“方程，函數(shù)，不等式”是用不同角度描述現(xiàn)實(shí)世界的有效工具

郭鵬飛

摘 要：永恒不變的是變化本身。我們身邊的一切都是以不斷變化的形式存在著，萬物變化都有自然規(guī)律，并且相互之間是有密切關(guān)聯(lián)相互影響的。我們從數(shù)學(xué)的角度來分析這個觀點(diǎn)，對變量和變量之間的關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步的論證。在研究過程中，研究變量與變量之間關(guān)系的初中數(shù)學(xué)內(nèi)容--方程，函數(shù)，不等式，成為了與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系十分緊密最有效的工具之一。

關(guān)鍵詞：方程;函數(shù);不等式;數(shù)學(xué)

北師大版初中數(shù)學(xué)教材明確提出要培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想。讓函數(shù)內(nèi)容能夠走進(jìn)學(xué)生的生活實(shí)際，幫助他們加深對函數(shù)內(nèi)容的理解，主要從以下幾個方面進(jìn)行了思考與設(shè)計(jì)。

（一）對“方程，函數(shù)，不等式”內(nèi)容價值和定位的思考

初中階段對函數(shù)內(nèi)容的具體要求，不僅是一些具體的函數(shù)和具體的知識點(diǎn)，同時也應(yīng)作為一種思想方法，探索數(shù)量關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在實(shí)際問題中的變化規(guī)律，解決日常生活中的相關(guān)問題。此外，還應(yīng)特別注意函數(shù)與其他相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)系，如函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)與不等式的關(guān)系等。

函數(shù)的學(xué)習(xí)是漸進(jìn)的、螺旋式的。當(dāng)然，我們不能一蹴而就地理解函數(shù)所反映的相應(yīng)的、變化的思想。函數(shù)在未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用。例如，大學(xué)課程中微積分（又稱數(shù)學(xué)分析）的基本研究對象是函數(shù)。比如微積分學(xué)的許多課程，如微分方程、實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、泛函分析、調(diào)和分析、函數(shù)逼近理論等，都是從不同角度研究函數(shù)形成的課程，都是圍繞函數(shù)展開的。

函數(shù)是描述客觀世界的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)思想也是數(shù)學(xué)課程的一條主線。它從一個角度把數(shù)學(xué)課程的許多內(nèi)容聯(lián)系起來，使我們更深刻地理解知識，更牢固地掌握知識。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，認(rèn)真思考也是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)之一。然而，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在分析和解決問題時，有的思路不清，思維不暢導(dǎo)致答錯;有的敘述不嚴(yán)謹(jǐn)，存在許多漏洞，筆者在教學(xué)中作了有益的嘗試。

（二）北師大版初中數(shù)學(xué)教材對“方程，函數(shù)，不等式”不同角度的具體處理

1.提前滲透

教材從學(xué)生的生活經(jīng)歷和存在背景出發(fā)，讓學(xué)生感受到兩個變量在變化過程中的“對應(yīng)”關(guān)系，并試圖探索其變化規(guī)律。例如，在七年級第一冊“字母代表數(shù)字”一章的“代數(shù)表達(dá)式的評價”一節(jié)中，教材設(shè)計(jì)了一臺“數(shù)字轉(zhuǎn)換機(jī)”，要求根據(jù)輸入值寫出輸出結(jié)果。在第七章中，我們開始以非集中的方式討論變量之間的關(guān)系。通過大量學(xué)生感興趣的日常生活事件或其他學(xué)科的問題，使學(xué)生充分理解變量之間的相互依賴關(guān)系，并讓他們經(jīng)歷學(xué)習(xí)函數(shù)基本性質(zhì)的過程，嘗試根據(jù)功能的基本特征進(jìn)行預(yù)測活動。其實(shí)對于這些問題的分析，都是在對函數(shù)基本性質(zhì)有初步認(rèn)識的基礎(chǔ)之上，包含了函數(shù)的漲落、周期等等特質(zhì)。通過學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，不僅僅能夠使學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值有新的體會，將變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)方法來描述，還將變量和變量之間的關(guān)系體現(xiàn)的更加直觀，也豐富的學(xué)生們的認(rèn)識，在后面學(xué)習(xí)更深一層的函數(shù)和運(yùn)用打下了一定的基礎(chǔ)。

如果在教學(xué)中要認(rèn)真學(xué)習(xí)“絕對值”、“差”、“常數(shù)”等重要詞匯，了解這些詞匯的真正含義，因此，應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，突出公式和規(guī)則的特點(diǎn)及其建立的附加條件。只有在理論上武裝學(xué)生的思想，奠定基礎(chǔ)知識的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，才能有效地避免問題的解決。我們還應(yīng)該經(jīng)常運(yùn)用所學(xué)的概念和規(guī)則，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是：可以減少學(xué)生簡單地背公式的麻煩和無聊，全面、多角度地加深學(xué)生對公式的理解，避免應(yīng)用中的錯誤。

2.突出本質(zhì)

教材從八年級第一冊開始，依次介紹正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，教材中一些內(nèi)容的設(shè)計(jì)基本上體現(xiàn)了“問題情境、問題模式、問題概念、問題性質(zhì)、問題方法、問題應(yīng)用與問題延伸”的模式。當(dāng)研究反比例函數(shù)的表達(dá)方法，探索和掌握反比例函數(shù)，討論反比例函數(shù)在實(shí)際生活和數(shù)學(xué)中的應(yīng)用這些具體的功能時，他們不會感到抽象和難以理解。敘述嚴(yán)謹(jǐn)合理，推理以每一步為基礎(chǔ)。

學(xué)生思維的過程和結(jié)果是通過語言來反映的，即語言是思維的結(jié)果，同時語言又對思維起反應(yīng)。如果在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言習(xí)慣，勢必會增強(qiáng)學(xué)生的縝密思維。這有助于學(xué)生深入理解概念，準(zhǔn)確理解教材中的結(jié)論和相關(guān)問題的解決過程，提高學(xué)生的口頭表達(dá)和推理寫作能力。

3.關(guān)注聯(lián)系

北師大版初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容比較突出不同函數(shù)之間的聯(lián)系，以及函數(shù)與其他相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，如八年級一階函數(shù)與一階不等式的聯(lián)系、九年級二階函數(shù)與二階方程的聯(lián)系等。事實(shí)上，函數(shù)、方程和不等式都是描述現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型。不同之處在于它們描繪的內(nèi)容不同。方程描述瞬時性，不等式描述絕對性，函數(shù)描述本質(zhì)。

考察問題設(shè)置的條件，挖掘隱含信息。在解決問題時，許多學(xué)生只關(guān)注問題中現(xiàn)成的已知條件。他們?nèi)狈沂颈桓采w情況的能力，造成思維障礙或思維偏差。在教學(xué)中，我們要盡量預(yù)見學(xué)生思維中的困惑點(diǎn)，使學(xué)生在應(yīng)用中思考、辨析、避免錯誤;或者刻意設(shè)置思維障礙，從消極的一面提醒學(xué)生，比老師簡單的正面強(qiáng)調(diào)更有效，學(xué)生們印象更深刻。

4.開展解題反思，增強(qiáng)監(jiān)控意識

在教學(xué)中，教師不僅要注重對教材中現(xiàn)成的結(jié)論進(jìn)行細(xì)致的思維模仿教學(xué)和訓(xùn)練，更要注重對學(xué)生知識的缺乏或思維盲區(qū)的培養(yǎng)，在問題解決教學(xué)中，要逐步培養(yǎng)學(xué)生多思考問題，使學(xué)生養(yǎng)成思考問題的習(xí)慣從不同的角度仔細(xì)審視，通過尋找反例來檢驗(yàn)問題或結(jié)論的正確性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析和辨別。

為了增強(qiáng)學(xué)生的自我反省和自我監(jiān)控意識，要求學(xué)生不斷反思：這個思路是否行得通，方法適不適合，這種思考對不對，方式是否合理等等。如果能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用特殊的方法來揭示學(xué)生的問題，就會使學(xué)生產(chǎn)生頓悟感，從而達(dá)到培養(yǎng)縝密思維的目的。要提高學(xué)生的縝密思維，教師的作用是必不可少的，缺乏思維水平的教師不可能培養(yǎng)學(xué)生具有較強(qiáng)的口語表達(dá)能力和推理能力。此外，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行橫向交流的思維方法。由于學(xué)生之間、教師與學(xué)生之間在思維上存在一定的差異，有必要讓學(xué)生相互學(xué)習(xí)，彌補(bǔ)彼此的不足，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

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