教材中一道課后習(xí)題的“開(kāi)枝散葉”

許紅沙

摘 要：筆者對(duì)北師版九年級(jí)上冊(cè)《正方形的性質(zhì)與判定》兩道課后習(xí)題進(jìn)行分析、變式和總結(jié)歸納，旨在教學(xué)工作中培養(yǎng)自己鉆研教材、潛心分析的能力，以提升教學(xué)專(zhuān)業(yè)能力。

關(guān)鍵詞：教材;北師大版;初中數(shù)學(xué);課后習(xí)題;變式

數(shù)學(xué)教科書(shū)是數(shù)學(xué)教師進(jìn)行教學(xué)的重要載體，是師生之間的紐帶，教師對(duì)教科書(shū)的使用水平直接影響著教師教學(xué)的質(zhì)量和學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。[1]

一、兩道教材母題

【母題1】（第22頁(yè)第4題）在一個(gè)正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇分成大小、形狀完全相同的四部分（不考慮道路的寬度）.你有幾種方法？（至少三種）

在已有知識(shí)基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠想到由正方形兩條對(duì)角線(xiàn)或者正方形對(duì)邊的中垂線(xiàn)可以達(dá)成題目要求。如下圖：

題中要求至少給出三種方法，教師要引導(dǎo)學(xué)生找出第三種或更多方法。結(jié)合上述兩種方法，教師可以啟發(fā)學(xué)生找共同點(diǎn)——兩條線(xiàn)都過(guò)正方形中心且互相垂直，那么任意兩條交于正方形中心、互相垂直的直線(xiàn)能否把正方形分成大小、面積相等的四部分？可以讓學(xué)生嘗試進(jìn)行推理、驗(yàn)證，充分發(fā)揮教師主導(dǎo)作用、學(xué)生主體作用。本題有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)正方形對(duì)的對(duì)稱(chēng)性。

去掉“兩條直的小路”條件，分割方法還可一般化：過(guò)對(duì)稱(chēng)中心與正方形邊上一點(diǎn)的任意一條線(xiàn)，繞對(duì)稱(chēng)中心按同一方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)三次，每次旋轉(zhuǎn)90°，這四條線(xiàn)將正方形分成大小、形狀完全相同的四部分。

【母題2】（第41頁(yè)第4題）如圖，正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，正方形A`B`C`O與正方形ABCD邊長(zhǎng)相等。在正方形A`B`C`O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有何關(guān)系？

在課堂上要給足學(xué)生證明這一猜想的時(shí)間。結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)，進(jìn)行相應(yīng)的引導(dǎo)。

正方形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的中心在內(nèi)角的角平分線(xiàn)上，在中心處也有直角的形成（∠AOB=∠BOC =∠COD=∠AOD=90°）。方法一：點(diǎn)O在∠ABC的平分線(xiàn)上，自然聯(lián)想到角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等：

方法二：

兩題在方法上是共通的。教師在循循善誘、步步深入解決母題1的前提下，母題2的解決就易如反掌;在授課時(shí)，也可以先解決母題2的問(wèn)題，然后弱化條件，提煉本質(zhì)，帶著母題2的啟發(fā)再去解決母題1的問(wèn)題。

兩題考查的是正方形的性質(zhì)與判定。母題1放在課后練習(xí)中的“問(wèn)題解決”部分，既是回歸生活實(shí)際的體現(xiàn)，對(duì)學(xué)生問(wèn)題解決能力要求也比較高，母題2放在課后練習(xí)中的“聯(lián)系拓廣”，有一定的難度。

兩題解決過(guò)程滲透了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

二、母題變式

1.變條件

將“正方形A`B`C`O與正方形ABCD的邊長(zhǎng)相等”改成

①“等腰直角三角形A`C`O”

②“直角三角形A`C`O”

③“矩形A`B`C`O與矩形ABCD的長(zhǎng)寬分別相等”

④“菱形A`B`C`O與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等”

以上結(jié)論是否變化？

一步步弱化條件、探究結(jié)論是否變化的過(guò)程中，更容易清楚問(wèn)題的本質(zhì)。無(wú)論是變式①還是變式②，母題2中的全等依然成立，仍可將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為原正方形面積的四分之一。但是變式③和④（題中矩形或菱形非正方形），則顯然不成立。也就發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題解決的關(guān)鍵是全等，實(shí)現(xiàn)面積轉(zhuǎn)化。

三、變化中的“關(guān)鍵”

在母題和變式中，求面積關(guān)系、線(xiàn)段關(guān)系，又或者是涉及特殊位置、最值問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于實(shí)現(xiàn)量的轉(zhuǎn)化。而量的轉(zhuǎn)化依托的是三角形的全等。所以解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是找全等、轉(zhuǎn)化關(guān)系。即變式時(shí)，減弱條件、結(jié)論成立的前提是全等的成立。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂雅雅. 初中數(shù)學(xué)教師教科書(shū)使用水平現(xiàn)狀及提高策略研究[D].西北師范大學(xué)，2020.