學的新知識,起到鞏固新知的作用.另一方面,習題也是例題的一個拔高,讓學生在學會一些基礎知識后,將其進行更高層次的運用,這也是根據(jù)學生的心理特征來的,先夯實基礎,再多層次地運用.從例題和習題在教材中所占的篇幅和數(shù)量關(guān)系來看,習題更是一個載體,提高學生的思維水平、培養(yǎng)學生的研究創(chuàng)新意識和慢慢地積淀數(shù)學素養(yǎng).而且有些習題自身也是知識點,是對教材知識點的補充和延續(xù).

    例如,在人教版初一教材的有理數(shù)加法過渡到有理數(shù)的減法時,有一道實驗探究題“填幻方”.題目如下:

    有人建議向火星發(fā)射如圖3的圖案,它叫作幻方,其中9個格子中的點數(shù)分別是1,2,3,4,5,6,7,8,9.每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的點數(shù)的和都是15.如果火星上有智能生物,那么他們可以從這種“數(shù)學語言”了解到地球上也有智能生物(人).你能將-4,-3,-1,0,1,2,3,4這9個數(shù)分別填入幻方的9個空格中,使得處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數(shù)相加都得0嗎?和同學交流一下,你們填這個幻方的方法相同嗎?

    圖3 幻方

    這道題很能吸引學生眼球,也能啟發(fā)他們的思維,讓其饒有趣味地運用有理數(shù)的加法法則二中互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0,也能培養(yǎng)學生自主探究的意識和交流表達的能力.

    2.3.5 服務關(guān)系

    例題和習題是相互服務的,它們最終都是為知識點服務、為學生的發(fā)展服務、為教師的傳授服務.總而言之,最后的消費者是學生和教師.對于如何更好地做好服務,我們腦海里面肯定會冒出來一個念頭:首先質(zhì)量要好,保質(zhì)保量.選取的題必須要精,要能直擊教材所要求掌握的知識點或概念,需要很好地讓學生明白概念的內(nèi)涵與外延.量要適度,每個知識點或概念的考查要適量,切忌出現(xiàn)一個知識點題太多而另一個知識點吃不飽的現(xiàn)象,這也是很考驗教材的編寫者.

    (-5)×(-3),……同號兩數(shù)相乘;

    (-5)×(-3)=+( ),……得正;

    5×3=15,……把絕對值相乘;

    所以(-5)×(-3)=15.

    又如,(-7)×4,……;

    (-7)×4=-( ),……;

    7×4=28,……;

    所以(-7)×4=( ).

    例題可以很好地為后面的習題服務,學生只有在掌握好例題之后,才能又快又準地解決習題.這也體現(xiàn)了例題的示范作用.例題和習題都能很好地為知識點服務,為使消費者(教師)更好地教、消費者(學生)更好地學(圖4).

    圖4 例題和習題與學生和教師的服務消費關(guān)系

    3 建議

    3.1 例題和習題應多讓學生提出問題

    不論是例題還是習題,都可以把它們稱作數(shù)學問題.數(shù)學問題在學生學習和課堂教學中具有重要作用.學生所經(jīng)歷的數(shù)學問題不僅決定著他們學什么,而且決定著他們?nèi)绾嗡伎?、理解、發(fā)展和使用數(shù)學.[5]但是筆者現(xiàn)在所接觸的都是在讓學生解答已經(jīng)給出的問題,而不是給出一些已知條件,讓學生來提出問題自己解答,或是小組一起解決.提出問題的高度也是學生整個思維或想法的呈現(xiàn),能讓學生大膽地去想,因為后面要解答,所以也是有依據(jù)地想.這樣可以更好地發(fā)散學生思維,而不會將其束縛在給定的數(shù)學題中.這或許也會碰撞出想象不到的智慧.

    3.2 例題和習題之間應注重變式

    例題和習題都是為了讓學生更好地掌握知識點,但是知識點的考查有方方面面,如果例題永遠是正向的,習題也是正向的,那么長此下來勢必會加大學生的定勢思維.所以習題應該適當?shù)刈餍┳兪?,而不是簡單地換個數(shù)字或換個情境,要讓類型更多樣;也可以稍微地與考試接軌一下,讓學生覺得自己做習題有不一樣的收獲,而不是將學生推向一本又一本的練習冊、一張又一張的教案.總之,讓學生“吃透教材”,便會有滿滿的收獲.

    3.3 例題和習題應更有針對性

    眾所周知,學生的水平大多參差不齊,在實際教學中絕大部分習題往往是不區(qū)分學習能力以及學習成績的,大家都學習同樣的例題,都做著同樣的習題,缺乏例題和習題的針對性.例題和習題應體現(xiàn)教學的層次性.在數(shù)量上要有彈性,不搞一刀切,給學生一個自主選擇、協(xié)調(diào)發(fā)展的空間,讓不同層次的學生都獲得成功的體驗.在內(nèi)容上要具有針對性:一要針對本節(jié)內(nèi)容.二要針對不同層次的學生.可以在例題后面適當附帶能力要求高的思考題以滿足一些“吃不飽”學生的要求.三要針對學生的知識儲備,不能將例題習題演變成智力題.[6]

    3.4 例題和習題應適當增加實踐活動題

    現(xiàn)在的例題和習題大多數(shù)都還是在紙面上的,很少有讓初中生自己動手操作的題目、實踐活動的題目.曾經(jīng)在文獻[7]中看到過這樣一個案例,這個例子來自凱莉·埃瑟里奇老師.她描述了一個關(guān)于10年級英國學生寫有關(guān)環(huán)境論文項目的情況.學生可以選擇他們研究的環(huán)境問題,但是必須展現(xiàn)出與他們所選問題相關(guān)的知識以及寫作技巧和交流技巧.在文章完成之后,學生們要運用他們所寫的文章中的知識去處理現(xiàn)實中的問題.一組對文學并沒有特殊的喜愛的男生,寫了有關(guān)水污染的問題.這些男生在小組內(nèi)協(xié)商完選擇了一條在他們學校附近并被污染了的道格河作為目標.他們想出了一個解決方案并制定了計劃.隨后,他們獲得了當?shù)貓蠹埦栀浀囊粋€價值3 400美元的廣告,以擴大人們對這個問題的關(guān)注.他們找到了一家咖啡廳,通過提供某種咖啡飲品來籌集資金.在學校放假兩周后——需要注意的是這已經(jīng)是在完成學分課程之后——這些孩子和當?shù)仉娨暸_一起清理河道并向觀眾說明社區(qū)居民應該如何去做才能保證道格河未來不被污染.[7]當然,這在數(shù)學教材中不太適用,但是總說要提高學生的興趣,不能光從教師的教法入手,也要深入其源頭,從這個知識點、這個數(shù)學題自身出發(fā).不得不說,這對教材編寫者是一個很大的考驗,但是一旦成功,會大大提高學生學習的自主性,因為這對學生來說已經(jīng)不僅僅是一個任務,而是已經(jīng)把它當做自己的事來完成.

    3.5 例題和習題應以心理學知識為依據(jù)

    數(shù)學是一門學科,當它由教師傳授給學生時就變成了一門教育學科.在學習教育時我們都知道人的發(fā)展是有階段性的,而這種階段性發(fā)展與心理學有很大的關(guān)聯(lián).皮亞杰認為3~7歲的孩子處于前運算階段,需要靠具體形象來進行思維;7~12歲的孩子處在具體運算思維階段,可以進行一些邏輯推理,但還是要依靠具體的事物來進行思維;12~15歲的孩子處于形式運算階段.初中階段的孩子開始從直觀思維向抽象思維過渡.還有從什么時候開始孩子有了可逆思維、在什么時候發(fā)展得更加完善,這都是教材編寫者在例題習題編排的時候需要內(nèi)化于心的.抓住思維發(fā)展的階段,也就是抓住了教育的關(guān)鍵期,在適當?shù)臅r候給予學生合適的例題習題,這對掌握知識的作用不可估量.正如維果斯基提出的“最近發(fā)展區(qū)”理論,可以通過設置梯度遞進的例題和習題,來突破學生的每一個最近發(fā)展區(qū).

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