指向“以學(xué)定教”的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)示例
——透過“兩角差的余弦公式”的視點(diǎn)

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (235000) 李 雪 張 昆

教是為了不教，學(xué)是為了創(chuàng)造.“以學(xué)定教”的教學(xué)理念強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)活動(dòng)不是形成一個(gè)個(gè)句號(hào)，而是調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性促使課堂教學(xué)活動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)個(gè)問號(hào).教師作為教學(xué)活動(dòng)的引導(dǎo)者，要鼓勵(lì)學(xué)生基于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，尋找新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，主動(dòng)將新知識(shí)“掛靠”到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而形成相應(yīng)的技能、技巧，形成學(xué)習(xí)能力與養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、“以學(xué)定教”教育理念的基本內(nèi)涵

“以學(xué)定教”顧名思義就是以學(xué)生的“學(xué)”來確定教師的“教”.“以學(xué)定教”中的“學(xué)”包含學(xué)情和學(xué)生兩層含義：從學(xué)情的角度分析，“學(xué)”是指學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知發(fā)展水平，同時(shí)也包括學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度、數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力等；從學(xué)生的角度分析，“學(xué)”是指教師的教學(xué)要面向全體學(xué)生，體現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的基本理念.“以學(xué)定教”中的“教”是指教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，即教師依據(jù)學(xué)情分析，基于自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)設(shè)計(jì)教學(xué)方案，以幫助學(xué)生理解和掌握新知識(shí).

教育之設(shè)施，以受教者之資質(zhì)為根據(jù)，教育之研究，以受教者之資質(zhì)為對(duì)象[1].由此可見，“學(xué)”是為了更好的“教”.這里認(rèn)為，“以學(xué)定教”的真正涵義是教師要堅(jiān)持“以生為本”的教學(xué)發(fā)展觀，基于學(xué)生的實(shí)際情況來確定教學(xué)順序、教學(xué)方法和教學(xué)手段，幫助學(xué)生建立起新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的承載與編碼.“以學(xué)定教”的教學(xué)理念要求教師依據(jù)學(xué)情來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)方案，并根據(jù)學(xué)生的課堂回答、行為表現(xiàn)等及時(shí)調(diào)整教學(xué)，以幫助學(xué)生自然地、高效地理解并掌握新知識(shí).

二、實(shí)現(xiàn)“以學(xué)定教”數(shù)學(xué)教學(xué)模式的“三二一”要點(diǎn)

學(xué)生的“學(xué)”影響著教師的“教”，教師的“教”又反作用于學(xué)生的“學(xué)”.學(xué)生接受新知的過程是一個(gè)積極主動(dòng)的探究過程，是一個(gè)發(fā)揮人的主觀能動(dòng)性去利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)編寫信息從而發(fā)揮“運(yùn)動(dòng)效應(yīng)”的過程[2].“以學(xué)定教”并非否定教師的“教”，而是要求以“學(xué)”為依據(jù)來完善教師的“教”.這里基于“以學(xué)定教”理念的內(nèi)涵，提出了該理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的“三二一”(三原則兩關(guān)鍵一核心)要點(diǎn)，以下詳細(xì)說明之.

(一)三個(gè)原則

“以學(xué)定教”模式下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需遵守以下三個(gè)原則:

1.教師要注意教導(dǎo)的限度與施教方式

《師說》有云：“古之學(xué)者必有師，師者，所以傳道授業(yè)解惑也.”教師是教學(xué)活動(dòng)的引導(dǎo)者，但絕不能在課堂中“一手遮天”.古希臘著名的哲學(xué)家蘇格拉底提出的“產(chǎn)婆術(shù)”包括諷刺、助產(chǎn)、歸納和定義四個(gè)步驟.其中“助產(chǎn)”就是啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生,幫助學(xué)生自主思考，得出結(jié)論.由此可見，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要注意教導(dǎo)的限度，在教學(xué)中適當(dāng)?shù)摹傲舭住辈粌H能夠激發(fā)學(xué)生自主思考，還能夠增強(qiáng)學(xué)生的參與感，激發(fā)學(xué)生的求知欲.“以學(xué)定教”理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)模式并不是教師一味地給予，學(xué)生一味地接受，而是教師依據(jù)數(shù)學(xué)情境，結(jié)合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，啟發(fā)學(xué)生自主探究問題答案.孔子有云“不憤不啟，不悱不發(fā).”啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)具有較好的教育作用，是實(shí)現(xiàn)有效數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化途徑與方法，它能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性、促使他們生動(dòng)活潑地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)[3].啟發(fā)式的數(shù)學(xué)不僅有助于學(xué)生編碼、應(yīng)用新知識(shí)，還能夠提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)與解決問題的能力，充分體現(xiàn)“教是為了不教，學(xué)是為了創(chuàng)造”的教學(xué)理念.

2.堅(jiān)持學(xué)生主體、教師主導(dǎo)的教學(xué)理念

波利亞提出的“主動(dòng)學(xué)習(xí)”表明，學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是自己去發(fā)現(xiàn)[4].在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、獲得新知.傳統(tǒng)的“填鴨式”和“滿堂灌式”的教學(xué)，只體現(xiàn)了教師在課堂中的主導(dǎo)作用，卻忽視了學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)中的主體地位，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中參與感極低，久而久之，便會(huì)喪失學(xué)習(xí)的興趣.由此可見，教師應(yīng)堅(jiān)持學(xué)生主體、教師主導(dǎo)的教學(xué)理念，進(jìn)行指向激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)感、調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì).

3.實(shí)現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)價(jià)值追求

“以學(xué)生發(fā)展為本”是當(dāng)前課程改革的核心理念，它決定著課堂教學(xué)變革的基本價(jià)值取向.林崇德教授曾言：“教學(xué)的重要任務(wù)，是在傳授知識(shí)的同時(shí)，靈活的發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的智力與能力[5].”曹才翰教授曾指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)所提到的數(shù)學(xué)能力可以分為兩大類，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的能力，對(duì)這兩個(gè)處于平行關(guān)系的層面再進(jìn)行細(xì)分，又涉及到運(yùn)算能力、空間想象力、邏輯思維能力和初步應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.[6]”教師要在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生這四項(xiàng)基本能力，引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，幫助學(xué)生在編碼新知識(shí)的過程中提升數(shù)學(xué)能力，掌握數(shù)學(xué)方法，真正做到以學(xué)生的發(fā)展為本.

(二)兩個(gè)關(guān)鍵

三個(gè)原則是宏觀視角下“以學(xué)定教”理念對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求.從微觀視角來看，“以學(xué)定教”理念對(duì)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)也提出了標(biāo)準(zhǔn)，即要求教師在教學(xué)時(shí)既要提出“好”的問題，又要自然地展現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程.

1.提“好”的問題

問題是學(xué)生思維迸發(fā)的泉眼.在實(shí)際教學(xué)過程中，教師只有提出“好”的問題，才能激發(fā)學(xué)生的求知欲，主動(dòng)發(fā)生思維活動(dòng).“好”的問題不僅能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能夠在學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的過程中，增強(qiáng)學(xué)生的滿足感并建立學(xué)習(xí)自信.符合以下標(biāo)準(zhǔn)的問題才能稱作“好”的問題：其一，與課堂有關(guān)，有深刻意義；其二，扎根于合適根據(jù)地，圍繞“最近發(fā)展區(qū)”；其三，指向數(shù)學(xué)本質(zhì)與核心.

2.自然地展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程

教師要依據(jù)課本所提供的知識(shí)素材，設(shè)計(jì)符合學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知水平的教學(xué)設(shè)計(jì)，選擇“合適根據(jù)地”，確定最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生自然地體會(huì)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)新知識(shí)的承載與編碼.教師在教學(xué)中要借助數(shù)學(xué)情境，鼓勵(lì)學(xué)生尋找新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，以此來體會(huì)學(xué)習(xí)新知識(shí)的意義與必要性，幫助學(xué)生順利地、自然地將新知識(shí)納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

(三)一個(gè)核心——圍繞學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)

學(xué)情分析是教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).教師只有充分了解學(xué)生的基本情況，才能“量體裁衣”，因材施教.這要求教師需要把握學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)時(shí)的心理活動(dòng)，明確發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)的心理序列，掌握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，基于教學(xué)內(nèi)容選取合適的教學(xué)方法.教師要建立“合適根據(jù)地”，設(shè)計(jì)基于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué).倘若教學(xué)內(nèi)容的難度過高，學(xué)生便難以理解、吸收；若教學(xué)內(nèi)容過于簡(jiǎn)單，則不利于學(xué)生能力的提升.由此可見，教師唯有充分了解學(xué)生，進(jìn)行真正符合學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)與認(rèn)知水平的教學(xué)，學(xué)生才能有所收獲.

三、“以學(xué)定教”理念指導(dǎo)下的“兩角差的余弦公式”教學(xué)設(shè)計(jì)

俚語有言：“理在用時(shí)方知妙”.真正進(jìn)行指向“以學(xué)定教”的教學(xué)不是一件容易的事，需要教師基于課堂教學(xué)模式的“三二一”要點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)，這沒有一個(gè)固定的教學(xué)模式可以規(guī)范性地執(zhí)行，為此，這里以“兩角差的余弦公式”教學(xué)設(shè)計(jì)為例加以說明.

(一)創(chuàng)設(shè)情境、引入課題

圖1

生：W=|F|·|S|cos(45°-β)=30cos(45°-β).

師：很好.只要我們能夠求出cos(45°-β)的值，我們就可以得到答案.我們?nèi)绾尾拍芮蟪鏊闹的兀?/p>

師：cos(45°-30°)=cos15°的值為多少？

生：不是特殊角度，我們只能通過計(jì)算器求解.

圖2

師：我們不能每次都構(gòu)造直角三角形來求解非特殊角度的余弦值，大家觀察cos(45°-30°)這個(gè)式子，我們能不能借助已經(jīng)學(xué)過的特殊角度的三角函數(shù)值求出cos15°呢，大家大膽猜測(cè)一下？

生：我猜cos(45°-30°)=cos45°-cos30°.

師：這個(gè)猜測(cè)正確嗎？

師：大家想一想，還可以寫成什么形式呢？

設(shè)計(jì)意圖：這里由物理情境引出亟待解決的問題，即求解cos(45°-30°)=cos15°.基于學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，并不能快速、準(zhǔn)確地求出答案，但cos15°是由學(xué)生熟悉的特殊角度組合而成的，故而教師引導(dǎo)學(xué)生借助四個(gè)特殊角度的三角函數(shù)來解決問題.這其實(shí)就是兩個(gè)關(guān)鍵中的“好”的問題.這里的問題能夠幫助學(xué)生體會(huì)到解決問題的迫切性，也符合了“好”的問題的三個(gè)要求：既與所要學(xué)習(xí)的新知識(shí)——兩角差的余弦公式相關(guān)，又立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，從學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中調(diào)取知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生自主解決問題，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與核心.

(二)設(shè)置懸念、激發(fā)矛盾

師：應(yīng)該如何運(yùn)用特殊三角函數(shù)值求解出cos(45°-30°)呢？大家思考一下，我們之前有沒有學(xué)過形如cos(45°-30°)的公式呢？

生：我們以前學(xué)過的誘導(dǎo)公式也是求解兩角差的余弦公式.

師：很好，形式確實(shí)很相似.同學(xué)們觀察下面四個(gè)誘導(dǎo)公式，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：四個(gè)誘導(dǎo)公式變成了cos(α-β)的形式，其形式與cos(45°-30°)更相似了.

師：也就是說，如果我們能得到cos(α-β)的展開式，我們就能夠找到求解cos(45°-30°)的簡(jiǎn)便方法.大家參考四個(gè)誘導(dǎo)公式，可以發(fā)現(xiàn)cos(α-β)的展開式都含有哪些元素嗎？

生：sinβ、cosβ一定有.

師：很好.假設(shè)我們調(diào)換二者的位置，那么cos(α-β)又可以轉(zhuǎn)化為何種等價(jià)形式？表達(dá)式里還有其他元素嗎？

生：cos(α-β)=cos[-(β-α)]=cos(β-α)，所以還可能會(huì)有sinα、cosα.

三角函數(shù)式cos45°cos30°sin45°sin30°三角函數(shù)值22322212

師：我們得到了兩種答案，哪一種更合理呢？

生：①式更合理，我們可以通過cos(90°-60°)=cos30°代入驗(yàn)證.

師：很好.由此我們得到cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ③.

設(shè)計(jì)意圖：在此環(huán)節(jié)，既體現(xiàn)了一個(gè)核心——圍繞學(xué)情展開教學(xué)，又體現(xiàn)了教學(xué)時(shí)應(yīng)該遵守的三個(gè)原則.教師基于學(xué)生已經(jīng)掌握的誘導(dǎo)公式引導(dǎo)學(xué)生探究?jī)山遣畹挠嘞夜?，幫助學(xué)生借助頭腦中已有的舊知識(shí)編碼新知識(shí)，不僅有助于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和掌握，還能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)自信與參與感.在探究?jī)山遣畹挠嘞夜交拘问降倪^程中，充分體現(xiàn)了學(xué)生主體、教師主導(dǎo)的教育理念和以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)價(jià)值追求.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，這里的教學(xué)設(shè)計(jì)充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位.學(xué)生不是被動(dòng)的接受知識(shí)，而是根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)探究?jī)山遣畹挠嘞夜降幕拘问?在這一過程中，學(xué)生的運(yùn)算能力與邏輯思維能力也得到了提高，真正做到以學(xué)生發(fā)展為本.除此之外，教師也注意了教學(xué)中教導(dǎo)的限度與施教方式.教師所提出的問題為學(xué)生留出了足夠的思考空間，旨在借助適當(dāng)?shù)摹傲舭住焙蛦l(fā)式的教學(xué)方式鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提高解決問題的能力.

(三)提出猜想、積極驗(yàn)證

圖3

師：由于cosθ=cos(α-β)，我們就驗(yàn)證了cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：同學(xué)們繼續(xù)思考，若α、β在其他象限，即α-β?[0，π]的情況下，結(jié)論還會(huì)成立嗎？

生：當(dāng)α-β?[0,π]時(shí)，則存在k、m∈Z，使得α-β=2kπ+θ或β-α=2mπ+θ，即cos(α-β)=cosθ，cos(α-β)=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：非常正確.這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的兩角差的余弦公式，即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

設(shè)計(jì)意圖：這里以平面向量為工具，引導(dǎo)學(xué)生證明自己的猜想——兩角差的余弦公式的基本形式.基于學(xué)生已經(jīng)掌握的平面向量的有關(guān)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生求解兩向量之積，從而證明了猜想的合理性.這種教學(xué)方式自然地展現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，教師環(huán)環(huán)緊扣，幫助學(xué)生順利地運(yùn)用已有的知識(shí)推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，學(xué)生便自然地將新知識(shí)“掛靠”到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.

(三)學(xué)以致用、例題講解(略)

(四)小結(jié)評(píng)價(jià)、作業(yè)布置(略)

四、簡(jiǎn)要結(jié)語

“以學(xué)定教”教學(xué)思想指導(dǎo)下提出的“三二一”數(shù)學(xué)教學(xué)模式要點(diǎn)能幫助教師設(shè)計(jì)出真正適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué).首先，教師在教學(xué)前必須充分了解學(xué)生的知識(shí)水平與認(rèn)知方式，基于學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)；其次，在教學(xué)設(shè)計(jì)中要拋出“好”的問題激發(fā)學(xué)生的求知欲，用適當(dāng)?shù)恼n堂“留白”和啟發(fā)式的教學(xué)模式引導(dǎo)學(xué)生自然地體會(huì)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，貫徹和落實(shí)學(xué)生主體、教師主導(dǎo)的教學(xué)理念，堅(jiān)持以學(xué)生的發(fā)展為本，提高學(xué)生的運(yùn)算能力、空間想象力、邏輯思維能力和初步應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力；最后，幫助學(xué)生真正掌握和理解新知識(shí)，并實(shí)現(xiàn)新知識(shí)的承載與編碼，將新知識(shí)融入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.這便實(shí)現(xiàn)了基于“三二一”要點(diǎn)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，也真正體現(xiàn)了“以學(xué)定教”教學(xué)思想的真正內(nèi)涵與意義.