探究一道數(shù)列遞推問題的命制策略

江蘇省海門中學(xué) (226100) 徐巧石

筆者最近在高三復(fù)習(xí)中，遇到一道數(shù)列遞推問題，很難處理，后來發(fā)現(xiàn)2017年就曾相遇，但沒有及時(shí)思考總結(jié)，落筆成文，所以此次決定對(duì)其解法進(jìn)行剖析與總結(jié)，同時(shí)進(jìn)一步思考該題是如何命制的，還有哪些命制數(shù)列遞推關(guān)系式的角度.

題目(2017屆南通市二?！?0)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且滿足：①|(zhì)a1|≠|(zhì)a2|；②r(n-p)Sn+1=(n2+n)an+(n2-n-2)a1，其中r，p∈R，且r≠0． (1)求p的值；(2)數(shù)列{an}能否是等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由；(3)求證：當(dāng)r=2時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

一、題之解

解：(1)n=1時(shí)，r(1-p)S2=2a1-2a1=0，因?yàn)閨a1|≠|(zhì)a2|，所以S2≠0，又r≠0，所以p=1．

(2)略；

當(dāng)n=3時(shí)，a4=3a3-3a2+a1?a4-2a3+a2=a3-2a2+a1=0，

(思路2)2(n-1)bn+1=n(n+1)bn-n(n-1)bn-1①，當(dāng)n=3時(shí)，b4=3(b3-b2)=2b3+b3-3b2=2b3-b2，所以b4+b2=2b3，當(dāng)n≥4時(shí)，2(n-1)(n-2)bn=(n-1)nbn-1-(n-1)(n-2)bn-2②，①-②得2(n-1)(n-2)(bn+1-2bn+bn-1)=(n-1)·(n-2)(bn-2bn-1+bn-2)，又b4-2b3+b2=0，所以bn-2bn-1+bn-2=0，n≥4，又b3-2b2+b1=0，所以?n≥3,bn-2bn-1+bn-2=0，所以{bn}是等差數(shù)列，所以{an}是等差數(shù)列.

反思：證明等差數(shù)列兩種方法一是利用定義，即尋找相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系；二是利用等差中項(xiàng)，即尋找相鄰三項(xiàng)的關(guān)系.此題中第一步需要消去Sn+1，第二步的想法是將a1消去，直接作差相減需要減三次才可以將常數(shù)項(xiàng)a1消去，所以將a1前面的系數(shù)除去，直接一次相減便可以消去a1，從而得到相鄰三項(xiàng)的關(guān)系式，若三項(xiàng)看不出，進(jìn)而尋找相鄰四項(xiàng)間的關(guān)系.遞推關(guān)系處理等差(等比)數(shù)列問題的三種常見思路：(1)Sn與an之間的轉(zhuǎn)化；(2)構(gòu)造常數(shù)列過渡，得出通項(xiàng)，得到等差(等比)數(shù)列；(3)消遞推關(guān)系中的常數(shù)，得相鄰項(xiàng)關(guān)系．

二、題之思

上述遞推關(guān)系式是如何構(gòu)造的？命題者是從什么角度出發(fā)進(jìn)行怎樣命制的呢？

事實(shí)上，由d=d?nd=nd，利用通項(xiàng)公式隱藏公差d，因?yàn)閚d=an+1-a1，nd=(an+1-an)，所以an+1-a1=n(an+1-an)?(n-1)an+1=nan-a1①，通過前n+1項(xiàng)和公式隱藏an+1，即先在①式兩邊同時(shí)加上(n-1)a1，再同時(shí)乘上n+1，即得(n-1)(n+1)(an+1+a1)=(n+1)nan+(n-2)(n+1)a1，即2(n-1)Sn+1=(n2+n)an+(n2-n-2)a1，上述每一步都是等價(jià)的轉(zhuǎn)換的前提是{an}是等差數(shù)列，考慮其逆命題，證明{an}是等差數(shù)列.

三、題之究

還有哪些構(gòu)造遞推關(guān)系式證明等差、等比數(shù)列的方法呢？通過對(duì)相關(guān)問題的歸納總結(jié)，歸結(jié)以下三種常用構(gòu)造角度.

(一)由等差等比通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式構(gòu)造

題2 已知各項(xiàng)互不相同的數(shù)列{an}，an≠0,n∈N*，前n項(xiàng)和為Sn，滿足(an-an+1)Sn=(a1-an+1)an，求證：{an}是等比數(shù)列.

(二)由具體的數(shù)列通項(xiàng)與和公式構(gòu)造

題4 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，a2=2,a3=3，且滿足?m,n，2Sm+n=S2m+S2n-(m-n)2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：令m=1得2Sn+1=S2+S2n-(1-n)2①，令m=2得2Sn+2=S4+S2n-(2-n)2②，②-①得2an+2=a3+a4-(2n-3)=a4+2n，令m=1,n=2得2(1+2+3)=(1+2)+(6+a4)-1，所以a4=4，an+2=n+2，又a1=1，a2=2,a3=3，所以an=n.

4.已知an=2n-1，Sn=2n-1.

題6 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，a2=2，a3=4，且滿足(Sm+n+1)2=(S2m+1)(S2n+1)，其中m,n為任意的正整數(shù)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍n>0，所以Sn>0，Sm+n+1=

(三)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)構(gòu)造

5.在等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，特別地an-1+an+1=2an，an-2+an+2=2an，思考已知an-2+an-1+an+1+an+2=4an，能否證明{an}是等差數(shù)列，顯然不能判斷，若再滿足an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，可得：

題7 (2017年江蘇高考)對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”． 若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，求證：{an}是等差數(shù)列．

題8 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若?m,n∈N*，(n-m)Sm+n=(n+m)(Sn-Sm).求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

證明:令m=1可得(n-1)Sn+1=(n+1)(Sn-S1)，整理可得2Sn=(n-1)an+1+(n+1)S1①，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=(n-2)an+nS1②，①-②得2an=(n-1)an+1-(n-2)an+S1，整理可得nan=(n-1)an+1+S1③，當(dāng)n≥3時(shí)，(n-1)an-1=(n-2)an+S1④，③-④得(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0，因?yàn)閚-1≥2，所以當(dāng)n≥3,an+1-2an+an-1=0，③式中取n=2，可得a3-2a2+a1=0，所以對(duì)?n≥2，an+1-2an+an-1=0恒成立，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

命題是一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，對(duì)命題的認(rèn)識(shí)與理解需要不斷實(shí)踐思考與總結(jié).作為教師，面對(duì)試題不能僅僅滿足于如何去解，更應(yīng)思考眾多優(yōu)美的試題是如何命制的.了解試題背后的命題思路與想法，才能對(duì)其有更深的理解，從而有針對(duì)性的進(jìn)行變式練習(xí)，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).