二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的重要作用

方梅香

摘 要：二次函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，多年來在高考中占據(jù)著重要地位。本文分析了函數(shù)的概念，并通過多道練習題探討了高中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)的重要作用。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);高中數(shù)學(xué);重要作用

前言：

在高中階段，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了一些函數(shù)知識。其中最重要的是二次函數(shù)，了解了它的圖像和基礎(chǔ)特征。但僅限于形式，側(cè)重于定量分析和計算，在高中教材中，函數(shù)的概念是用映射來描述的，比較抽象，更注重對函數(shù)本質(zhì)的研究。抽象程度和學(xué)習方法均高于初中教科書要求，難度系數(shù)更大，學(xué)生很難學(xué)習。而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最重要的定義。學(xué)習函數(shù)的內(nèi)容，將為學(xué)習所有高中數(shù)學(xué)打下堅實的基礎(chǔ)。為更好地降低學(xué)習的難度，輔助學(xué)生學(xué)習函數(shù)，在本學(xué)科課堂教學(xué)中，靈活運用學(xué)生已基礎(chǔ)掌握的二次函數(shù)知識是關(guān)鍵的一環(huán)，本文將對其進行探討。

一、二次函數(shù)的概念及特點

一般而言，變量x與自變量y之間存在相關(guān)性，如：y=ax2+bx+c（a、b、c為參數(shù)，a≠0，二次函數(shù)的開方向在于a.當a>0時，開口位置上升，當a<0時，開度位置下降，|a|的大小會影響二次函數(shù)的開口，|a|越大，越小開，反之，|a|越小，開越大。則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)的最大頻率必須為2。二次函數(shù)的圖像是中心對稱平面平行于y軸或與y軸重疊的雙曲線。如果表達式左側(cè)的y值等于0，則得到一個二次方程。該方程的解稱為二次函數(shù)的零點。

二、二次函數(shù)的圖像

2.1二次函數(shù)基本圖像

在平面圖的直角坐標中，做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像。我們可以看到，當函數(shù)域的取值范圍沒有指定時，二次函數(shù)圖是無限雙曲線。我們可以根據(jù)運動雙曲線y=ax2的圖像，得到與二次函數(shù)y=ax2+bx+c相匹配的圖像。

2.2二次函數(shù)的軸對稱性

二次函數(shù)圖是軸對稱圖。從二次函數(shù)的通式可知，中心對稱為平行線x=-b2a。中心對稱與二次函數(shù)圖像的唯一交點是二次函數(shù)圖像的終點。特殊情況：當b=0時，y軸（即平行線x=0）中心對稱。

2.3決定二次函數(shù)位置的元素

在二次函數(shù)的通式中，一階系數(shù)b和二階系數(shù)a共同決定了中心對稱位置。我們可以記?。鹤筮吺且粯拥?，右邊是不同的。即當中心對稱在y軸左側(cè)時，二次項系數(shù)a和第一項系數(shù)b同號（ab>0）;當中心對稱在y軸右側(cè)時，二次項系數(shù)a和第一項系數(shù)b具有相同的符號（ab<0）。注：一階系數(shù)b有其自身的幾何意義。在二次函數(shù)圖像與y軸的交點處，二次函數(shù)圖像的泛函解析公式（匹配線性函數(shù)）的斜率k值被破壞。

2.4二次函數(shù)的作圖方法

有畫點法和五點畫法（五點草圖法）。五點畫法是二次函數(shù)中常用的畫法。就是基于五個唯一點（終點、與x軸的交點、與y軸的交點、關(guān)于中心對稱的對稱點）來闡明函數(shù)圖。

三、進一步理解函數(shù)概念

在初中教材中，已經(jīng)對二次函數(shù)進行了較為細致的研究，但由于初中生缺乏基礎(chǔ)知識，理解和接受能力有限，二次函數(shù)的學(xué)習過于機械化。在高中階段，再次將基礎(chǔ)要素進行學(xué)習，并對二次函數(shù)、圖像、有界性、奇偶性、單調(diào)性等基礎(chǔ)要素深入學(xué)習，鼓勵學(xué)生進一步把握函數(shù)的概念和特點，強調(diào)在理解二次函數(shù)的基礎(chǔ)上靈活運用。二次函數(shù)是從組合A（函數(shù)域）到組合B（函數(shù)值域）的映射f：A→B，促進了組合中元素y=ax2bxc（a≠0）的組合A與組合A元素X匹配，記為f（x）=ax2bxc（a≠0）。這里的ax2bxc表示函數(shù)域中元素X在函數(shù)域中的圖像，以及對應(yīng)的規(guī)律，使學(xué)生對二次函數(shù)的概念有一個相對既定的認識。學(xué)生掌握了函數(shù)的標記后，可以進一步解決類似問題如下：

問題1：已知f（x）=5x22x7，求f（x1）在解釋這類問題時，f（x1）應(yīng)該理解為x1作為變量的函數(shù)，而不是當x=x1函數(shù)。

問題2：已知f（x1）=3x2x5，而求f（x）的本質(zhì)是求對應(yīng)律，即在已知對應(yīng)律f下，當函數(shù)中的元素圖像為3x2x5時，求該域中元素X的圖像。有兩種方法可以獲取此類問題：

題型一：選擇適應(yīng)性較強的自變量代換法。設(shè)t=X1，則x=t-1，因為（t）=3（t-1）2（t-1）5=3t2-5t7，然后得到f（x）=3x2-5x7。

題型二：將題型給出的表達式表達為x1f（x1）=3x2x5=3（x1）2-5（x1）7的代數(shù)公式，然后用x代替x1得到f（x）=3x2-5x7。

除了以上兩個課題，高中數(shù)學(xué)學(xué)習階段還涉及二次函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習。規(guī)定學(xué)生在（-∞，-b/2a）部分具有二次函數(shù)y=ax2bxc并用[-b/2a，∞上的單調(diào)結(jié)果]來定義嚴謹和充分的討論，以便它可以建立在嚴格的基礎(chǔ)理論的基礎(chǔ)上。同時，要靈活運用函數(shù)圖像的生動性，進一步為學(xué)生提供有效、適當?shù)慕佑|，讓學(xué)生主動地利用圖像來學(xué)習與二次函數(shù)相關(guān)的一些函數(shù)的單調(diào)性。單調(diào)性的一般定義和含義在初中數(shù)學(xué)中已經(jīng)有所觸及，但當時并沒有經(jīng)過嚴格的合理性定義和討論。高中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)的學(xué)習為單調(diào)性提供了理論來源。二次函數(shù)的單調(diào)性分為兩部分，兩部分稱為與雙曲線中心的邊界線，一側(cè)單調(diào)增加，另一側(cè)單調(diào)減少。學(xué)生在學(xué)習的過程中，將圖分析結(jié)合起來，對具有變量類別且難以區(qū)分的分段函數(shù)進行一種可視化是一種很好的方式。

四、高中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)的重要作用

二次函數(shù)是最基礎(chǔ)的指數(shù)函數(shù)。它具有極其豐富的內(nèi)涵和外延。它可以代表著對函數(shù)性質(zhì)的研究，并在不等式、方程及其含義之間建立密切的關(guān)系。從而拓寬了靈活多樣的數(shù)學(xué)問題。因此，二次函數(shù)的目的是考察學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，特別是從深入的解釋層面，可以合理區(qū)分學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、知識和數(shù)學(xué)思維，從而準確地反映學(xué)生的思維訓(xùn)練。因此，在高中數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)具有重要的作用。同時，根據(jù)對高考試卷的分析可以發(fā)現(xiàn)，今年高考對二次函數(shù)的調(diào)查和應(yīng)用已經(jīng)深入到各個知識點的銜接，如解析幾何及其導(dǎo)函數(shù)和二次函數(shù)的組合，二次等量的應(yīng)用等?？疾榈年P(guān)鍵在于不等式的范疇，零點函數(shù)，方程根的分布，等價轉(zhuǎn)換相關(guān)函數(shù)的最大值，二次函數(shù)的圖像和特征等等。文章整合了今年高考二次函數(shù)相關(guān)的常見話題，進一步探討了二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的必要性。

4.1進一步討論二次函數(shù)的單調(diào)性和圖像

在高中階段學(xué)習單調(diào)性時，一定要讓學(xué)生對二次函數(shù)的單調(diào)性和結(jié)果進行嚴格的討論，使之建立在基礎(chǔ)上嚴謹?shù)幕A(chǔ)理論。另外，進一步靈活地使用函數(shù)圖像，對學(xué)生進行適當?shù)挠?xùn)練，使學(xué)生逐漸使用圖像學(xué)習與二次函數(shù)相關(guān)的一些函數(shù)的單調(diào)性。類型一：函數(shù)單調(diào)遞減。求實數(shù)的取值范圍。解：由于函數(shù)圖像的中心對稱為平行線，在截面上單調(diào)遞減，即類型II：繪制如下函數(shù)圖像，其單調(diào)性基于圖像研究。這里要讓學(xué)生注意這種選區(qū)與二次函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系。一定要使用分段函數(shù)來表示標有平方根的函數(shù)的數(shù)量，然后繪制其圖像。

4.2接軌一元二次不等式

在數(shù)學(xué)學(xué)習的整個過程中，毫無疑問，觸及了一個未知數(shù)的二次不等式的內(nèi)容。即根據(jù)一致不等式求類別。第一步是先看判別式。第二步，暫時把不等式當作公式，求出變量類型。第三步，根據(jù)二次項的正負極來區(qū)分口，畫出函數(shù)的大致圖。最后，查看圖像以找到指定的自變量類別。畫圖識別的第三步就是充分利用二次函數(shù)的知識求不等式。這一步很重要，如果簡化不等式超過零，則從圖像的上部選擇自變量的取值范圍。如果簡化不等式小于零，則自變量的取值范圍選擇圖像的下部。另外，要特別注意選擇是否等于零，最后一組不等式解決方案是標準答案。

五、二次函數(shù)使用過程的注意事項

基礎(chǔ)知識是處理二次函數(shù)相關(guān)問題的關(guān)鍵階段。因此，在學(xué)習中，一定要認真完成每一個重點知識點。即使是一個很小的定義也不要忽視，并在大腦中留下深刻的印象。知識的學(xué)習和訓(xùn)練不是簡單的記憶和理解，而是要能夠運用基礎(chǔ)知識處理具體問題。當遇到二次函數(shù)相關(guān)的題型時，不必慌張，反而要理智，仔細琢磨，看題型與二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識有關(guān)，這樣才能達到事半功倍的實際效果。同時，也可以塑造學(xué)習二次函數(shù)的信心，讓學(xué)生了解二次函數(shù)的必要性，從而養(yǎng)成積極分析、積極研究的好習慣。在實際活動的應(yīng)用中，不能盲目跟風選擇知識，而是要根據(jù)具體要求，選擇合適的具體方法解決困難，才能達到事半功倍的實際效果。二次函數(shù)的單調(diào)性和最大值特性都可以處理具體問題，在考試中經(jīng)常遇到。如果把數(shù)的單調(diào)性和最大值特性把握好，問題就可以很實用的解決了，但是如果把握不好，會覺得不知所措，不知道從何下手，然后丟分，這不僅會影響學(xué)習的信心，還會不斷造成學(xué)習厭倦的心理狀態(tài)。

結(jié)束語：

由以上分析可知，二次函數(shù)以其靈活多樣的考查方式，以及與其他知識點的融合，成為歷年來高考的重點內(nèi)容。作為一名高中數(shù)學(xué)老師，只有對二次函數(shù)給予足夠的關(guān)注和重視，靈活地將其與其他知識點聯(lián)系起來，這樣才能有效地幫助學(xué)生更好地掌握二次函數(shù)的知識，從容應(yīng)對高考試題。

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