滯后型測(cè)度泛函微分方程的Φ-有界變差解*

李寶麟，丁利波

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

1 問(wèn)題的提出

為了求解微分方程，1957年Kurzweil首次提出了廣義常微分方程理論[1].由英國(guó)數(shù)學(xué)家Kurzweil和捷克數(shù)學(xué)家Henstock定義的Henstock-Kurzweil積分(簡(jiǎn)稱(chēng)為H-K積分)包括Newton積分、Riemann積分和Lebesgue積分，H-K積分是處理高度無(wú)限振蕩函數(shù)的有效工具.Φ-有界變差函數(shù)理論[2-3]是有界變差函數(shù)理論的發(fā)展與推廣，學(xué)者對(duì)Φ-有界變差函數(shù)理論進(jìn)行了比較廣泛的討論.例如，李寶麟等首次將Φ-有界變差函數(shù)理論與Kurzweil方程理論結(jié)合起來(lái)，建立了Kurzweil方程的Φ-有界變差解的存在性定理[4]，然后建立了一類(lèi)脈沖微分系統(tǒng)Φ-有界變差解的局部存在性定理[5]；肖艷萍等[6]建立了一類(lèi)不連續(xù)系統(tǒng)的Φ-有界變差解.滯后型測(cè)度泛函微分方程是泛函微分方程理論的一個(gè)分支，F(xiàn)ederson等[7]建立了滯后型測(cè)度泛函微分方程

Dy=f(yt,t)Dg,

(1)

其等價(jià)的積分方程為

(2)

并建立了在一定條件下方程(2)與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系.(1)式中Dy，Dg分別表示函數(shù)y和g的分布導(dǎo)數(shù)；(2)式右端積分是關(guān)于不減函數(shù)g的Kurzweil-Stieltjes積分.

筆者將討論滯后型測(cè)度泛函微分方程初值問(wèn)題

(3)

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[8]2-3稱(chēng)函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn在[a,b]上是Kurzweil可積的，如果存在I∈Rn及正值函數(shù)δ:[a,b]→R+，使得對(duì)于[a,b]上的任何δ-精細(xì)分劃

D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k},

其中τi∈[αi-1,αi]?(τi-δ(τi),τi+δ(τi)), 有

設(shè)Φ(u)是對(duì)于?u≥0定義的連續(xù)不減函數(shù)，且滿(mǎn)足Φ(0)=0.對(duì)于?u>0，Φ(u)>0，假定Φ(u)滿(mǎn)足下列條件:

(C1)存在u0,L>0，使得對(duì)于?0

定義2[2]設(shè)[a,b]?R,-∞

稱(chēng)VΦ(x;[a,b])為函數(shù)x(t)在[a,b]上的Φ-變差.

引理1[2]若Φ(u)滿(mǎn)足條件(C1)和(C2)，則BVΦ([a,b],Rn)點(diǎn)列按Φ-范數(shù)收斂等價(jià)于Φ-變差收斂.

假定f，g滿(mǎn)足以下條件：

(H1)存在正值函數(shù)δ(τ):[t0,+∞)→R+，使得對(duì)于?τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[t0,+∞)及y∈T，有

‖f(yτ,τ)(g(v)-g(u))‖≤Φ(|h(v)-h(u)|).

(4)

(H2)對(duì)于?τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[t0,+∞)及x,y∈T,有

‖f(xτ,τ)-f(yτ,τ)‖(g(v)-g(u))≤ω(‖xτ-yτ‖)Φ(|h(v)-h(u)|).

(5)

其中：h:[t0,+∞)→R，是不減函數(shù)；ω:[0,+∞)→R，是連續(xù)的增函數(shù)，且ω(r)>0,r>0,ω(0)=0.

3 Φ-有界變差解

定義3設(shè)t∈[t0,+∞)，稱(chēng)y(t,t0,φ)為滯后型測(cè)度泛函微分方程初值問(wèn)題(3)的Φ-有界變差解，如果：

(2)yt0=φ；

(3)y在[t0,+∞)的任何緊子區(qū)間上是Φ-有界變差函數(shù)；

(4)當(dāng)t∈[t0,+∞)時(shí)，(yt,t)∈Ω.

VΦ(y;[α,β])≤Φ(VΦ(h;[α,β]))<+∞.

因?yàn)棣攀侨我獾?，所?/p>

(6)

設(shè)α=s0

(7)

由(7)式，有

(8)

在(8)式右端對(duì)[α,β]上的所有分劃取上確界，有

證畢.

定理2設(shè)f,g滿(mǎn)足條件(H1)和(H2)，則有：

(ⅰ)y:[α,β]→Rn,[α,β]?[t0-r,+∞)是函數(shù)yk:[α,β]→Rn組成的序列{yk}k∈N逐點(diǎn)收斂的極限，使得對(duì)于每個(gè)k∈N,s∈[α,β]，有(ys,s)∈Ω,((yk)s,s)∈Ω.

(9)

證明假設(shè)f是實(shí)函數(shù)，由(5)式，對(duì)于每個(gè)τ∈[α,β]?[t0-r,+∞)，s1≤τ≤s2,[s1,s2]?[α,β]，有

‖f((yk)τ,τ)-f(yτ,τ)‖(g(s2)-h(s1))≤ω(‖(yk)τ-yτ‖)Φ(h(s2)-h(s1)).

(10)

不等式(10)有如下形式：

其中f((yk)τi,Li)=f((yk)τi,si)-f((yk)τi,si-1).由ε的任意性，有

4 滯后型測(cè)度泛函微分方程Φ-有界變差解的存在性

從而

對(duì)于?ε>0,存在正值函數(shù)δ(τ),使得[s1,s2]上的任何δ-精細(xì)分劃D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,m},滿(mǎn)足τi-δ(τi)<αi-1≤τi≤αi<τi+δ(τi))，于是

(11)

由(5)和(11)式，有

由ε>0的任意性，可得

其中s1,s2∈[t0-Δ-,t0-Δ+].所以，對(duì)于[t0-Δ-,t0-Δ+]上的任何分劃t0-Δ-=β0<β1<…<βn=t0+Δ+,有

(12)

(13)

由(13)式，有

于是