小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)

■江蘇省徐州市睢寧縣桃園鎮(zhèn)魏圩小學(xué) 袁 媛

一、基于數(shù)學(xué)問(wèn)題情境是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的基礎(chǔ)

小學(xué)學(xué)生處于形象思維向抽象思維的過(guò)渡時(shí)期，基于數(shù)學(xué)生活的問(wèn)題情境，特別是通過(guò)一些童話故事帶入的情境，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。如教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“小數(shù)的基本意義與性質(zhì)”的時(shí)候，通過(guò)一則童話故事來(lái)導(dǎo)入教學(xué)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在運(yùn)用故事導(dǎo)入的過(guò)程中，不是為了講故事而講故事，而是要讓故事內(nèi)容與學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容緊密地聯(lián)系起來(lái)，讓故事情境服務(wù)于教學(xué)情境。通過(guò)故事激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，勾連起學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為數(shù)學(xué)建模提供幫助。此外，教師創(chuàng)設(shè)的故事內(nèi)容要短小，故事要精彩，要與學(xué)生的生活、心理、認(rèn)知聯(lián)系起來(lái)，不能在教學(xué)過(guò)程中占用太多的時(shí)間。教師還要具有一定的創(chuàng)編故事、講述故事能力，通過(guò)教師的“講”，能夠激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為數(shù)學(xué)模型建構(gòu)提供基礎(chǔ)。

二、經(jīng)歷“數(shù)與代數(shù)”抽象、運(yùn)算與建模的過(guò)程

學(xué)生在數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過(guò)程中，首先要經(jīng)歷思維的參與，只有產(chǎn)生思維活動(dòng)，才能從數(shù)學(xué)生活中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)關(guān)系，借助數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，最后才能達(dá)到建模的過(guò)程。其次，教師要基于學(xué)生生活提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，從學(xué)生能夠理解的數(shù)學(xué)生活出發(fā)開(kāi)展教學(xué)。最后，教師要引導(dǎo)在具體建模中完成對(duì)知識(shí)的再次回顧，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)支架的搭建。如在“正比例和反比例”的學(xué)習(xí)中，教師就可以設(shè)置這樣的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。

教師出示數(shù)學(xué)題：學(xué)校陽(yáng)光食堂100kg面粉可以做出125kg饅頭，照此計(jì)算，要做出200kg饅頭，需要多少千克的面粉？從題中，我們可以看出“面粉”與“饅頭”是兩個(gè)基本的量；二者之間的關(guān)系通過(guò)“出餅率”表現(xiàn)。這道題目是從學(xué)生司空見(jiàn)慣的日常生活中提取的，學(xué)生對(duì)于其中的關(guān)系能夠輕易理解。但是要想走向數(shù)學(xué)建模，就需要運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。在教學(xué)當(dāng)中，教師需要組織學(xué)生通過(guò)對(duì)題目當(dāng)中數(shù)量關(guān)系的觀察，對(duì)變化關(guān)系的概括，分析完成模型抽象，得到模型，這是學(xué)習(xí)的第一個(gè)環(huán)節(jié)。

在數(shù)量分析的基礎(chǔ)上，我們不難發(fā)現(xiàn)，需要把問(wèn)題聚焦在“出餅率”上。它直接關(guān)系著面粉與饅頭兩者數(shù)量之間的關(guān)系。由此可見(jiàn)，我們可以得到關(guān)系是饅頭量=面粉量×出餅率。這道題目并不是要得到這兩道題的準(zhǔn)確答案，而是讓學(xué)生建立起其中的數(shù)學(xué)思維。在本道題中，饅頭量=面粉量×出餅率。面粉與饅頭是變量，但它的“出餅率”固定的。因此，饅頭和面粉成正比例關(guān)系。如果通過(guò)列式計(jì)算，則為：125÷100=1.25；200÷1.25=160千克。當(dāng)然，這道題目并不是為了考察學(xué)生的運(yùn)算過(guò)程，而是讓學(xué)生經(jīng)歷思維的活動(dòng)過(guò)程，喚醒學(xué)生運(yùn)用比例知識(shí)解決問(wèn)題。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行具體的分析，得出如下結(jié)論：

本道題目中，面粉和饅頭是變量，但是“出餅率”是不變量。列方程的方式去解，則設(shè)：要做出200kg饅頭，需要x千克面粉。

饅頭量=面粉量×出餅率

因此，面粉和饅頭成正比例，通過(guò)列方程不難得出：

解：設(shè)要做出200千克的饅頭需要x千克的面粉。

125：100=200：x

在教學(xué)中，教師通過(guò)這種式讓學(xué)生思考，就是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)過(guò)程進(jìn)行思考。在第一次解題過(guò)程中，學(xué)生大多會(huì)基于兩種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行直接計(jì)算，其思維沒(méi)有經(jīng)過(guò)整合，缺少了模型建構(gòu)的過(guò)程；以上比例的方式則是讓學(xué)生通過(guò)思維的發(fā)生，重新建立了思維模型。在這道題目的學(xué)習(xí)過(guò)程中，第一次是通過(guò)數(shù)學(xué)的方式解決問(wèn)題；第二次是通過(guò)數(shù)學(xué)思維建模的方式解決問(wèn)題。我們不難發(fā)現(xiàn)第二個(gè)方法更好，因?yàn)楫?dāng)學(xué)生建立了這樣的數(shù)量關(guān)系后，對(duì)于其他的題目就能夠熟能生巧，舉一反三。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程是進(jìn)步的過(guò)程，在這種模型當(dāng)中，一是數(shù)量關(guān)系的變與不變，是內(nèi)容層面的；第二是方法層面的，即數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與運(yùn)用。

三、建構(gòu)模型支架，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)

建模的過(guò)程就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。教師在教學(xué)中要時(shí)刻關(guān)注“數(shù)學(xué)化”的時(shí)間，找準(zhǔn)“數(shù)學(xué)化”的節(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)，回到數(shù)學(xué)生活中完成知識(shí)的建模。如在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)中，在學(xué)生建構(gòu)起了用“字母”表示數(shù)的數(shù)學(xué)模型后，教師需要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“用字母表示數(shù)”背后隱藏的知識(shí)結(jié)構(gòu)，建立起符號(hào)思維，搭建起符號(hào)模型，讓學(xué)生的思維品質(zhì)得到發(fā)展。學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步具備了可以用字母表示任意一個(gè)數(shù)字的能力，在具體的學(xué)習(xí)運(yùn)用，教師需要抽絲剝繭，讓學(xué)生抵達(dá)知識(shí)的核心，建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型。

教師在研究完“x”在字母與數(shù)字之間的關(guān)系后，可繼續(xù)讓學(xué)生看一看教師的年齡如何表示，如果用“x”來(lái)表示，這里的“x”能不能“表示任意的數(shù)”，讓學(xué)生經(jīng)歷思維建構(gòu)的過(guò)程。通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，教師夢(mèng)將讓“字母表示數(shù)”的知識(shí)與學(xué)生的生活聯(lián)系起來(lái)。有的學(xué)生認(rèn)為這里的“x”大約能表示“25～35”之間的數(shù)字。教師順勢(shì)引出，“x”表示任意的數(shù)是“有范圍”的；接著出示家中的小狗，讓學(xué)生繼續(xù)猜小狗的年齡。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生建構(gòu)起“同一個(gè)問(wèn)題中，不能用相同的字母表示不同的量”的概念。接著教師出示小狗比自己小32歲，讓學(xué)生運(yùn)用算式來(lái)表示，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“x-32”，然后讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)其中的數(shù)量關(guān)系?！皒-32”是運(yùn)算過(guò)程還是運(yùn)算結(jié)果。最后，教師繼續(xù)指出：“老師的年齡和小狗的年齡都會(huì)變化，如果繼續(xù)用數(shù)量關(guān)系表示，其中有變量與不變量。”教師可讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)其中的關(guān)系。經(jīng)過(guò)這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生在用“字母表示數(shù)”的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用的過(guò)程中就能夠聯(lián)系生活，聯(lián)系知識(shí)概念與方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化。

總之，數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)分布在教材的不同學(xué)段，包含著不同的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中，從教師角度，教師需要從“數(shù)”的角度去理解，從生活的角度去設(shè)計(jì)，從思維的角度構(gòu)建學(xué)習(xí)支架，幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)模型，在具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)中運(yùn)行數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移與內(nèi)化；從學(xué)生角度，學(xué)生需要在具體的情境中理解“數(shù)與代數(shù)”，在真實(shí)的思維活動(dòng)中獲得“數(shù)感”的發(fā)展，感受模型的不同表征。此外，“數(shù)與代數(shù)”還需要與學(xué)生的數(shù)學(xué)生活、現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合起來(lái)，需要與數(shù)學(xué)知識(shí)的整體建構(gòu)結(jié)合，需要與學(xué)習(xí)發(fā)展的整體脈絡(luò)結(jié)合。教師只有豐富問(wèn)題情景、強(qiáng)調(diào)教學(xué)多樣、學(xué)會(huì)把握數(shù)學(xué)關(guān)系、發(fā)展符號(hào)意識(shí)、探究數(shù)學(xué)規(guī)律，才能實(shí)現(xiàn)小學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展。