第一學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)中孕伏早期代數(shù)思維的實(shí)踐探索

王孫君

摘 要：結(jié)合第一學(xué)段數(shù)學(xué)教材中數(shù)與運(yùn)算教學(xué)，讓學(xué)生感知符號意識和量與量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系思維，理解簡單的代數(shù)方式和代數(shù)關(guān)系，能促進(jìn)學(xué)生早期代數(shù)思維的萌發(fā)。

關(guān)鍵詞：第一學(xué)段;數(shù)學(xué)教學(xué);早期代數(shù)思維

數(shù)學(xué)教育中，代數(shù)思維被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的“核心思想”。從20世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)教育家們就非常注重代數(shù)思維的早期培養(yǎng)。根據(jù)2018年修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》有關(guān)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的目標(biāo)要求，現(xiàn)行教材采取了分散滲透與集中安排相結(jié)合的方式編排代數(shù)課程內(nèi)容，從低年級適度地早期孕伏，逐步過渡到高年級初步集中學(xué)習(xí)。如何在第一學(xué)段教學(xué)中融入早期代數(shù)思維，幫助學(xué)生理解簡單的代數(shù)方式和代數(shù)關(guān)系？ 現(xiàn)把我們的實(shí)踐與同行分享。

一、研析教材中早期代數(shù)課程資源

我們課題組潛心研讀、梳理了人教社第一學(xué)段教材能融入早期代數(shù)思維教學(xué)的有關(guān)典型習(xí)題，整理成下表。

上述典型習(xí)題均融合在專項(xiàng)練習(xí)中，其宗旨為：

1.初步了解符號意識和等號的相等關(guān)系性質(zhì)

教材結(jié)合數(shù)與運(yùn)算內(nèi)容，有機(jī)安排了“在符號中填上合適的數(shù)”，如□-10=4、3×（）=（）×（）、12=〇+〇+〇等。其目的為：一是讓學(xué)生知道口與（ ）、〇等既可以表示填寫數(shù)的空位，也可以用來表示數(shù);二是幫助學(xué)生理解等號內(nèi)含的關(guān)系性質(zhì)：等號也表示相等且左右相等的符號，從而突破“等號左邊是運(yùn)算、右邊是結(jié)果，等號是用來連接算式和得數(shù)的”這一程序性質(zhì)的局限。

2.初步感知量與量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系思維

結(jié)合問題解決，分析概括出量與量之間關(guān)系性元素，把其潛在的結(jié)構(gòu)表達(dá)出來。如二上：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿;2只青蛙（ ）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿;照這樣說，一直說到6只青蛙。這一過程所內(nèi)涵的規(guī)律、相等關(guān)系把數(shù)量提高到一般化、概括化的高度，其實(shí)質(zhì)就是學(xué)生代數(shù)思維外顯的結(jié)果。

二、探尋代數(shù)思維萌發(fā)的方法路徑

（一）激活已有經(jīng)驗(yàn)，感知符號意識

1.在多元接觸中感知符號的數(shù)學(xué)價值

一上比較兩個數(shù)的大小時，學(xué)生就開始接觸=、〉、〈，初步感知這些符號是用來比較兩個數(shù)的大小關(guān)系，等號是用來連接式和得數(shù)。學(xué)習(xí)10以內(nèi)的加減法時安排了如：7+□=8、4+？=6，讓學(xué)生知道□、？ 等可以表示一個數(shù)。這是最早的符號意識的感知。

2.在多維感悟中理解等號的關(guān)系性質(zhì)

（1）在認(rèn)數(shù)操作時感知 “認(rèn)識6”時，先引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)具袋中挑出自己喜歡的6個學(xué)具，把它們分成兩堆并說一說。后設(shè)問：有的小朋友擺了一種，有的擺了兩種，還有的更多，怎樣才能把五種情況一種不漏地擺出來呢？有沒有更好的辦法？討論反饋后，追問：6可以分成幾和幾，你能用算式表示嗎？師板書：6=1+5，6=5+1，6=2+4，6=4+2，6=3+3。接著讓學(xué)生觀察思考：這些算式和以前學(xué)習(xí)的有什么不同？學(xué)生發(fā)現(xiàn)以前的算式加號在等號的左邊，這些算式加號在等號的右邊。使學(xué)生認(rèn)識到等號不只是從左到右的運(yùn)算符號，還可以表示左右兩邊是一種相等關(guān)系。

（2）在計算推理時理解 20以內(nèi)加減法中，安排了很多用□表示未知數(shù)，如□-10=4，讓學(xué)生再次理解□可以表示數(shù)，等號表示左右兩邊相等關(guān)系。100以內(nèi)加減法中，安排了其他符號表示未知數(shù)，進(jìn)行推理，如口一（ ）=△ 等等。有余數(shù)除法中還安排了“□÷□=6……1，被除數(shù)最小是（）”。學(xué)生解答在這些算題的過程中，促進(jìn)了對等號表示左右兩邊相等關(guān)系的理解。這是方程核心思想的孕伏。

3.在比較發(fā)現(xiàn)時理解等式的關(guān)系結(jié)構(gòu)

教學(xué)“9 加幾”時，讓學(xué)生擺一擺小棒來發(fā)現(xiàn)“湊十法”：9+3，把3分成 1 和2，9 和 1 湊成 10，所以 9+3=12。例題教學(xué)和鞏固練習(xí)后，引導(dǎo)學(xué)生比較發(fā)現(xiàn)：我們是怎么計算9加幾的？都是先加上1和9湊成10，然后后面加數(shù)減去1，加上的1減去的1剛好抵消，結(jié)果不變。即（9+1）+（3-1）=9+3，（9+1）+（5-1）=9+5，在比較發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上讓學(xué)生用語言表達(dá)出來。這一隱含的等式關(guān)系結(jié)構(gòu)a+b=（a+1）+（b-1）的感知和理解，在學(xué)習(xí)“湊整”法時進(jìn)行了巧妙運(yùn)用。

（二）遵循認(rèn)知規(guī)律，感知數(shù)量間的結(jié)構(gòu)關(guān)系

1.多元化思考表述，發(fā)展結(jié)構(gòu)意識

教材中安排了很多圖文信息題，讓學(xué)生解決。如一年級上冊下圖：

題目要求“荷葉上還剩幾只青蛙”。有的同學(xué)根據(jù)部分與總體的關(guān)系，用減法來解決：一共有7只青蛙，減去跳走的 2只，等于荷葉上還剩的青蛙，7-2=5;有的用加法來解決：荷葉上還剩的青蛙加上跳走的2只，一共是7只，（5）+2=7。這兩種表述都正確，第二種雖然比第一種思路稍煩些，但卻是方程思維方式的顯現(xiàn)。它不僅有助于學(xué)生對“一共、跳走、還?！比咧g數(shù)量關(guān)系的整體把握，加深學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解，還滲透了用（）表示未知數(shù)參與運(yùn)算。教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生由程序性的算法7-2=5，逐漸向關(guān)系性算法（）+2=7轉(zhuǎn)變，這正是算術(shù)思維向代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。

低年級問題教學(xué)中，借助直觀的圖文信息，引導(dǎo)學(xué)生用多種方法進(jìn)行解決，并用語言把思路表述出來，這樣將算術(shù)與代數(shù)方法并舉，讓學(xué)生在過程中經(jīng)歷思維結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化，感知兩種思維方式之間的差異，逐步發(fā)展學(xué)生的代數(shù)結(jié)構(gòu)意識。

2.規(guī)律性推理識別，孕伏函數(shù)關(guān)系

二上62頁數(shù)青蛙的數(shù)學(xué)游戲：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿;學(xué)生馬上回答：2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿。這么快就說出來了，你們是怎么想的？生馬上回答：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿;2只青蛙2張嘴，2×2=4只眼睛2×4=8條腿。那3只青蛙呢？3只青蛙3張嘴，3×2=6只眼睛，3×4=12條腿。那4只青蛙？4只青蛙4張嘴，4×2=8只眼睛，4×4=16條腿。你們發(fā)現(xiàn)了什么？我們發(fā)現(xiàn)了幾只青蛙，就是幾×2只眼睛，幾×4條腿。你們是怎么發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律的？因?yàn)槊恐磺嗤芏加?只眼睛，所以幾只青蛙就是幾×2只眼睛，每只青蛙都有4條腿，所以幾只青蛙就是幾×4條腿。在老師不斷追問下，學(xué)生探尋推理出了規(guī)律并加以運(yùn)用，有機(jī)孕伏了函數(shù)關(guān)系。

3.操作性等量傳遞，培育方程意識

二下圖示天平教學(xué)，以天平為支撐，讓學(xué)生經(jīng)歷動手增減變換、讓天平平衡的過程中初步滲透方程的性質(zhì)，感悟多種等式的結(jié)構(gòu)。又如“克和千克”單元思考題的學(xué)習(xí)：從圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？生回答：1只鵝=2只鴨，3只雞=2只鴨。你是怎么知道1只鵝=2只鴨？天平的左邊放著1只鵝，右邊放著2只鴨，我們發(fā)現(xiàn)天平的兩邊剛好平衡，所以1只鵝=2只鴨。右邊天平也是平衡的，左邊3只雞，右邊2只鴨，所以3只雞=2只鴨。那一只鴨和一只雞的重量是多少呢？因?yàn)?只鵝=2只鴨，1只鵝=6千克，所以2只鴨=6千克，1只鴨=6÷2=3千克。那1只雞有幾千克呢？1只鵝=2只鴨，3只雞=2只鴨，所以1只鵝=3只雞，也就是3只雞=6千克。1只雞=6÷3=2千克。這一歷程讓學(xué)生認(rèn)識到了相等關(guān)系的傳遞性，浸潤了方程思想。

我們堅(jiān)信：教師們在提升第一學(xué)段學(xué)生數(shù)學(xué)能力的同時，注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，對運(yùn)算問題進(jìn)行“代數(shù)地思考”，一定能發(fā)展學(xué)生的早期代數(shù)思維。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王薇.基于算術(shù)教學(xué)，滲透代數(shù)思維[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（04）.

（此論文為G2019179浙江省教研室規(guī)劃課題《小學(xué)階段代數(shù)思維培養(yǎng)的實(shí)踐研究》研究成果）

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