尋找解題思路的教學(xué)思考
——以一道多解的典型幾何題為例

重慶市育才中學(xué)校 (400050) 何貽勇重慶育才成功學(xué)校 (400050) 羅 靜

學(xué)生面對(duì)一道數(shù)學(xué)題是怎么想的？教師給出一道數(shù)學(xué)題是怎么教學(xué)生想的？怎么和學(xué)生一起進(jìn)行思維的碰撞，一起尋找解題思路，是教研備課的一個(gè)重要課題．切忌拿到題后就就題講題，一講到底，應(yīng)該重點(diǎn)是激發(fā)學(xué)生思維，給學(xué)生營(yíng)造一個(gè)良好“思維場(chǎng)”，讓學(xué)生處于“不憤不啟、不悱不發(fā)”的狀態(tài)中．

一、例題呈現(xiàn)

題目如圖1，在△ABC中，BC=6，AB=2AC，求△ABC面積的最大值．

圖1

教學(xué)思考：本題中動(dòng)點(diǎn)A的位置決定了△ABC面積的大小，即面積隨著A點(diǎn)的變化而變化，如何找出能描述面積與A之間的變化規(guī)律的函數(shù)關(guān)系呢？首先要解決的問題是用什么量來描述A點(diǎn)的變化，聯(lián)想三角形的面積公式，并找到A點(diǎn)位置與AB、AC的長(zhǎng)度、與A點(diǎn)在滿足的關(guān)系時(shí)A到直線BC的高、A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)等等有關(guān)．

呈現(xiàn)了一道題時(shí)，教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生不要急于求解，而是先標(biāo)注已知條件和基本事實(shí)，批注二級(jí)結(jié)論等等讀懂題意，如本題中應(yīng)讀出A點(diǎn)的位置在一定條件下是變化的，△ABC的面積也會(huì)相應(yīng)有變化．再思考怎么解答問題，△ABC的面積大小受到了A點(diǎn)位置影響，這樣的函數(shù)關(guān)系何在呢？于是有了以下幾種解法：

二、多種解法

圖2

還有什么量可以描述A點(diǎn)的位置呢？利用已學(xué)知識(shí)可知可用平面直角坐標(biāo)系中的有序數(shù)對(duì)來描述A點(diǎn)的位置，于是有了以下解法二：

圖3

解法二：(利用坐標(biāo)系求縱坐標(biāo)建立二次函數(shù)模型)如圖3，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)B(0,0)、C(6,0)、A(a,b)，其中4≤a≤12,b>0.因?yàn)锳B=2AC，所以AB2=4AC2，則a2+b2=

利用方法一的思路可設(shè)AC=a，則AB=2a(a>0)，那么一個(gè)三角形的三邊都為已知，只需要利用三邊來表達(dá)三角形的面積就可以了，得到了解法三．

已知一個(gè)三角形的三邊可以表達(dá)三角形的面積，只需要再使用一種面積表達(dá)公式就可以，于是從腦海里搜索到了海倫公式，通過面積表達(dá)式發(fā)現(xiàn)了二次函數(shù)及其表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式的特征還發(fā)現(xiàn)了使用均值不等式更快捷地求出了面積的最大值．

解法四：(利用海倫公式建立二次函數(shù)模型)設(shè)AC=a，則AB=2a(a>0)，由海倫公式得

通過前面的解題過程，既然A點(diǎn)的位置決定了△ABC的面積大小，那到底什么時(shí)候△ABC面積最大呢？只需要找到△ABC的面積取最大值時(shí)A點(diǎn)的位置就可以了．學(xué)生們開始獨(dú)立思考起來，但未果．

圖4

三、課后反思

解題教學(xué)活動(dòng)開展前應(yīng)充分準(zhǔn)備如下三個(gè)方面：一是夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，熟悉數(shù)學(xué)知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，比如對(duì)概念、定理、運(yùn)算規(guī)則、公式發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用過程條理清晰，只有堅(jiān)實(shí)的“基樁”，解題活動(dòng)才有意義；二是掌握數(shù)學(xué)基本模型、基本解題模塊、命題聯(lián)想系統(tǒng)、“反應(yīng)塊”、基本解題的思維痕跡，積累基本解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，歸納總結(jié)數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算中的算法、算理的基本特征，掌握一類題問題的通性通法，能為進(jìn)一步提高解題能力服務(wù)！三是解題技巧到解題方法的提煉，從解題方法到解題思想的提升，甚至是到解題的理念、信念形成，是在長(zhǎng)期的解題過程中高度概括、抽象的過程，反過來能促進(jìn)更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，理解數(shù)學(xué)問題、理解數(shù)學(xué)文本，有利于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造與再創(chuàng)造．

本節(jié)課利用函數(shù)思想解三角形面積最值問題，是非常常見的方法，當(dāng)然對(duì)二次函數(shù)解析式求最值的處理辦法也可以靈活多變．尋找變量面積與描述點(diǎn)的一個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵所在，聯(lián)想三角形面積公式為解題思維過程服務(wù)．本題看似簡(jiǎn)單，但是解法多樣、包羅萬象，不止以上五種解法，尋求描述變化關(guān)系的函數(shù)關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)，得出了以上解題方法，有助于學(xué)生的發(fā)散思維培養(yǎng)，有助于學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)問題的解題本質(zhì)，以提高學(xué)生解題能力．

教研思考與建議：尋找解題思路的習(xí)題教學(xué)課中，解題思路和計(jì)劃是如何想出來的？以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“怎么想”，執(zhí)行解題計(jì)劃時(shí)應(yīng)注意哪些問題？以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“怎么做得更好”，希解題后通過“反思”“點(diǎn)撥”及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，力求透過解法洞察數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過巧解、妙解，化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到舉一反三！觸類旁通！融會(huì)貫通！同時(shí)，解題思路由來講解技巧、講解原則課后訓(xùn)練和反饋都應(yīng)專題教研，以期更好地上好習(xí)題課．比如解題教學(xué)中的重點(diǎn)就是激發(fā)學(xué)生的思維，而如何圍繞數(shù)學(xué)題本身的特征，恰當(dāng)?shù)厥┮越虒W(xué)引導(dǎo)，讓整個(gè)課堂達(dá)到“不憤不啟、不悱不發(fā)”的狀態(tài)的具體思考是什么？解題教學(xué)活動(dòng)的課后訓(xùn)練如何以以上準(zhǔn)備方面的各個(gè)點(diǎn)來系統(tǒng)地、序列化地開展等等．