巧解運(yùn)動引起面積變化的函數(shù)圖象問題

鮑丙生

摘要：運(yùn)動引起面積變化的函數(shù)圖象問題，一直是學(xué)生難以分析的問題。教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探究知識的內(nèi)在聯(lián)系，歸納數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生掌握解題技巧，不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動;面積變化;函數(shù)圖象;解題技巧

一般對于運(yùn)動引起面積變化的函數(shù)圖象問題，我們在資料上看到的解法是求取面積函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而判斷面積變化圖像的趨勢。但這種方法費(fèi)時費(fèi)力，且準(zhǔn)確率不高。那么，有沒有一種簡便的方法來解決該類問題呢？今天就讓我們一起來探討一下。

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。一般對于運(yùn)動引起面積變化的函數(shù)圖象問題，我們在資料上看到的解法是求取面積函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而判斷面積變化圖像的趨勢。我們可以探究函數(shù)知識的內(nèi)在聯(lián)系，歸納數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生掌握解題技巧，不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的探討主題之一。

思考1：我們所學(xué)過的面積求解公式有哪些？

三角形：（底×高）

平行四邊形 ?： 底×高

矩形： 底×高

菱形： 底×高

正方形： 底×高

梯 ?形： （上底+下底）×高

可以發(fā)現(xiàn)：以上幾種我們在動點(diǎn)圖象面積問題中常見的幾何圖形的面積計(jì)算，都可以看作是有關(guān)底和高的解析式。梯形的面積公式 ： ? （上底+下底）×高，這里的（上底+下底），我們可以看作一個底。

思考2：我們在動點(diǎn)圖象面積問題中常見的面積變化圖形組成部分有哪些？（見圖1）

總結(jié)：以上是面積函數(shù)的七種常見組合圖形。這里的函數(shù)變量只能存在兩個：一個自變量，一個因變量。如果存在三個變量，我們要將高轉(zhuǎn)化成底或者將底轉(zhuǎn)化成高。這樣非常麻煩。

思考3：面積計(jì)算的底和高與函數(shù)圖象有什么固定聯(lián)系嗎？（如表1）

由以上表格可以看出，此法的關(guān)鍵是確定底和高，下面我們從例題上分析該方法的運(yùn)用。

例：如圖2，正方形ABCD中，AB=8cm，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從B、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC、CD運(yùn)動，到點(diǎn)C、D時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），△OEF的面積為s（cm2），則s（cm2）與t（s）的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為（）

解析：由題意可以看出△OEF為直角三角形，以O(shè)E為底，OF為高，在E、F分別到達(dá)BC、CD中點(diǎn)之前，OE、OF的長度均在減小;在E、F分別到達(dá)BC、CD中點(diǎn)之后，OE、OF的長度均在增加。最后依照表格中規(guī)律，可得出答案是B。

對應(yīng)練習(xí)：

1.如圖3所示：邊長分別為1和2的兩個正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設(shè)穿過的時間為t，大正方形內(nèi)去掉小正方形后的面積為s，那么s與t的大致圖象應(yīng)為（）

2.如圖4，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊上一動點(diǎn)，沿A→D→C→B→A的路徑勻速移動，設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為x，△APD的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（ ） ? ? ? ? ? ?

3.如圖5，點(diǎn)G、E、A、B在一條直線上，Rt△EFG從如圖所示的位置出發(fā)，沿直線AB向右勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時停止運(yùn)動，設(shè)△EFG與矩形ABCD重合部分的面積為S，運(yùn)動時間為t，則S與t的圖象大致是：

4.如圖6，點(diǎn)P是菱形ABCD的對角線AC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M、N兩點(diǎn)。設(shè)AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致形狀是怎樣的？

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更多地需要學(xué)生不斷地探究與思考，不斷地總結(jié)與歸納數(shù)學(xué)規(guī)律。我們應(yīng)讓學(xué)生掌握解題技巧，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的探討主題之一。

參考文獻(xiàn)：

[1]張金文.鼎尖教案：滬科版九年級數(shù)學(xué)[M].吉林：延邊出版社，2021.

（責(zé)任編輯：奚春皓）