一類與雙變量有關(guān)的恒成立（取值范圍）問(wèn)題的處理策略

劉洋

摘 要： 在高三備考過(guò)程中，含有雙變量的恒成立（取值范圍）問(wèn)題是眾多同學(xué)的棘手問(wèn)題，此類題型變化較大，解法不唯一，學(xué)生在面對(duì)含有兩個(gè)以上變量的問(wèn)題時(shí)，處理策略不明確.本篇論文就是研究如何處理與雙變量有關(guān)的恒成立（取值范圍）問(wèn)題，解決雙變量的恒成立問(wèn)題常常用以下幾種方法： 代入減元、等量減元、換元減元、構(gòu)造齊次式，選取主元等方法.

關(guān)鍵詞：雙變量; 減元; 恒成立; 取值范圍

高中數(shù)學(xué)中與雙變量有關(guān)的恒成立（取值范圍）問(wèn)題是高考的一重要知識(shí)點(diǎn)，在選擇題、填空題、解答題題型中均有出現(xiàn)，是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn).新高考越來(lái)越注重對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力等綜合素質(zhì)的考察，恒成立問(wèn)題便是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、變量轉(zhuǎn)化方法、函數(shù)與方程等思想方法[1].在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，備受高考命題者的青睞，成為高考服務(wù)選才，注重科學(xué)引導(dǎo)，也體現(xiàn)了高考在人才選拔培養(yǎng)中的核心地位和關(guān)鍵作用[2].同時(shí)借助與雙變量有關(guān)的恒成立（取值范圍）問(wèn)題這一類知識(shí)的考查，也客觀明確了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、綜合駕馭知識(shí)的能力.

本文重點(diǎn)闡述以下幾種常用的解決與雙變量有關(guān)的恒成立（取值范圍）問(wèn)題方法： 代入減元、等量減元、換元減元、構(gòu)造齊次式，選取主元等方法加以解決.

一、與雙變量有關(guān)的取值范圍問(wèn)題----代入減元

例1 （2021年烏魯木齊地區(qū)高三年級(jí)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)理科16題）已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，且存在垂直于y軸的切線，則的取值范圍為_(kāi)______.

解析? 法一：（常規(guī)減元）因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，

所以對(duì)恒成立，

由題意知必有且，又因?yàn)楹瘮?shù)存在垂直于y軸的切線，

則必有且，即，變形有，=，分類討論：

（1）當(dāng)時(shí)，;

（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍遥?，令，則，.

綜上（1）（2）知.

法二：（非常規(guī)減元）若符合本題題意，則函數(shù)可化為，即展開(kāi)為，

則.

所以，分類討論：

（1）當(dāng)時(shí)，;

（2）當(dāng)時(shí)，，令，

則，即有.

綜上（1）（2）可知.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的基本性質(zhì)----值域，利用不同的減元方式，最終化為僅含一個(gè)變量的不等式或函數(shù)的取值范圍問(wèn)題，也考查學(xué)生靈活運(yùn)用已有知識(shí)，轉(zhuǎn)化與化歸能力.

二、與雙變量有關(guān)的恒成立問(wèn)題解析----等量減元

例2 設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（? ）

解析 由已知得 （*）

則 ，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，”=”成立，把代入（*）式，得，

所以 ，故選B.

點(diǎn)評(píng) 此題是山東高考理科第12題，作為選擇題壓軸題，其難度在于如何尋求多元變量之間的關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到減元的目的.其實(shí)，由變到就已經(jīng)應(yīng)用到了代入消元，再由變到仍然用到了整體消元的思想（把當(dāng)做整體），從而尋求到了取最大值時(shí)變量之間的關(guān)系.最后由變到應(yīng)用到了之間的等量關(guān)系進(jìn)行減元，從而達(dá)到求出最值的目的.

三、與雙變量有關(guān)的恒成立問(wèn)題----換元減元

例3 已知，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析 原問(wèn)題等價(jià)于： 當(dāng)，不等式恒成立.

令，，即求函數(shù)的最小值.令，因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)椋?/p>

所以，當(dāng)時(shí)，，故

點(diǎn)評(píng)：此題中的，若不加處理，難以將變量統(tǒng)一起來(lái).但是，觀察到與的關(guān)系，通過(guò)換元很巧妙的將變量統(tǒng)一起來(lái)，達(dá)到減元的目的.

四、與雙變量有關(guān)的恒成立問(wèn)題----構(gòu)造齊次式、選取主元

理論闡述

函數(shù)導(dǎo)數(shù)是高考中必考的一個(gè)考點(diǎn)，其思維量大，難度高.有一類關(guān)于的問(wèn)題（稱為雙變量問(wèn)題）廣泛存在于高三試卷中.如果能巧妙處理雙變量問(wèn)題，對(duì)于提高學(xué)生的解題信心應(yīng)該有很大幫助.

例4（新疆維吾爾自治區(qū)2021年普通高考第二次適應(yīng)性檢測(cè)年文科12題）若，則的最小值是（? ? ?）

A.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C.? ? ? ? ? ? ? ? ? D.2

解析? 由條件得，，，變?cè)谝蟮牡淖钚≈抵行问降乃膫€(gè)變量，本質(zhì)上只有兩個(gè)變量可在同一坐標(biāo)系中利用函數(shù)法選取和圖像如圖1所示.

求的最小值，僅需要平移直線使其與相切即可.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，化簡(jiǎn)得，解得（舍去），，所以切點(diǎn)為點(diǎn)切線為：，則兩條平行線（如圖2所示）間的距離的平方就是的最小值，

即.

規(guī)律總結(jié) 多變量問(wèn)題中，由于兩個(gè)變量的地位相同，將待求解條件進(jìn)行變形，可以選取不同函數(shù)，構(gòu)造關(guān)于它的一元函數(shù)來(lái)處理.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，并注意將新穎的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)尋找靈感，達(dá)到求解的目的.

結(jié)束語(yǔ)

關(guān)于“與雙變量有關(guān)的恒成立”問(wèn)題的策略還有很多，對(duì)于某些“恒成立”題目，不一定用一種方法，還可用多種方法去處理.這就要求我們應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生從多角度，全方位做深入探索，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，培養(yǎng)和提高學(xué)生思維能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維，有良好的觀察與分析問(wèn)題的能力，靈活的轉(zhuǎn)化問(wèn)題能力，使所見(jiàn)到的“恒成立”問(wèn)題更有效地解決.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 教育部考試中心，中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[S].北京：人民教育出版社，2019.

3502500338224