從知算法到明算理

摘 要：在滬教版教材中，“三位數(shù)被一位數(shù)除”安排在三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第四單元中。分析教材的例題意圖和習(xí)題設(shè)置，發(fā)現(xiàn)教材都有意識(shí)地將“三位數(shù)被一位數(shù)除”理解上的難點(diǎn)分散在例1～例4的3課時(shí)中。其教學(xué)目標(biāo)主要有：將兩位數(shù)被一位數(shù)除的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)遷移到三位數(shù)被一位數(shù)除中;溝通不同算法來探討三位數(shù)被一位數(shù)除的算理;理解除法算理，能夠正確用豎式計(jì)算三位數(shù)被一位數(shù)除的除法。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);計(jì)算教學(xué);“三位數(shù)被一位數(shù)除”

作者簡介：唐冬梅（1986.10—），女，上海民辦福山正達(dá)外國語小學(xué)，小學(xué)一級(jí)教師，本科，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、問題的提出

計(jì)算教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有很大比例，以滬教版教材為例，教師參考書建議10冊教材的總課時(shí)為567節(jié)（不含總復(fù)習(xí)），計(jì)算課內(nèi)容就有211節(jié)，約占總課時(shí)數(shù)的1/3。學(xué)生通過計(jì)算課的學(xué)習(xí)不僅能掌握計(jì)算的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更能培養(yǎng)數(shù)感，訓(xùn)練運(yùn)算能力和推理能力。由此可見，計(jì)算課是非常重要的教學(xué)內(nèi)容?？墒墙處熎毡楦械接?jì)算教學(xué)難以調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣，算理難教，很多時(shí)候?qū)W生只是被動(dòng)地接受了算法。如何讓學(xué)生由消極被動(dòng)地接受變?yōu)榉e極主動(dòng)地參與，由知算法走向明算理的深刻理解，從而讓深度學(xué)習(xí)在計(jì)算教學(xué)中發(fā)生？現(xiàn)以滬教版三年級(jí)上冊“三位數(shù)被一位數(shù)除”第一課時(shí)進(jìn)行一課兩研為例進(jìn)行分析。

二、第一次教學(xué)經(jīng)歷及主要問題

初次試教“三位數(shù)被一位數(shù)除”第一課時(shí)，考慮到學(xué)生已經(jīng)熟悉兩位數(shù)被一位數(shù)除的算理和算法，基于學(xué)生已掌握兩位數(shù)首位夠除和不夠除的兩種情況，筆者進(jìn)行了知識(shí)的整合，將三位數(shù)首位夠除和不夠除整合為第一課時(shí)，教學(xué)環(huán)節(jié)大致如下：

環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)舊知。對(duì)比練習(xí)36÷3和56÷4，總結(jié)計(jì)算方法。

環(huán)節(jié)二：探究算理。老師引導(dǎo)，同桌合作，使用簡圖、橫式和豎式來探究536÷3的算理，重點(diǎn)講解豎式計(jì)算過程及豎式書寫位置。由于對(duì)簡圖均分的思考和操作過程過快，學(xué)生不知道如何均分以及為什么要這樣均分。

環(huán)節(jié)三：理解算理。學(xué)生獨(dú)立嘗試計(jì)算536÷3，對(duì)比與例1的異同，總結(jié)三位數(shù)被一位數(shù)除的算法。缺少前期探索算理的鋪墊，從首位夠除跨度到首位不夠除的除法，對(duì)于部分學(xué)生來說難度較大，造成學(xué)生不理解算理也不會(huì)計(jì)算的結(jié)果。

環(huán)節(jié)四：鞏固內(nèi)化。通過判斷商是幾位數(shù)，達(dá)到鞏固內(nèi)化知識(shí)的效果。由于缺少算理的理解，學(xué)生知道運(yùn)算出錯(cuò)但講不清楚錯(cuò)因。

教學(xué)后反思，發(fā)現(xiàn)如下主要問題：大部分學(xué)生會(huì)算但不明算理。與學(xué)生已有的除法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)相比，三位數(shù)被一位數(shù)除的筆算過程和方法相對(duì)復(fù)雜，不易理解，例題的學(xué)習(xí)難度與坡度比較大，算理和算法的體驗(yàn)過程操作煩瑣，又存在缺失現(xiàn)象，從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)效果不理想。

第二次執(zhí)教需解決的問題：以學(xué)為中心，從單元整體去設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生深度理解算理，知其然并知其所以然，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

三、基于單元整體解析設(shè)計(jì)第二次教學(xué)并實(shí)踐

（一）教材編排分析

重新解讀小學(xué)階段數(shù)學(xué)教材，進(jìn)一步了解這部分教材在整冊乃至整個(gè)小學(xué)階段所處的地位和作用。本單元內(nèi)容是在學(xué)習(xí)表內(nèi)乘法，一位數(shù)與兩位數(shù)、三位數(shù)相乘，是在表內(nèi)除法的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，它是表內(nèi)除法的發(fā)展，將為以后學(xué)習(xí)多位數(shù)被一位數(shù)除和除數(shù)是兩位數(shù)的除法奠定思維基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。

分析教材的例題意圖和習(xí)題設(shè)置，出現(xiàn)教材安排都有意識(shí)地將“三位數(shù)被一位數(shù)除”理解上的難點(diǎn)分散在例1～例4共3課時(shí)中。例1的536÷3重算理;例2的632÷3、例3的836÷4、例4的254÷4重算法。教材編寫的意圖，是使學(xué)生將兩位數(shù)被一位數(shù)除的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)遷移到三位數(shù)被一位數(shù)除，探究三位數(shù)被一位數(shù)除的算理，掌握豎式算法，并能類推、理解多位數(shù)被一位數(shù)除的除法算理，同時(shí)使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)算法的個(gè)性化及數(shù)學(xué)表達(dá)的多樣性。

在例1探究算理、掌握算法的基礎(chǔ)教學(xué)上，例2～例4直接講算法，學(xué)生仍然不知其所以然，只知道算法，不理解算理。因此，探究商中間和末尾有0的除法及首位不夠除的三位數(shù)被一位數(shù)除的算理勢在必行。

例2的632÷3、例3的836÷4突破幾個(gè)一、幾個(gè)十不夠均分，不夠商1就商0，重在理解除法豎式中商的位置值，出現(xiàn)商末尾有0和商中間有0的情況。

例4的254÷4突破首位不夠除，拆百為十再均分，類似例1的均分過程。

通過以上分析發(fā)現(xiàn)，例1是三位數(shù)被一位數(shù)除的一般情況，例2～例4是三種特殊情況，教學(xué)設(shè)計(jì)上仍然要豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)過程，運(yùn)用多元表征，促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，從而讓深度學(xué)習(xí)在計(jì)算教學(xué)中發(fā)生。

（二）運(yùn)算算理分析

深度學(xué)習(xí)在于學(xué)習(xí)者能夠?qū)⒁延兄R(shí)遷移到新的情境中做出決策并解決問題。教師要想促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，首先要建好認(rèn)知結(jié)構(gòu)，溝通不同內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而打通知識(shí)之間的屏障，更好地實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移。學(xué)生理解了算理就要理解數(shù)和運(yùn)算，關(guān)鍵在于理解數(shù)的表示和運(yùn)算意義。三位數(shù)被一位數(shù)除的算理要理解以下內(nèi)容：

一是理解運(yùn)算中的分拆和重組。三位數(shù)被一位數(shù)除的關(guān)鍵在于將其分拆為幾個(gè)百、幾個(gè)十和幾個(gè)一分別除以幾，再求和。

二是理解數(shù)的位置值。分別理解被除數(shù)每個(gè)數(shù)位上數(shù)的位置值及豎式中每次商的位置值。

三是理解計(jì)算的本質(zhì)就是計(jì)算相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

“理解運(yùn)算中的分拆和重組”“理解數(shù)的位置值”“理解計(jì)算的本質(zhì)”具有超越具體知識(shí)的遷移價(jià)值，簡圖表征、橫式分拆和豎式計(jì)算能夠有機(jī)鏈接好知識(shí)，建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的。

（三）算理探究活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)問題，激發(fā)主動(dòng)參與

設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，讓學(xué)生在充分動(dòng)腦筋思考問題的過程中逐漸發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)論，經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程，體驗(yàn)成功的樂趣。例如，“三位數(shù)被一位數(shù)除”第一課時(shí)共設(shè)計(jì)三個(gè)層層遞進(jìn)的挑戰(zhàn)，讓學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究的過程。

（1）判斷，挑戰(zhàn)學(xué)生的估算意識(shí)和能力

更改例題提問方式，由原先直接求精確數(shù)的問題，更改為可以估算和精算，更側(cè)重分的方法的問題。題目中并沒有提示估算解決，這對(duì)學(xué)生的數(shù)感以及能否靈活選擇計(jì)算方法提出了挑戰(zhàn)。學(xué)生首先會(huì)想到用平均分來解決問題，也會(huì)把總數(shù)536估成便于整除3的600，每班大約分到100多的本子，可能還有剩余。這一設(shè)計(jì)還原了現(xiàn)實(shí)生活情境，沒有計(jì)算方法的指定和暗示，學(xué)生在經(jīng)歷這一挑戰(zhàn)性問題過程中感受到了數(shù)學(xué)估算的魅力，收獲了有條理思考找到解決方法的喜悅。

【教學(xué)片段1】估算情境，導(dǎo)入新知

出示例1情境：學(xué)校新進(jìn)一批練習(xí)本，請幫忙將536個(gè)練習(xí)本分給3個(gè)班，你打算怎么分？

說一說：將536個(gè)練習(xí)本均分給3個(gè)班，怎樣列式？為什么用除法算？

估一估：商是幾位數(shù)，大約多少，為什么？

（2）試算，挑戰(zhàn)學(xué)生的類比遷移能力

通過舊知復(fù)習(xí)，重現(xiàn)均分過程，再來挑戰(zhàn)例題，這樣的設(shè)計(jì)意在給予學(xué)生自主遷移數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會(huì)。學(xué)生經(jīng)過簡圖表征和橫式分拆，感知先分3個(gè)百，再分21個(gè)十，最后分26個(gè)一，最后把三次分的結(jié)果合起來。理解運(yùn)算中的分拆與重組，這是理解算理的核心，為后面抽象出算法奠定基礎(chǔ)。不同的結(jié)論會(huì)引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，從而激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與操作驗(yàn)證的探究活動(dòng)。

【教學(xué)片段2】復(fù)習(xí)舊知，遷移嘗試

①情境重現(xiàn)習(xí)題36÷3，結(jié)合圖說一說怎么分的。

②嘗試計(jì)算536÷3，出現(xiàn)不同的計(jì)算方式和計(jì)算結(jié)果。

問：有什么好的方法能呈現(xiàn)平均分的過程？

③引導(dǎo)小組合作，利用簡圖表征均分過程，橫式分拆記錄均分過程。

探究要求：a合作：討論解決問題的思路;

b分工：一人畫簡圖，一人列橫式;

c交流：找出解決方法的共同點(diǎn)。

（3）糾錯(cuò)，挑戰(zhàn)學(xué)生的對(duì)比溝通能力

鑒于兩位數(shù)被一位數(shù)除教學(xué)數(shù)據(jù)較小，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)物操作、圖示理解、符號(hào)表達(dá)的學(xué)習(xí)過程，符合從動(dòng)作性到映像性再到抽象性的學(xué)習(xí)規(guī)律，從而達(dá)到理解算理的目的。對(duì)于三位數(shù)被一位數(shù)除的教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生用簡圖均分、橫式分拆、豎式計(jì)算進(jìn)行對(duì)比溝通，達(dá)到數(shù)形結(jié)合促進(jìn)算理算法的有效融合，既建立了學(xué)生的空間觀念，也讓學(xué)生感受到其中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維方式，從而真正理解算理、掌握算法。

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣最有效的策略就是把教學(xué)的過程變成學(xué)生主動(dòng)探究的過程，在這個(gè)過程中會(huì)有疑惑，也會(huì)有失敗，學(xué)生在說理過程中對(duì)比、交流不同算法，在對(duì)錯(cuò)誤的反思、糾正的過程中理解了算理。

【教學(xué)片段3】對(duì)比溝通，探究算理

①借用簡圖和橫式，獨(dú)立完成，對(duì)比練習(xí)：652÷3、552÷3。

②選擇其中一題，進(jìn)行豎式計(jì)算。

學(xué)生討論：為什么這樣列豎式？它有什么特別的地方嗎？能不能結(jié)合簡圖和橫式講一講？回看例1的豎式，能說清算理嗎？如果有錯(cuò)誤試著糾正過來。

2.采用多元表征，促進(jìn)理解算理

簡圖幫助學(xué)生探究運(yùn)算的分拆和重組，也用于理解位置值。理解例1豎式中第二次23個(gè)十取出21個(gè)十是難點(diǎn)，借助結(jié)構(gòu)化的簡圖很清晰地呈現(xiàn)第一次均分，分走3個(gè)百，每份分得1個(gè)百后，剩下2個(gè)百、3個(gè)十和6個(gè)一;必須把2個(gè)百拆開成20個(gè)十與3個(gè)十合成23個(gè)十再進(jìn)行第二次均分，分走21個(gè)十，每份分得7個(gè)十，剩下2個(gè)十和6個(gè)一;合成26個(gè)一進(jìn)行第三次均分，分走24個(gè)一，每份分得8個(gè)一，剩余2個(gè)一。

運(yùn)用簡圖表征均分過程，使用橫式分拆記錄三次均分過程，再用語言表述豎式計(jì)算過程，設(shè)計(jì)運(yùn)用了圖像、語言以及符號(hào)等多元表征來達(dá)到理解算理的目的。如下圖，學(xué)生直觀看到簡圖、橫式和豎式之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生比較不同分法，溝通其聯(lián)系，幫助學(xué)生建立完整的計(jì)算思維。

【教學(xué)片段4】溝通聯(lián)系，理解算理

把均分過程用多元表征進(jìn)行解釋說明的過程，也是把均分過程進(jìn)行符號(hào)化的過程。學(xué)生經(jīng)歷簡圖表征、橫式分拆、豎式計(jì)算的過程，通過表述相應(yīng)豎式計(jì)算步驟，進(jìn)一步加深對(duì)算理的理解后，才形成了算法，再逐步總結(jié)出豎式計(jì)算方法。

3.注重學(xué)法引導(dǎo)，靈活運(yùn)用算理

本課進(jìn)行了三次對(duì)比學(xué)習(xí)，第一次是簡圖表征和橫式分拆的對(duì)比，突破先分拆再合分的難點(diǎn);第二次是簡圖、橫式和豎式的均分過程對(duì)比，幫助理解算理，也突破豎式書寫的難點(diǎn);第三次是兩位數(shù)被一位數(shù)除和三位數(shù)被一位數(shù)除的算理、算法的對(duì)比，理解算理相同，遷移并總結(jié)算法。這樣多層次深入對(duì)比學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅知其然，更知其所以然，同時(shí)也掌握了對(duì)比學(xué)習(xí)的方式，為學(xué)習(xí)多位數(shù)被一位數(shù)除和除數(shù)是兩位數(shù)的除法做好鋪墊。

【教學(xué)片段5】歸納總結(jié)，回顧整理

今天學(xué)習(xí)了三位數(shù)被一位數(shù)除的除法，說說你的收獲。同學(xué)們是如何進(jìn)行教學(xué)的？還有什么問題？

如果筆算6485÷2，你會(huì)怎樣做？你還能計(jì)算哪些筆算除法？

（四）二次執(zhí)教教學(xué)反思

整節(jié)課緊緊把握兩條線來組織教學(xué)。

一是立足學(xué)生的真實(shí)問題來激發(fā)學(xué)習(xí)需求。對(duì)于三位數(shù)被一位數(shù)除，只有通過多元表征，將畫圖、計(jì)算和語言有機(jī)結(jié)合起來，讓學(xué)生經(jīng)歷算理理解的全過程，才能理解了先分幾個(gè)百，再分幾個(gè)十，再分幾個(gè)一，最后求和的計(jì)算過程，才能理解除法豎式的結(jié)構(gòu)和算法。在教學(xué)豎式計(jì)算時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過有序均分帶動(dòng)有序思考，幫助學(xué)生聯(lián)系均分過程，理解相應(yīng)除法豎式的結(jié)構(gòu)和計(jì)算程序，教學(xué)設(shè)計(jì)更適合學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

二是建立聯(lián)系，把握計(jì)算教學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷從碎片化到結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知建構(gòu)過程，進(jìn)而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。知識(shí)不是獨(dú)立存在的，教師在教學(xué)中幫助學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的關(guān)系，從而將新知的學(xué)習(xí)納入已有知識(shí)結(jié)構(gòu)中，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。借助簡圖均分、橫式分拆和豎式計(jì)算之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生在觀察中比較，不斷建立聯(lián)系，深刻理解計(jì)算的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的過程性和整體性，完善并建構(gòu)新的計(jì)算知識(shí)結(jié)構(gòu)，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的。

結(jié) 語

計(jì)算教學(xué)的設(shè)計(jì)要立足于深度學(xué)習(xí)，通過單元整體解析，以問題激趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與探究，通過知識(shí)遷移、對(duì)比學(xué)習(xí)、多元表征促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，讓深度學(xué)習(xí)在計(jì)算教學(xué)中真實(shí)發(fā)生。

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