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      直線與圓錐曲線問題中優(yōu)化運(yùn)算的技巧

      2021-03-11 00:40:06毛加驊
      天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年12期
      關(guān)鍵詞:行列式三階一元二次方程

      毛加驊

      摘 要:直線與圓錐曲線問題中,經(jīng)常涉及到韋達(dá)定理,學(xué)生在計(jì)算中覺得繁瑣,計(jì)算的錯(cuò)誤多。為了減少錯(cuò)誤,優(yōu)化運(yùn)算,筆者運(yùn)用了三階行列式與兩根之差公式計(jì)算面積,二次函數(shù)中的兩根式減少了繁瑣的計(jì)算過程,簡化運(yùn)算步驟,提高運(yùn)算的正確率。

      關(guān)鍵詞:直線與圓錐曲線;運(yùn)算技巧

      在直線與圓錐曲線問題中,聯(lián)立方程組消元之后會(huì)得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程,在涉及弦長與面積的計(jì)算中,需要運(yùn)用韋達(dá)定理來計(jì)算兩個(gè)根的差,或者在其它問題中需要計(jì)算等類似的式子。計(jì)算過程中,會(huì)顯得繁瑣,錯(cuò)誤多,筆者利用以下的三個(gè)公式,優(yōu)化了運(yùn)算,減少錯(cuò)誤。

      一、三個(gè)公式

      1.根差公式

      一元二次方程中,由求根公式得到

      根差公式:.

      2.三角形面積公式

      已知直線上兩點(diǎn),,與定點(diǎn), 那么三角形的面積可以用三階行列式表示為,將三階行列式展開,將分別代入三階行列式的展開式中,就可以得到面積公式:.

      3.兩根式

      一元二次方程中兩個(gè)根為與,那么可以將方程表示為 ,所以.

      二、公式應(yīng)用

      例題1.(2012年·北京文科卷)已知橢圓C:的一個(gè)頂點(diǎn), 離心率為.直線與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M,N.

      (1)求橢圓C的方程;

      (2)當(dāng)△AMN得面積為時(shí),求k的值.

      解:(1)橢圓C的方程為.

      (2)由得------(*)

      設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為,,則由面積公式,將代入可得,因?yàn)椋?)中?、,所以面積,由,解得.

      例題2.(2014年·湖南文科卷)如圖5,O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線和橢圓均過點(diǎn),且以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.

      (1)求C1,C2的方程;

      (2)是否存在直線l,使得l與C1交于兩點(diǎn),與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),且?證明你的結(jié)論.

      解:(1)計(jì)算可得C1,C2的方程為.

      (2)①若直線l垂直于x軸 ,因?yàn)閘與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),

      所以直線的方程為或,由計(jì)算可得.

      ②當(dāng)直線l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為,由 消元可得

      方程------(#)

      當(dāng)l與C1相交于兩點(diǎn)時(shí),設(shè),則滿足上述方程的兩個(gè)實(shí)根,那么令,由兩根式可得而等價(jià)于,所以只需要計(jì)算,其中由(#)式可得,,而

      ,

      由消元可得,因?yàn)橹本€l與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以上述方程的判別式,

      化簡可得,因此

      ,

      從而.綜合(1)與(2)可知,不存在符合題目條件的直線.

      3812500338285

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