數(shù)學抽象概括能力的培養(yǎng)之模式化教學方式

羅容清

摘 要：國際象棋大師除了習得了50000種不同的國際象棋模式，還學會了怎樣應(yīng)對這些模式。我們教學生數(shù)學，也采用模式化的教學方式，除了可以提高學生的應(yīng)試能力和數(shù)學抽象概括能力。抽象概括主要包括兩個方面。第一，對知識的概括;第二，對方法的概括。

關(guān)鍵字：模式;抽象概括能力;定理和概念教學程序化;解題模式化

專家們試圖找出國際象棋大師和較弱的棋手之間的主要區(qū)別，在德格魯特（De groot，1956，1966）的研究中發(fā)現(xiàn)，國際象棋大師估計習得了50000種不同的國際象棋模式，并且他們能夠很快的在棋局中識別這些模式。記憶這么多的模式和在國際象棋比賽中的優(yōu)異表現(xiàn)之間有什么聯(lián)系？紐厄爾和西蒙（Newell&Simon，1972）推測，除了學習了許多模式以外，大師們還學會了怎樣應(yīng)對這些模式。大師能夠有效地“看到”可能的著法，而不需要思考它們。這就說明了為什么國際象棋大師擅長于幾秒鐘一步的快棋賽。了解了這個例子，我陷入了沉思：這給我們的數(shù)學教學以什么啟示？如果我們教學生數(shù)學，也采用模式化的教學方式，除了可以提高學生的應(yīng)試能力——就像國際象棋大師一樣，同時他們的數(shù)學抽象概括能力應(yīng)該也是可以獲得提高。

我國著名數(shù)學教育家，數(shù)學教育心理學研究的開創(chuàng)者和奠基人曹才翰指出了數(shù)學概括的兩層含義：其一，指在思想上把具有相同本質(zhì)特性的事物聯(lián)系起來;其二，是把被研究對象的本質(zhì)特性推廣位范圍更廣的包含這個對象的同類事物的本質(zhì)特性。

數(shù)學抽象概括能力一般表現(xiàn)在以下幾個方面：（1）數(shù)學語言意義的概括能力;（2）數(shù)學概念的概括能力;（3）對數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的概括能力;（4）數(shù)學思想方法的概括。

數(shù)學學習必須通過解決問題去理解和鞏固知識，而解決問題是訓(xùn)練學生抽象概括能力的一種有效途徑。在解決問題中，抽象概括主要包括兩個方面。第一，對知識的概括，也即是對數(shù)學語言意義和數(shù)學概念的概括。第二，對方法的概括。也即是對數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學思想方法的概括。解決問題除了要用到某些知識外，必然要用到某些某些方法，一種方法往往可能具有一般性，它不僅可以用來解決一個問題，還有可能用來解決一類問題，對解決當前問題要對這個問題進行歸類，把這個問題置于某種數(shù)學方法的統(tǒng)領(lǐng)之下，形成一種以方法統(tǒng)攝知識的體系。

在解題教學中，教師要訓(xùn)練學生在知識和方法兩個方面的概括意識和概括能力。具體的做法可以參考如下幾點：

一：定理和概念教學程序化，促進學生對陳述性的知識和精深加工，最終形成應(yīng)用模式

數(shù)學程序性知識是由陳述性知識轉(zhuǎn)化而來的，是陳述性知識的動態(tài)成分。它是以“產(chǎn)生式”這種動態(tài)形式來表征，一個產(chǎn)生式總是對某一或某些特定的條件滿足時才發(fā)生的某種行為的一種程序。當一個產(chǎn)生式的行動成為另一個產(chǎn)生式的條件時，這兩個產(chǎn)生式便建立了相互的聯(lián)系。它同時還是一種雙向產(chǎn)生式?！半p向產(chǎn)生式”是指一種具有雙重功能的指令，它既能指令在具備什么樣的條件下會有什么動作，又能指令在不同的情形中選用不同的產(chǎn)生式。換言之，學習者不僅知道一條“如果......那么……”規(guī)則，而且還應(yīng)該知道在什么條件下使用這條規(guī)則。

由此學生不再依賴于逐字的回憶定理內(nèi)容，而是把定理的應(yīng)用抽象概括成了一個模式。模式識別是技能程序化的一個重要部分。我們不必再思考下一步做什么，我們只要識別什么事適合于當前情境的做法。

二：解題模式化

解決問題重在對問題的表征，深入理解題意，尋找解決當前問題的遷移源，而不是盲目地“試誤”;重在對問題解決后的反思，重在培養(yǎng)學生對模式和方法的概括能力，從現(xiàn)實問題中概括出具體的數(shù)學題型的模型。

所以，樣例的教學中，為了讓學生能夠模仿樣例進而超越樣例去解決問題，老師可以引導(dǎo)學生抽象概括出解這一類型題的解題模式。也就是把一些相同相似的同類的題例放在一起，找出規(guī)律，尋找相同點和不同點，概括總結(jié)出共性，進而撒下探究的“種子”。讓 同學們總結(jié)歸納同類型題的解決方法，并注意探究和發(fā)掘變化的事物中蘊含的一般規(guī)律。主動嘗試變化的過程，探求其中的奧妙，最終抽象概括出解題模式。

例如，對于任意實數(shù)x，y，總有，若令，則x=a+b，y=a-b。這個二元代換可以用于解決一類問題。

例 實數(shù)x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，

分析? 令x=a+b，y=a-b，代入已知等式化簡，得

。

由于，得從而

由此，容易求得Smax和Smin值.

又如七年級學了平行線的性質(zhì)后，有如下類似的題：

（1）如圖AB∥CD，試判斷∠BEF、∠EFG、∠FGD之間的關(guān)系.并說明理由.

（2）如圖AB∥CD，∠AEF=150°，∠DGF=60°.試判斷EF和GF的位置關(guān)系，并說明理由.

本題的解答需要先過點F做輔助線l平行于AB，然后才能運用平行線的性質(zhì)來求解。這對于七年級的大多數(shù)學生來說，他們的數(shù)學抽象概括能力，主要還停留在小學的水平，對于添加輔助線還沒有任何的概念，所以這就需要老師利用多個類似的樣題和練習，引導(dǎo)學生抽象概括出這種題型作輔助線的條件，從而總結(jié)出解題模式。

三：課后反思歸納分類總結(jié)題型的解題模式

除了樣例的教學中，老師要有意識的引導(dǎo)學生抽象概括出解這一類型題的解題模式。平時的作業(yè)，或階段復(fù)習時也可以布置學生去收集同類型題，然后逐步讓學生半獨立，獨立地概括總結(jié)出其解題模式，老師進行評價和總結(jié)。經(jīng)過訓(xùn)練，學生就能夠識別在很多問題中重復(fù)出現(xiàn)的各種要素及其模式，當這些模式出現(xiàn)時，不假思索就知道該怎么做。通過一個個解題模式，掌握問題解決規(guī)則和適當?shù)膯栴}解決組織方式，讓學生學會舉一反三，觸類旁通，以不變應(yīng)萬變。使學生在變化的多個習題中，發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律，從而提高解決問題的能力，抽象概括能力也隨之獲得提高。

參考文獻：

[1]張英伯，曹一鳴《數(shù)學教學心理學》，北京師范大學出版社

[2]約翰.安德森《認知心理學及其啟示》第七版，人民郵電出版社

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