高精度定位系統(tǒng)的摩擦力自適應(yīng)前饋補償

（清遠職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電與汽車工程學(xué)院，廣東 清遠 511510）

高精度定位系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于航空航天、軍工打印機、醫(yī)療器械及IC裝備等領(lǐng)域，定位系統(tǒng)的精度和響應(yīng)速度等指標直接影響軍用設(shè)備的加工精度及醫(yī)療器械的治療效果等，因此研究有效提高定位系統(tǒng)的精度對國防軍工、醫(yī)療衛(wèi)生和生產(chǎn)生活的各領(lǐng)域有著重要意義。隨著工業(yè)控制對高精度定位系統(tǒng)要求不斷提高，提升定位系統(tǒng)精度和響應(yīng)速度是目前學(xué)術(shù)研究的重點和熱點[1-4]。

定位系統(tǒng)在運動控制過程中的精度與系統(tǒng)的機械精度、傳感器分辨率、電機本體特性及控制器算法密切相關(guān)，其中良好的控制器算法能夠有效抑制系統(tǒng)外部干擾、補償機械平臺的非線性摩擦等，提高系統(tǒng)定位精度。對于利用機械傳動實現(xiàn)的高精度定位系統(tǒng)，在運行過程中不可避免存在靜摩擦力和庫倫摩擦力，二者是影響系統(tǒng)定位精度的重要因素。為此，國內(nèi)外學(xué)者對抑制摩擦力提高系統(tǒng)響應(yīng)速度和定位精度進行大量研究，目前對于系統(tǒng)摩擦力補償主要分為兩類，一類是基于摩擦力模型的補償方法，一類是設(shè)計合理的控制策略或觀測器實現(xiàn)對摩擦力的無模型補償。

馬立[5]等學(xué)者提出基于Stribeck摩擦力模型的建模和補償方法，利用最小二乘法確定Stribeck模型的待定參數(shù)，通過二維精密定位平臺低速運動驗證了建模和補償方法的有效性。王鵬[6]等學(xué)者對傳統(tǒng)Lugre模型進行修正，并利用遺傳算法實現(xiàn)Lugre模型的參數(shù)辨識，根據(jù)液壓缸平臺驗證其摩擦力實驗結(jié)果與辨識結(jié)果的一致性。孟凡淦[7]等學(xué)者針對氣動伺服系統(tǒng)，提出了基于遺傳算法的Lugre模型參數(shù)辨識方法，通過氣缸高精度軌跡跟蹤控制實驗驗證了所提方法的可行性。上述方法是基于摩擦力模型的辨識和補償策略，需要通過辨識方法確定摩擦力數(shù)學(xué)模型和參數(shù)，對系統(tǒng)模型和參數(shù)辨識的準確性要求較高，且由于不同系統(tǒng)摩擦力模型特征有所差異，此種方法未能夠在工業(yè)控制領(lǐng)域取得廣泛應(yīng)用。

余敏[8]等學(xué)者針對直流伺服系統(tǒng)未知死區(qū)和摩擦力參數(shù)問題，提出一種魯棒自適應(yīng)控制補償方法，利用Lyapunov證明控制器穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，通過仿真驗證了算法在補償摩擦力和死區(qū)方面的作用。馬丙華[9]為優(yōu)化光電穩(wěn)定平臺的動態(tài)響應(yīng)性能和擾動抑制性能，提出基于迭代學(xué)習(xí)控制的擾動補償和位置環(huán)跟蹤控制，利用迭代學(xué)習(xí)補償系統(tǒng)運動控制過程中的周期性干擾和誤差，以提高平臺的動態(tài)響應(yīng)和抗擾動性能。Farrage[10]等學(xué)者針對數(shù)控精密機電控制平臺，利用滑模控制算法和擾動觀測器補償機械系統(tǒng)存在的靜摩擦力，通過實驗驗證了所提方法對系統(tǒng)位置跟蹤精度和系統(tǒng)響應(yīng)能力的提高。由此可見，基于控制策略和觀測器的補償策略可以在系統(tǒng)運行過程確定摩擦力等擾動的補償量，通過前饋補償方式提高定位系統(tǒng)控制性能。

為了擴展控制方法的普適性，使其廣泛應(yīng)用于不同工況條件，本文提出一種基于自適應(yīng)的摩擦力前饋補償方法，首先建立被控對象的數(shù)學(xué)模型，其次根據(jù)模型特點設(shè)計自適應(yīng)控制環(huán)節(jié)，并驗證所提控制方法的穩(wěn)定性，最后通過仿真和高精度定位平臺試驗驗證所提方法對摩擦力等干擾的前饋補償效果。

1 高精度定位系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

本文所述高精度定位系統(tǒng)主要由機械平臺、直驅(qū)電機、驅(qū)動器和控制器組成，針對機械平臺和驅(qū)動環(huán)節(jié)，忽略電機電感和推力波動等非線性環(huán)節(jié)，可建立數(shù)學(xué)模型如圖1所示，其表達式為

其中

式中：F為直驅(qū)電機施加到機械平臺的推力；Kt為直驅(qū)電機的推力系數(shù)；i為加載到直驅(qū)電機的輸入電流，其為隨時間變化的控制量；m為機械平臺的等效質(zhì)量；B為機械平臺在運動過程中的阻尼系數(shù)；v為機械平臺在直驅(qū)電機作用下的運動速度；Ff為機械平臺運動過程中的摩擦力；Fc為庫倫摩擦力；Fs為最大靜摩擦力；vs為Stribeck摩擦速度；sgn（·）為符號函數(shù)。

式（2）為Stribeck摩擦力模型。

圖1 高精度定位系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型Fig.1 Mathematical model of high precision positioning system

為有效抑制系統(tǒng)定位運動過程中摩擦力對其精度和響應(yīng)的影響，將摩擦力視為系統(tǒng)擾動，并利用自適應(yīng)控制策略實現(xiàn)在線補償，以提高系統(tǒng)動態(tài)特性。為此，根據(jù)式（1）建立如下參考模型作為模型參考自適應(yīng)控制的基準。

式中：帶有下標“r”的為所建立的參考模型。

根據(jù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型確定其物理參數(shù)，在此基礎(chǔ)上引入?yún)⒖寄Ｐ瓦M行在線實時比較，并利用合理的控制策略實現(xiàn)模型自適應(yīng)控制。

2 自適應(yīng)控制策略

圖2為基于自適應(yīng)摩擦力前饋補償?shù)目刂圃砜驁D。由于被控對象直驅(qū)電機數(shù)學(xué)模型已知，機械平臺及粘滯摩擦系數(shù)未知，基于自適應(yīng)控制原理將系統(tǒng)分為基于參考模型的變換控制回路和基于被控對象的閉環(huán)控制回路，將被控對象與參考模型的控制量輸入、位置輸出以及參考模型與被控對象輸出誤差作為自適應(yīng)控制率的輸入，設(shè)計合理的自適應(yīng)控制率，實現(xiàn)外部干擾（摩擦力及傳感器噪聲等）引起的跟蹤誤差?；谧赃m應(yīng)控制策略的目標，即將實際被控對象等效為理論參考模型，由于自適應(yīng)控制率作用于系統(tǒng)控制器外部，利用有效的輸入信息，補償實際被控對象的外部干擾。

圖2 基于自適應(yīng)摩擦力前饋補償?shù)目刂圃砜驁DFig.2 Control principle block diagram based on adaptive friction feedforward compensation

參考模型位置輸出與被控對象位置輸出的誤差及其一階導(dǎo)數(shù)定義如下：

式中：e為參考模型的位置輸出與被控對象的位置輸出的誤差，即基于參考模型的估計輸出與實際輸出的誤差值。

由于此誤差為時間的動態(tài)參數(shù)，因此其隨時間的一階導(dǎo)數(shù)即上述二者速度的變化量。對于被控對象，包含控制器和自適應(yīng)控制率的控制輸入定義如式下：

式中：Ff為系統(tǒng)摩擦力干擾輸入；Fp為被控對象的控制輸入；Fu為利用自適應(yīng)控制率計算所得的控制量輸入。

Fp主要基于被控對象數(shù)學(xué)模型計算控制量，F(xiàn)u的自適應(yīng)控制輸入主要抑制未知干擾對系統(tǒng)精度的影響。

將式（1）～式（3）和式（5）代入式（4），可得到：

式中：Fr為參考模型的控制量輸入；Ktr為基于參考模型的閉環(huán)控制回路中的電機轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Ktp為被控對象的閉環(huán)控制回路中的電機轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Bp為基于參考模型的閉環(huán)控制回路中粘滯摩擦系數(shù)；Br為被控對象的閉環(huán)控制回路中的粘滯摩擦系數(shù)。根據(jù)式（6）計算可知，當式（6）的Fu滿足下式中的數(shù)學(xué)關(guān)系：

式（6）可以簡化為

根據(jù)微分方程解的形式可知，上述微分方程中e具有衰減形式的解。即當自變量t隨時間變化為無窮大時，滿足如下關(guān)系：

由此可見，設(shè)計如下自適應(yīng)控制率：

式中：k1（t），k2（t），k3（t）和k4（t）為自適應(yīng)控制率中的待定系數(shù)，要根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析確定。

這樣設(shè)計可以使得實際被控對象位置輸出與參考模型位置輸出實現(xiàn)跟隨效應(yīng)，即實現(xiàn)被控對象在含有未知擾動過程中的模型等效，利用自適應(yīng)控制率消除系統(tǒng)未知干擾的作用。

3 控制策略穩(wěn)定性分析

針對式（10）形式的自適應(yīng)控制率，利用Lyapunov函數(shù)證明控制率在控制過程中的穩(wěn)定性，并確定其中的待定參數(shù)表達形式。將式（10）代入式（6）中可以得到：

為便于系統(tǒng)參數(shù)矩陣化表示，定義參數(shù)如下：

根據(jù)所定義的參數(shù)，式（11）可以表達為

根據(jù)式（12）～式（13）可知，參數(shù)Ψ在系統(tǒng)運行過程中為已知信息，可以根據(jù)控制器計算輸出和反饋位置及速度信息獲取。因此，為對自適應(yīng)控制率進行穩(wěn)定性分析，根據(jù)經(jīng)典“比例-積分”參數(shù)更新率設(shè)計[11]，定義Lyapunov函數(shù)：

由于系統(tǒng)中的質(zhì)量、電機轉(zhuǎn)矩系數(shù)及粘滯摩擦系數(shù)等為慢時變參數(shù)，對式（14）兩邊求導(dǎo)可得：

根據(jù)式（15）確定自適應(yīng)控制率中的參數(shù)為

可以有：

對式（16）積分運算，有：

針對被控對象調(diào)節(jié)控制器參數(shù)時，需要根據(jù)不同的位置指令形式確定其中的λi和γi，以保證控制過程中最優(yōu)的動態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)。

4 試驗驗證

為了驗證本文所提的基于自適應(yīng)前饋補償控制器的正確性，利用典型單軸直驅(qū)工控平臺對上述算法驗證分析。試驗平臺由機械導(dǎo)軌滑塊、松下400 W直驅(qū)伺服電機、1 μm分辨率的雷尼紹光柵尺及自主研發(fā)的基于TMS320F28335的DSP控制器組成，利用控制器輸出電壓信號作為直驅(qū)伺服電機的輸入信號，通過實時采集并處理光柵尺傳感器的位置信號實現(xiàn)反饋控制，在控制器中實現(xiàn)本文所述算法的驗證。圖3為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)位置指令輸入和光柵位置反饋信息，在驅(qū)動器為模擬量電壓控制模式下，控制器實時計算電壓控制指令，實現(xiàn)機電系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制。

圖3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Schematic introduction of the system

為了充分驗證所提算法的普適性，首先驗證在正弦位置指令輸入狀態(tài)下控制器的跟蹤響應(yīng)特性，通過對比傳統(tǒng)控制器與含有自適應(yīng)摩擦前饋補償控制器的跟蹤誤差，對比說明算法對控制性能的影響。正弦位置指令幅值為10 mm，周期為1 s，控制器對光柵尺位置采樣周期為100 μs，圖4為不同控制方法對正弦指令的跟蹤結(jié)果。

圖4 摩擦力自適應(yīng)前饋補償控制器對正弦指令跟蹤Fig.4 Tracking sinusoidal instructions by friction adaptive feedforward compensation controller

圖4a為指令位置軌跡，圖4b為兩種控制方法下的跟蹤誤差，其中無摩擦補償時的跟蹤誤差的最大值為21.2 μm、均方根值為9.1 μm；基于自適應(yīng)摩擦補償時的跟蹤誤差的最大值為9.9 μm、均方根值為4.8 μm。圖4c為基于自適應(yīng)摩擦補償控制策略的跟蹤誤差與無摩擦補償時跟蹤誤差的差值對比，其反映了利用自適應(yīng)摩擦補償方法對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性提升的作用。綜上所述，基于自適應(yīng)的摩擦力前饋補償方法能夠有效抑制摩擦力等系統(tǒng)外部擾動對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。

為了說明所提方法與傳統(tǒng)自適應(yīng)控制策略的差異，本文對傳統(tǒng)模型參考自適應(yīng)[11]和基于自適應(yīng)摩擦補償?shù)目刂品椒ㄟM行試驗對比分析，兩者動態(tài)響應(yīng)特性如圖5所示。

圖5 不同自適應(yīng)控制策略動態(tài)性能分析Fig.5 Dynamic performance analysis of different adaptive control strategies

利用兩種控制方法跟蹤圖5a的正弦指令，圖5b為兩種方法跟蹤誤差，其中基于模型參考自適應(yīng)方法的跟蹤誤差均方根值為5.6 μm，基于自適應(yīng)摩擦補償控制方法的跟蹤誤差均方根值為4.6 μm，圖5c為兩種控制方法跟蹤誤差的差值對比，其反映兩種控制方法對系統(tǒng)動態(tài)特性提升的影響。由于模型參考自適應(yīng)控制策略針對系統(tǒng)未知干擾進行補償，而自適應(yīng)摩擦補償主要針對式（2）的Stribeck摩擦力進行補償，因此根據(jù)圖5b可知，普適性較強的模型參考自適應(yīng)控制策略能夠在一定程度補償系統(tǒng)摩擦力干擾，而基于摩擦力補償?shù)淖赃m應(yīng)控制策略能夠更好地補償系統(tǒng)摩擦力干擾。

針對無摩擦補償、基于模型參考自適應(yīng)及基于自適應(yīng)摩擦補償三種控制策略的位置跟蹤試驗，在系統(tǒng)運行過程中分別監(jiān)控其電壓指令，即圖3中的模擬量控制信號，電壓指令監(jiān)控試驗結(jié)果如圖6所示。對比分析可知，基于自適應(yīng)摩擦補償?shù)目刂品椒軌蚩焖俑櫸恢弥噶?，準確補償摩擦力干擾；基于模型參考自適應(yīng)的控制方法也可實現(xiàn)有效補償，但其與自適應(yīng)摩擦補償控制方法的電壓指令有遲滯，即控制器對摩擦力干擾的補償響應(yīng)速度較慢；而無摩擦補償?shù)腜ID控制算法沒有對摩擦力干擾進行針對性補償，電壓指令變化慢，動態(tài)響應(yīng)精度差。綜上所述，基于自適應(yīng)摩擦補償?shù)目刂品椒軌蜉^好地補償摩擦力引起的系統(tǒng)動態(tài)誤差。

圖6 不同控制策略指令電壓對比Fig.6 Voltage command of different control strategies

5 結(jié)論

為了提高高精度定位系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和跟蹤能力，提出了基于自適應(yīng)前饋的摩擦力補償方法，根據(jù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，設(shè)計合理的自適應(yīng)控制率，并利用Lyapunov函數(shù)證明了控制方法的穩(wěn)定性，并給出了具體的自適應(yīng)控制率數(shù)學(xué)表達。通過試驗對本文所提方法進行驗證，在跟蹤正弦指令軌跡時，基于自適應(yīng)前饋補償?shù)姆椒軌蛴行б种仆獠繑_動對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，有效提高了系統(tǒng)控制精度，證明了所提方法的有效性。