“恒成立”條件下參數(shù)范圍的求解策略

徐創(chuàng)瑜

下面就數(shù)學(xué)中常見的恒成立條件下參數(shù)范圍的求解問題作一總結(jié)。

1.分離參數(shù)法

若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩側(cè)，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解。

在給出的不等式中，如果通過恒等變形不能直接解出參數(shù)，則可將兩變量分別置于不等式的兩邊，即：若f（a）≥g（x）恒成立，只須求出g（x）max，則f（a）≥g（x）max，然后解不等式求出參數(shù)a的取值范圍;若f（a）≤g（x）恒成立，只須求出g（x）min，則f（a）≤g（x）min，然后解不等式求出參數(shù)a的取值范圍，問題還是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。

2.變換主元法（適用于一次函數(shù)型）

在給出的含有兩個(gè)變量的不等式中，我們習(xí)慣把變量x看成是主元（未知數(shù)），而把另一個(gè)變量a看成參數(shù)，在有些問題中這樣的解題過程比較繁瑣.如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。

例對(duì)于滿足|p|≤2的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)變量：x、p，并且是給出了p的范圍要求x的相應(yīng)范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把p看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[-2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)函數(shù)值大于0恒成立求參變量x的范圍的問題。

解：原不等式可化為（x-1）p+x2-2x+1>0，令f（p）=（x-1）p+x2-2x+1>0，則原問題等價(jià)于f（p）>0在p∈[-2，2]上恒成立。

方法一：x-1<0f（2）>0或x-1>0f（-2）>0∴x<-1或x>3。

方法二：f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0解得：x>3或x<1x>1或x<-1

∴x<-1或x>3。

評(píng)注：利用函數(shù)思想，變換主元，通過直線方程的性質(zhì)求解。

3.數(shù)形結(jié)合法

先將不等式（等式）兩端的式子進(jìn)行合理的變形，然后把不等式（等式）兩端的式子分別看作兩個(gè)函數(shù)，且正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后通過觀察兩圖象（特別是交點(diǎn)時(shí)）的位置關(guān)系，判斷參數(shù)的范圍。

評(píng)注：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的一種基本思想方法，要養(yǎng)成從數(shù)、形兩個(gè)方面去思考問題的習(xí)慣，這在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是極為有益的。

4.利用二次函數(shù)的性質(zhì)

有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問題得到順利解決。常常有以下兩類情況：

（1）可化為二次函數(shù)在R上恒成立問題

設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

①f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0;

②f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0。

例對(duì)于x∈R，不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：不妨設(shè)f（x）=x2-2x+3-m，其函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，為了使f（x）≥0（x∈R），只需△≤0，即（-2）2-4（3-m）≤0，

解得m≤2？圯m∈（-∞，2]。

評(píng)注：對(duì)于有關(guān)二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）的問題，可設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，由a的符號(hào)確定其拋物線的開口方向，再根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，由判別式進(jìn)行解決。

（2）可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上恒成立問題

設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）當(dāng)a>0時(shí)，

為了使f（x）≥k在x∈[-1，+∞）恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)F（x）=f（x）-k是解題的關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決。

（作者單位：甘肅省民勤縣第四中學(xué)）