毛加驊
摘 要:直線與圓錐曲線問題中,經(jīng)常涉及到韋達(dá)定理,學(xué)生在計(jì)算中覺得繁瑣,計(jì)算的錯(cuò)誤多。為了減少錯(cuò)誤,優(yōu)化運(yùn)算,筆者運(yùn)用了三階行列式與兩根之差公式計(jì)算面積,二次函數(shù)中的兩根式減少了繁瑣的計(jì)算過程,簡化運(yùn)算步驟,提高運(yùn)算的正確率。
關(guān)鍵詞:直線與圓錐曲線;運(yùn)算技巧
在直線與圓錐曲線問題中,聯(lián)立方程組消元之后會(huì)得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程,在涉及弦長與面積的計(jì)算中,需要運(yùn)用韋達(dá)定理來計(jì)算兩個(gè)根的差,或者在其它問題中需要計(jì)算等類似的式子。計(jì)算過程中,會(huì)顯得繁瑣,錯(cuò)誤多,筆者利用以下的三個(gè)公式,優(yōu)化了運(yùn)算,減少錯(cuò)誤。
一、三個(gè)公式
1.根差公式
一元二次方程中,由求根公式得到
根差公式:.
2.三角形面積公式
已知直線上兩點(diǎn),,與定點(diǎn), 那么三角形的面積可以用三階行列式表示為,將三階行列式展開,將分別代入三階行列式的展開式中,就可以得到面積公式:.
3.兩根式
一元二次方程中兩個(gè)根為與,那么可以將方程表示為 ,所以.
二、公式應(yīng)用
例題1.(2012年·北京文科卷)已知橢圓C:的一個(gè)頂點(diǎn), 離心率為.直線與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△AMN得面積為時(shí),求k的值.
解:(1)橢圓C的方程為.
(2)由得------(*)
設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為,,則由面積公式,將代入可得,因?yàn)椋?)中?、,所以面積,由,解得.
例題2.(2014年·湖南文科卷)如圖5,O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線和橢圓均過點(diǎn),且以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求C1,C2的方程;
(2)是否存在直線l,使得l與C1交于兩點(diǎn),與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),且?證明你的結(jié)論.
解:(1)計(jì)算可得C1,C2的方程為.
(2)①若直線l垂直于x軸 ,因?yàn)閘與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),
所以直線的方程為或,由計(jì)算可得.
②當(dāng)直線l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為,由 消元可得
方程------(#)
當(dāng)l與C1相交于兩點(diǎn)時(shí),設(shè),則滿足上述方程的兩個(gè)實(shí)根,那么令,由兩根式可得而等價(jià)于,所以只需要計(jì)算,其中由(#)式可得,,而
,
由消元可得,因?yàn)橹本€l與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以上述方程的判別式,
化簡可得,因此
,
從而.綜合(1)與(2)可知,不存在符合題目條件的直線.
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